Урок по математике на тему "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка"

                                                                                                          Три пути  ведут к знанию:

                                                                                                                путь размышления-это путь                                                                

                                                                                                самый  благородный,

                                                                                                             путь подражания-это путь          

                                                                                 самый легкий

                                                                                                     и путь  опыта-это путь                        

                                                                                     самый   горький.                                                                                                                                                                                 

                                                                                                                                                  Конфуций

Тема  урока: Линейные однородные дифференциальные  уравнения второго порядка                                                               

Цели   урока:                                                                                                       

Образовательная

Систематизировать , расширять знания и умения  учащихся, связанные с  применением  методов решения дифференциальных уравнений   второго  порядка;

  2) Развивающая

Развивать:   а) умение анализировать  математические  ситуации ;

                     б) умение выделять главное;

                     в) умение  сравнивать, обобщать, классифицировать ; 

3) Воспитывающая

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе  умственной   деятельности, самоанализу своей деятельности;

Тип  урока:  комбинированный

Оборудование урока: интерактивная доска,  лист успешности учащегося,  деформированные задания, тест

Вся  работа на уроке  сопровождается  индивидуальным листом успешности

Лист успешности учащегося

             Фамилия, Имя___________________________________________________

Этапы урока	Задания	Достижения	Оценка
I		Знать  основные определения теории дифференциальных уравнений, уметь различать виды дифференциальных уравнений  и методы  их решения
II		Знать алгоритм нахождения общего решения линейного однородного  диф. уравнения второго порядка
III		Уметь решать линейные однородные  диф. уравнения второго порядка с комплексными  корнями
IV		Проверить свои  знания в решении диф. уравнений

Ход   урока:

I. Постановка целей урока

II. Актуализация опорных знаний                

 1) Закончить формулировку  определения:

1)      Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются….(дифференциальными)

2)      Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют …..(обыкновенным) 

3)      Функция  , которая при подстановке  в  уравнение, обращает его в тождество называется….(решением  уравнения)

4)      Наивысший порядок производной, входящей  в дифференциальное  уравнение называется…(порядком уравнения)

5)      Уравнение вида  F(х,у,)=0  называется …..(диф. уравнением  1-го порядка)

6)      Уравнение вида   f(x,y)dx=(x,y)dy  называется…..(однородным)

7)      Уравнение вида  = f₁(x) f₂₍y) называется…..(диф. уравнением  с разделяющимися переменными)

8)      Уравнение вида   +Р(х)у=Q(x)   называется…..(линейным  диф. уравнением 1-го порядка)

9)      Уравнение вида  F(х,у, , )=0  называется…(диф. уравнением  второго  порядка) 

10)  Процесс  отыскания решения диф. уравнения  называется….(итегрированием)

2)     Классификация  дифференциальных уравнений  по их видам:

ДУ  с разделяющимися переменными

1.   =sin2x

2. (6у+3)dx=2dy

	Линейное ДУ первого порядка

 

3. (x²-y²)dx+2xydy=0

ДУ  третьего порядка

4.                        

5.  +2+6y=0

	Однородное ДУ   первого порядка

 

6. =3x² –4x+2cos3x         

	Линейное однородное ДУ второго порядка

 

ДУ   второго порядка

                                                                                                                                        

3)  Классификация  дифференциальных уравнений  по методам их решения

№	Уравнения	№ метода	Методы
1	(х+у)dx – xdy =0	4	1. Метод   четырехкратного интегрирования
2	(1+x2) –xy=2x	5	2. Метод  разделения   переменных
3		2	3. Метод двукратного интегрирования
4	=6x4-12x2+	3	4. Метод  сведения ДУ к уравнению с разделяющимися  переменными
5	y=2cos2x	1	5. Метод  подстановки  у=uv
6	+4+8y=0	6	6. Метод  замены  ДУ характеристическим  уравнением

4) Алгоритм  нахождения общего решения линейного  однородного  уравнения второго порядка

	Чтобы найти общее  решение  линейного однородного уравнения второго порядка нужно:

 

Если  k1 = k2, то у= еkx(c1 +c2x)

                                                                                                                                      

	2

 

                                                                                                                                                        

			Заменить  у11, у1, у    на  k2, k,1
	4
	5
				Составить  характеристическое уравнение  вида: k2+px+q=0

 

III. Формирование практических умений  и навыков:

 1)  Найти  ошибку  в  решении дифференциального  уравнения   третьего  порядка:

 = 9х²+4-2 cos4x

= 3x³+4x- sin4x+c₁

=

y=

2)  Найти  пары: «Уравнение-его решение»

Уравнения		Решения
		А у=е(с1+с2х)	Б у=с1е+с2е-6х	В у=е(с1+с2х	Г у=с1+с2е9х
1	+8+16у=0			+
2	-+у=0	+
3	-9=0				+
4	+5-6у=0		+

3)   Решить  дифференциальные уравнения   с комплексными корнями:

а) +4+8у=0                                            б) -2+2у=0                                           

k²+4k+8=0                                                            k2 -2k+2=0

Д=16-32=-16                                                       Д= -4

Д¹=Д/4= -4   k_1/2= -                             Д¹=Д/4= -1  

k_1/2= -2                                                              k_1/2= 1

y=e^-2x(c₁cos2x+c₂sin2x)                                          y=e^x(c₁cosx+c₂sinx)

IV.  Выполнение   теста                                                    

 1 вариант

1.            Уравнение  -4у-3=0-  это уравнение:

А)  с разделяющимися переменными;  Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка;   Г) диф. уравнение 2-го порядка;

2.            Уравнение  (х²-у²)dy-(xy-y²)dx=0 -  это уравнение:

А)  с разделяющимися переменными;  Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное диф. уравнение ;       Г) диф. уравнение 2-го порядка;

3.            Найти общее решение диф. уравнения: 

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x)  Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx)  В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3х) Г)у=е^4х(с₁cos2x+c₂sin2x)

4.             

А) у=е^х(c₁+c₂x)      Б) у=е^-х(с₁+c₂x)    В) у=е^2х(c₁+c₂x)          Г) у=е^4х(с₁+c₂x)

5.           

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x)    Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx)   В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3x)  Г) у=е^-3х (с₁cosx+c₂sinx)

   2 вариант

        1.  Уравнение  - -  это уравнение:

А)  с разделяющимися переменными;  Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка;   Г) диф. уравнение 2-го порядка;

2.      Уравнение    -  это уравнение:

А)  с разделяющимися переменными;  Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение ;            Г) диф. уравнение 2-го порядка;

3.      Найти общее решение диф. уравнения: 

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x)  Б) у=е^-4х (с₁cos2x+c₂sin2x)  В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3х) Г)у=е^4х(с₁cos2x+c₂sin2x)

4.       

А) у=е^х(c₁+c₂x)      Б) у=с₁е^2х+c₂е^4х    В) у=c₁е^х+c₂е^-4х          Г) у=е^4х(с₁+c₂x)

5.     

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x)    Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx)   В) у=е^-х(c₁cosx+c₂sinx )

 Г) у=е^-3х (с₁cosx+c₂sinx)

Ключи  к тесту:

Вариант	1	2	3	4	5
1	Б	В	В	Б	Г
2	Б	А	Б	В	В

V.      Домашнее задание:

1)      Составить  три  диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения  четвертого порядка;

2)       Решить эти уравнения;

VI.             Рефлексия, итоги урока