Урок по алгебре в 7 классе "Линейное уравнение с двумя переменными"

• 1 слайд

  
  «Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»
  
  Альберт Эйнштейн
  

• 2 слайд

  Назовите уравнения, которые являются линейными уравнениями с двумя переменными
  2x – y = 7
  5x + 2y = 10
  5xy = 0
  -7x + y = 5
  6x² = 36
  2x – 5y – 9 = 0
  7x + 3y³ = 5
  x:5 - y:4 = 3
  2x+2:y=0
  3x+5=7
  x+y=1
  

• 3 слайд

  Определите какие из данных пар чисел являются решением уравнения x-3y=10
  (10;0)
  (7;-2)
  (13;5)
  (16;2)
  (3;11)
  (7;-1)
  (0;10)
  (-1;14)
  

• 4 слайд

  Сколько еще можно отыскать решений данного уравнения?
  
  x-3y=10
  
  Сколько решений может иметь линейного уравнения с двумя переменными?
  
  Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?
  
  

• 5 слайд

  Работа в парах
  1. Из уравнения выразить переменную x через y и y через x.
  2. Найти три каких-либо решения последнего уравнения
  

• 6 слайд

  Задача Диофанта
  Во дворе дома ходят фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26. Определить сколько было фазанов и кроликов.
  X - количество фазанов
  Y - количество кроликов
  2x+4y=26
  

• 7 слайд

  x = 1, y = 6
  x = 3, y = 5
  x = 5, y = 4
  x = 7, y = 3
  x = 9, y = 2
  x = 11, y = 1
  Ответ: фазанов и кроликов было:
  1 и 6, либо 3 и 5, 5 и 4, 7 и 3, 9 и 2, 11 и 1
  
  
  

• 8 слайд

  Итог урока
  Как быстро отыскать решения линейного уравнения с двумя переменными?
  Чем нужно воспользоваться, чтобы из уравнения выразить одну переменную через другую?
  Какие уравнения называются диофантовыми?
  Как составить уравнение с двумя переменными по условию задачи?
  

• 9 слайд

  Домашнее задание
  п. 40, № 1034, №1039,
  дополнительно №1141, №1144
  

• 1 слайд

  Диофант. Диофантовы уравнения.
  

• 2 слайд

  Диофант
  Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Приблизительно Диофант жил около 3,5 тысяч лет тому назад.
  Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
  
  

• 3 слайд

  Арифметика Диофанта
  Основное произведение Диофанта — «Арифметика» в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
  
  Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены.
  
  Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.
  

• 4 слайд

  Диофант трудился над проблемой решения уравнения в натуральных числах.
  
  В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные способы решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений.
  
  В связи с этим уравнения с несколькими переменными , для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.
  
  А также эти уравнения называются неопределёнными уравнениями. Решением таких уравнений занимались многие математики. Одним из них является Пьер Ферма – французский математик. Он занимался теорией решения неопределённых уравнений. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма.
   
  
  

А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.	А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.
У-I 1. Выразите x через y и y через x  в уравнении      а) 3х – 5у = 8     б)     в) 2. № 1038 3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.	У-II 1. Выразите x через y и y через x  в уравнении      а)     б)     в) 2. № 1040 3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.
А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.	А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.
У-I 1. Выразите x через y и y через x  в уравнении      а) 3х – 5у = 8     б)     в) 2. № 1038 3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.	У-II 1. Выразите x через y и y через x  в уравнении      а)     б)     в) 2. № 1040 3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.
А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.	А-I 1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4? 2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35? 3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.

Тема урока: «Линейные уравнения с двумя переменными»

Тип урока: урок формирования знаний

Цель урока: формирование умения выражать одну переменную через другую, используя свойства уравнений, составлять уравнение с двумя переменными по условию задачи.

Задачи:

 Задачи, которые должен решать учитель, на уроке:

-        учить использовать приобретённые знания для решения нестандартных задач;

-        учить умению математически правильно высказать  свою мысль.

  Задачи, которые должны  решать ученики на данном уроке: 

-        знать определение линейного уравнения с двумя переменными; что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

-        уметь составлять простые линейные уравнения;

-        уметь выделять среди уравнений линейные уравнения с  двумя переменными; 

-        как узнать: является ли пара чисел решением уравнения?  

-        уметь выразить одну переменную через другую;

-        уметь составлять уравнение с двумя переменными по условию задачи;

-        знать свойства уравнений.

Ход урока:

I. Организационный момент (Слайд1).

Урок я бы хотела начать со слов известного ученого Альберт Эйнштейн.

«Мне приходится делить своё время между политикой и  уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

Альберт Эйнштейн

Сообщение цели и темы урока:

Сегодня на уроке мы продолжим изучение уравнений. Записываем в тетради число и тему урока. Но прежде давайте повторим.

II. Актуализация знаний.

-        Два ученика у доски заполняют таблицу значений:

1)      2x+y=-5

x	-4	-1	0	2
y	8	-3	-5	-1

2)      x+3y=-5

x	-14	10	-5	-2
y	3	-5	0	-1

-        Устная работа:

1) определите и прочитайте уравнения, которые являются линейными уравнениями с двумя переменными (Слайд2).

2x-y=7

5х+2у=10;

xy=0

-7х+у=5;

6х²=36;

2х-5у-9=0:

7х+3у³ =5;

х:5- у:4=3

x²+2y=0

3x+5=7

x+y=0

2) Ответьте на вопрос: Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя переменными?

3) (Слайд3) Определите какие из данных пар чисел являются решением уравнения x-3y=10:

(10;0)   (3;11)   (7;-2)   (16;2)   (0;10)   (7;-1)   (13;5)

Как определяли?

4) (Слайд 4) Сколько еще можно отыскать решений данного уравнения? Сколько решений может иметь линейного уравнения с двумя переменными?

5) Что является решением линейного уравнения с двумя переменными?

6) Как быстро отыскать ещё решения данного уравнения?

Для этого необходимо выполнить некоторые преобразования, используя свойства уравнений, выразить одну переменную через другую 

x-3y=10

х = 10-3у

Мы получили формулу, которая позволит нам найти значение х, зная значение у. уравнения у=10-3х и х-3у=10-равносильные, так они имеют одинаковые решения.

II. Закрепление знаний.

1. (Слайд 5) Работа в парах: (в тетрадях)

1.      Выразите в следующих уравнениях y через x и x через y.

1)      x+y=7

x-2y=-8

-3x-8y=2,4

2)      x-y=-2

x+3y=0

2x+5y=-10

3)      y-x=0

-2x+y=5

2y-3x=0

2.      Найдите три каких либо решения последнего уравнения.

2. Историческая справка

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таком случае говорят, что надо «решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах». Уравнения с несколькими переменными,  для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называются диофантовыми уравнениями. (Презентация Каримовой Эльзы)

3. (Слайд 6, 7) Составим линейное уравнение с двумя переменными к задаче Диофанта и решим ее: во дворе дома ходят фазаны и кролики. Количество всех ног оказалось равным 26. Определить сколько было фазанов и кроликов.

x- количество фазанов

y-количество кроликов

2x+4y=26

Выразим y через x

Подставим в это равенство вместо x последовательно числа 1, 2, 3 и т.д., найдем при каких натуральных значениях x соответствующие значение y  являются натуральными.

x = 1,  y = 6

x = 3,  y = 5

x = 5, y = 4

x = 7,  y = 3

x = 9,  y = 2

x = 11,  y = 1

Соответственно фазанов и кроликов было: 1 и 6, либо 3 и 5, 5 и 4, 7 и 3, 9 и 2, 11 и 1.

III. Разминка для глаз.

IV. Самостоятельная работа.

Для слабых:

А-I

1. Являются ли пара чисел (3; 2) решением данного линейного уравнения с двумя переменными  2х – у = 4?

2. Выразите x через y и y через x  х – у = 35?

3. У Саши было несколько двухрублевых и пятирублевых монет, на общую сумму 28 р. Сколько у Саши было пятирублевых монет.

Для сильных:

У-I

1. Выразите x через y и y через x  в уравнении 

    а) 3х – 5у = 8

    б)

    в)

2. № 1038

3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.

У-II

1. Выразите x через y и y через x  в уравнении 

    а)

    б)

    в)

2. № 1040

3. Составьте линейное  уравнение с двумя переменными  по условию задачи. Периметр прямоугольника равен 32 см. Найдите какими должны быть стороны прямоугольника.

VI. Итог урока. (Слайд 8)  

•         Как быстро отыскать решения линейного уравнения с двумя переменными?

•         Чем нужно воспользоваться, чтобы из уравнения выразить одну переменную через другую?

•         Какие уравнения называются диофантовыми?

•         Как составить уравнение с двумя переменными по условию задачи?

 VII. Домашнее задание. (Слайд 9)

п. 40, № 1034, №1039, карточки