Урок по математике на тему "Методы решения тригонометрических уравнений" (1,2 курс СПО)

Тема: «Аналитические методы решения тригонометрических уравнений».

Цели:

1.                 Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения обучающихся, связанные с применением аналитических методов решения тригонометрических уравнений.

2.                 Содействовать развитию мышления обучающихся, их творческих возможностей.

3.                 Побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Оборудование: Презентация к уроку, карточки Таблица 1,  

Х о д  у р о к а

I.                  Организационный момент:

Альберт Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важней. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

«Стадия ВЫЗОВ»

1. Давайте повторим теоретический материал:

- Что такое уравнение?

- Что значит решить уравнение?

- Что называется корнем уравнения?

-Уравнения какого вида называются тригонометрическими?

-Дайте определение арксинуса α, арккосинуса α, арктангенса α.

2. Прием «Верю - не верю». Рассмотрите уравнения и прочитайте комментарии и поставьте  знаки «+» или «-» , что означает «верю» или «не верю»

На выполнение задания вам отводится 5 минут. Приступайте к работе.

Таблица 1

№	Уравнение	комментарий	А «+», «-», верю, не верю	Б	В
1	(cos x- 1/3)(cos x +2/5)=0.	Решение данного уравнения  сводится к решению совокупности уравнений cos x =1/3   или   cos x = - 2/5.
2	2cos2 x–5cosx+2=0	Решение данного уравнения  сводится к решению совокупности уравнений  cos x =2, или cos x= ½.
3	2 sinx– 3 cosx= 0.	Чтобы решить данное уравнение необходимо разделить обе части уравнения на cosx
4	sin2x– 3 sinx cosx+ 2 cos2x= 0.	Чтобы решить данное уравнение необходимо разделить обе части уравнения на cos2x

II.                Решение уравнений

«Стадия осмысления»

Решение уравнений.

1.Совместное обсуждение и решение уравнений.

Аналитические методы тригонометрических уравнений:

- метод замены переменной;

- метод разложения на множители;

- однородное тригонометрическое уравнение первой степени ;

(однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень)

- однородное тригонометрическое уравнение 2-й степени.

Сейчас, ребята я предлагаю вам решить записанные на доске уравнения, используя подходящий для этого метод.

1-sin x = cos x (1 – sin x)

sin² 2x – 8 sin2x + 4 = 0

3sin x + 4 cos x = 5

        3sin²x + sinx cosx - 2 cos²x= 0

По окончании работы, заполнение столбца «Б» таблицы 1.

2. Самостоятельная работа

«Стадия рефлексии»

1.     Решить уравнения из таблицы1, используя подходящий метод  

и еще раз поставить знаки «+»/ «-» (верю- не верю), столбец «В»

2.     Прием «кластер»  Заполнить прямоугольники.

 

3.     Дополнительно решить уравнения

2sin x + cos x = 0

 sin²x + sinx cosx - 2 cos²x= 0

III.           Подведение итогов урока.

Оценки за урок.

Информация о домашнем задании.

Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:

a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

либо

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:

1) разделить обе части уравнения на cos x 2) решить получившееся выражение

 
Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos x:

   2 sin x           3 cos x             0
————  –  ————  =  ———
     cos x            cos x             cos x

Получаем:

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

           3
tg x = —
           2

                3
x = arctg — + πn
                2

Пример решен.

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin² x + b sin x cos x + c cos² x= 0.

Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin² x. 
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.

1) Разделить обе части уравнения на cos2 x 2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x) 3) Решить получившееся уравнение

 
Пример: Решить уравнение sin² x – 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos² x:

  sin² x         3 sin x cos x          2 cos² x             0
———  –  ——————  +  ————  =  ———
 cos² x             cos² x                  cos² x           cos² x

Получаем:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

z² – 3z + 2 = 0.

Найдем корни:
z₁ = 1
z₂ = 2.

Значит:
либо tg x = 1, 
либо  tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1:
x = arctg 1 + πn.
x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2:
x = arctg 2 + πn.

Ответ: x = π/4 + πn;  x = arctg 2 + πn.