Урок обобщающего повторения по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

            Провела учитель математики первой категории  Земляничкина Т.М.                     

в 10,11,12 классах   вечерней школы.

Урок обобщающего повторения по теме:

«Решение тригонометрических уравнений».

(2 часа)

Цель урока. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений», рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности, развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

            I этап урока – организационный (5 минут)

          Учитель приветствует учащихся сообщает  тему урока, цель и ход урока, поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II  этап урока (15 минут)

Повторение теоретического материала по теме

«Тригонометрические уравнения»

Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Какие уравнения называются тригонометрическими? »

Определение. Тригонометрическими называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

         Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

-  простейшие тригонометрические уравнения,

-  однородные (1 и 2 степеней)

- квадратные уравнения относительно одной из тригонометрических

   функций,

-  неоднородные.

         Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

       Определение.  Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x =a, (где |a| ≤ 1),   cos x =a,( где |a| ≤ 1),

tg x =a, (где  -∞ < a < +∞)  a – действительное число.

        Какие уравнения называются однородными?

       Определение.  Уравнения вида:  asinx + bcosx =0 - называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени,

 asin ²x + bsinx cosx +  ccos ²x =0 – тригонометрическим уравнением второй степени.

        Какие уравнения называются квадратными?

       Определение. Уравнения вида: a sin ²x + b sinx = с ,                a cos ²x + b cosx = c,  a tg ²x + b tg x = c

  является квадратными уравнениями относительно sinx, cosx, tgx.

        Какие уравнения называются не однородными?

       Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =c, где a≠0, b≠0, c≠0 называется неоднородным тригонометрическим уравнением. 

       Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

    - введение новой переменной,

    - разложение на множители,

    - с помощью формул понижения степени,

    - введение вспомогательного угла,

  После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Способы решения некоторых тригонометрических уравнений.

1.    Введение новой переменной:

№1. 2sin²x – 5sinx + 2 = 0.                       №2. tg  + 3ctg  = 4.

   Пусть  sinx = t, |t|≤1,                              Пусть  tg  = z,

   Имеем:  2t² – 5t + 2 = 0.                         Имеем:  z +  = 4.

2. Разложение на множители:

2sinx cos5x – cos5x = 0;         

cos5x (2sinx – 1) = 0.

имеемcos5x = 0,

                2sinx – 1 = 0;

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени                                       

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).                         

Разделим  на  cosx ≠ 0.                        

         II степени

a sin²x + b sinx cosx + c

1) если а ≠ 0, разделим

на cos²x ≠0

имеем:  a tg²x + b tgx + c = 0.

III  этап урока (10 минут)

Выполнение тестового задания

 Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

   После ответа учащихся на экран проектируются задание. Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

     Задание на проекторе.

   Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1)приведение к квадратному;

2)приведение к однородному;

3)разложение на множители;

4)понижение степени;

5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

   Бланк ответов.

Вариант  I

Уравнение	Способы решения
	1	2	3	4	5
3 sin²x +  cos²x = 1 -  sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
2 sin² x/2 + cosx = 1
cosx  + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0

Вариант II

Уравнение	Способы решения
	1	2	3	4	5
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x -  cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x +  11sin²x = 3
sin3x = sin17x

Ответы:

Вариант I                                          Вариант II

	1	2	3	4	5
1		+
2	+
3				+
4					+
5			+

	1	2	3	4	5
1			+
2				+
3		+
4	+
5					+

IV этап урока (10 минут)

Повторение формул для решения уравнений

        Проговорите  формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.Частные случаи по возможности повторитьс помощью тригонометрического круга. 

      Формулы корней тригонометрических уравнений.

Общие		Частные
Уравнение	Формула корней	Уравнение	Формула корней
1. sinx = a, |a|≤1	x = (-1)narcsin a + πk, k є Z	1. sinx = 0	x = πk,  k є Z
2. cosx = a, |a|≤1	x = ±arccos a + 2πk, k є Z	2. sinx = 1	x =  + 2πk,  k є Z
3. tg x = a	x = arctg a + πk,         k є Z	3. sinx = –1	x = – + 2πk,        k є Z
4. ctg x = a	x = arcctg a + πk,        k є Z	4. cosx = 0	x =  + πk,  k є Z
		5. cosx = 1	x = 2πk, k є Z
		6. cosx = –1	x = π + 2πk, k є Z

V  этап урока (15минут)

Устная работа по решению простейших задач на тему   «Тригонометрические уравнения»

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнения.

1.    sin x = 0              cos x = 1            tg x = 0               ctg x = 1 

2.sin x = -¹/₂                    sin x = 1              cos x = ¹/₂               sin x = -^√3/₂ 

  3.  cos x = ^√2/₂           sin x = ^√2/₂               cos x = ^√3/₂            tg x = √3  

 4.    sin x = ¹/₂                    sin x = -1           cos x = -¹/₂             sin x = ^√3/₂

5.  tg x = -√3              ctg x = ^√3/₃               tg x = -^√3/₃           ctg x = -√3  

6.   cos x – 1 =0        2 sin x – 1 =0         2ctg x  + √3 = 0 

VI  этап урока (20 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут. Учителем подготовлены карточки 2-х цветов для удобства ориентации по уровням сложности.

Для учащихся 1-й группы учитель выдал розовые карточки в 4-х вариантах с разнообразными заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся2-й группы учителем составлены желтые карточки в 4-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 2-й группы - это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой,  они будут выполнять задания под контролем учителя.

Все варианты содержат два вычислительных задания и четыре задания на рассмотренную на уроке тему.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

Желтая карточка № 1

1. Найдите значение выражения    ,    при   . 1) 2) 3 3) 1 4) 2. Вычислите:      . 1) 6 2) 12 3 4) 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4.  Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение            . 1) 3) 2) 4)

Желтая карточка № 2

1. Упростите выражение    . 1) 2) 3) 4) 2.  Вычислите:    . 1) 6 2) 3) 4) 3.  Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Желтая карточка № 3

1. Вычислите      . 1) 250 2) 70 3) 10 4) 430 2.  Вычислите:    . 1) 2) 6 3) – 6 4) 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) ) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Желтая карточка № 4

1.Упростите выражение  . 1) 2) 3) 4) 2.  Вычислите:    . 1) – 15 2) 15 3) 4)  3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Розовая карточка № 1

1. Вычислите:           . 1) 2) 3) 2 4) 4 2. Найдите значение выражения  , при  . 1) 7 2) 3) 4) – 7 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Розовая карточка № 2

1. Вычислите:           . 1) 0,1 2) 0,25 3) 1 4) 5 2. Найдите значение выражения  , при  . 1) 2) 2 3) 4) 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Розовая карточка № 3

1. Вычислите:           . 1) 3 2) 3) 4) 2. Найдите значение выражения  , при  . 1) 2) 3) 4 4) 2 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)  4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

Розовая карточка № 4

1. Вычислите:           . 1) 3 2) 5 3) 15 4) 75 2.  Найдите значение выражения  , при  . 1) 8 2) 2 3) 1 4) 3. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 4. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4) 5. Решите уравнение    . 1) 3) 2) 4)

VII  этап урока (5минут)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из предыдущей  контрольной работы.

                           Используемая литература:

1.    А.Н. Колмогоров  «Алгебра и начала анализа 10-11».- М.: Просвещение ,

2.    А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа».Учебник - М.: Мнемозина, А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа». Задачник – М.: Мнемозина,

3.    Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.Н. Белая, Г.Н.Ларкин  «Тестовые задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень». Под редакцией Е.А. Семенко.

- Краснодар: «Просвещение – Юг»