Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике на тему "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике на тему "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка"

библиотека
материалов

Три пути ведут к знанию:

путь размышления-это путь

самый благородный,

путь подражания-это путь

самый легкий

и путь опыта-это путь

самый горький.

Конфуций

Тема урока: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Цели урока:

Образовательная

Систематизировать , расширять знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения дифференциальных уравнений второго порядка;


2) Развивающая

Развивать: а) умение анализировать математические ситуации ;

б) умение выделять главное;

в) умение сравнивать, обобщать, классифицировать ;

3) Воспитывающая

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, самоанализу своей деятельности;


Тип урока: комбинированный


Оборудование урока: интерактивная доска, лист успешности учащегося, деформированные задания, тест

Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным листом успешности

Лист успешности учащегося

Фамилия, Имя___________________________________________________



Ход урока:

I. Постановка целей урока

II. Актуализация опорных знаний

1) Закончить формулировку определения:

  1. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются….(дифференциальными)

  2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют …..(обыкновенным)

  3. Функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество называется….(решением уравнения)

  4. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение называется…(порядком уравнения)

  5. Уравнение вида F(х,у,hello_html_524dc96a.gif)=0 называется …..(диф. уравнением 1-го порядка)

  6. Уравнение вида f(x,y)dx=hello_html_m4ef7215e.gif(x,y)dy называется…..(однородным)

  7. Уравнение вида hello_html_524dc96a.gif= f1(x) f2(y) называется…..(диф. уравнением с разделяющимися переменными)

  8. Уравнение вида hello_html_524dc96a.gif +Р(х)у=Q(x) называется…..(линейным диф. уравнением 1-го порядка)

  9. Уравнение вида F(х,у,hello_html_524dc96a.gif , hello_html_3e26db69.gif)=0 называется…(диф. уравнением второго порядка)

  10. Процесс отыскания решения диф. уравнения называется….(итегрированием)

2) Классификация дифференциальных уравнений по их видам:

1

ДУ с разделяющимися переменными

. hello_html_m6d0f9bd1.gif=hello_html_2b2ed72.gifsin2x



2. (6у+3)dx=2hello_html_7f0b48b9.gifdy

Линейное ДУ первого порядка




3. (x2-y2)dx+2xydy=0



4

ДУ третьего порядка

. hello_html_m1639394f.gif



5. hello_html_3e26db69.gif+2hello_html_524dc96a.gif+6y=0


Однородное ДУ первого порядка


6. hello_html_3e26db69.gif=3x2 –4x+2cos3x


Линейное однородное ДУ второго порядка



ДУ второго порядка


3) Классификация дифференциальных уравнений по методам их решения


dxxdy =0


4

1. Метод четырехкратного интегрирования

2

(1+x2)hello_html_524dc96a.gif –xy=2x


5

2. Метод разделения переменных

3

hello_html_m3e403f7a.gif

2

3. Метод двукратного интегрирования

4

hello_html_3e26db69.gif=6x4-12x2+hello_html_60ab7bcc.gif

3

4. Метод сведения ДУ к уравнению с разделяющимися переменными

5

yhello_html_m591516d.gif=2cos2x


1

5. Метод подстановки у=uv

6

hello_html_3e26db69.gif+4hello_html_524dc96a.gif+8y=0


6

6. Метод замены ДУ характеристическим уравнением

4) Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка

нужно:

Если k1hello_html_m88d8014.gifk2, то

у=c1ekhello_html_27ec538e.gifx+c2ekhello_html_585569b1.gifхhello_html_m53d4ecad.gif

1


hello_html_56719eb3.gif

hello_html_25d2ac56.gif

Если k1 = k2, то

у= еkx(c1 +c2x)

2



hello_html_m420a3924.gifhello_html_m72a755e6.gif



Если k1 и k2 – комплексные числа, то у=еах1cosbx +c2sinbx)


3


hello_html_m70eb8a3b.gif




Заменить у11, у1, у на k2, k,1


4








5


Составить характеристическое уравнение вида: k2+px+q=0






III. Формирование практических умений и навыков:


1) Найти ошибку в решении дифференциального уравнения третьего порядка:


hello_html_m6d0f9bd1.gif= 9х2+4-2 cos4x


hello_html_3e26db69.gif= 3x3+4x- hello_html_2b2ed72.gifsin4x+c1


hello_html_524dc96a.gif=hello_html_m349b02b.gif


y=hello_html_m5723a9.gif



2) Найти пары: «Уравнение-его решение»


у=еhello_html_bcf580e.gif12х)

Б


у=с1еhello_html_46583ee2.gif2е-6х

В


у=еhello_html_m162794a4.gif12х

Г


у=с12е

1

hello_html_3e26db69.gif+8hello_html_524dc96a.gif+16у=0



+


2

hello_html_3e26db69.gif-hello_html_524dc96a.gif+hello_html_m51a1c247.gifу=0

+




3

hello_html_3e26db69.gif-9hello_html_524dc96a.gif=0




+

4

hello_html_3e26db69.gif+5hello_html_524dc96a.gif-6у=0


+




3) Решить дифференциальные уравнения с комплексными корнями:


а) hello_html_3e26db69.gif+4hello_html_524dc96a.gif+8у=0 б) hello_html_3e26db69.gif-2hello_html_524dc96a.gif+2у=0

k2+4k+8=0 k2 -2k+2=0

Д=16-32=-16 Д= -4

Д1=Д/4= -4 k1/2= -hello_html_442da17a.gif Д1=Д/4= -1

k1/2= -2 hello_html_me5d6338.gif k1/2= 1 hello_html_m65cb21a6.gif


y=e-2x(c1cos2x+c2sin2x) y=ex(c1cosx+c2sinx)


IV. Выполнение теста

1 вариант

  1. Уравнение hello_html_524dc96a.gif-4у-3=0- это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

  1. Уравнение (х22)dy-(xy-y2)dx=0 - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное диф. уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

  1. Найти общее решение диф. уравнения: hello_html_a15f165.gif

А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е1cosx+c2sinx) В) у=е(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е1cos2x+c2sin2x)

  1. hello_html_m7f54225c.gif

А) у=ех(c1+c2x) Б) у=е1+c2x) В) у=е(c1+c2x) Г) у=е1+c2x)

  1. hello_html_1d0357d.gif

А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е1cosx+c2sinx) В) у=е(c1cos3x+c2sin3x) Г) у=е-3х1cosx+c2sinx)


2 вариант

1. Уравнение hello_html_524dc96a.gif- hello_html_m340c5c6d.gif- это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

  1. Уравнение hello_html_74b015a.gif - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

  1. Найти общее решение диф. уравнения: hello_html_704aebad.gif

А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е-4х1cos2x+c2sin2x) В) у=е(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е1cos2x+c2sin2x)

  1. hello_html_m21e789ac.gif

А) у=ех(c1+c2x) Б) у=с1е+c2е В) у=c1ех+c2е-4х Г) у=е1+c2x)

  1. hello_html_4bd12d73.gif

А) у=ех(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е1cosx+c2sinx) В) у=е(c1coshello_html_2d077f92.gifx+c2sinhello_html_2d077f92.gifx )

Г) у=е-3х1cosx+c2sinx)


Ключи к тесту:


Вариант

1

2

3

4

5

1

Б

В

В

Б

Г

2

Б

А

Б

В

В



V. Домашнее задание:

  1. Составить три диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения четвертого порядка;

  2. Решить эти уравнения;


    1. Рефлексия, итоги урока

Автор
Дата добавления 26.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров179
Номер материала ДБ-214060
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх