Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике на тему "Основные методы решения иррациональных уравнений" (1 курс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике на тему "Основные методы решения иррациональных уравнений" (1 курс)

библиотека
материалов

Разработала: Киреева Ольга Владимировна

Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение "Белгородский педагогический колледж"
















Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Дисциплина: математика

1 курс









Автор:

преподаватель математики

Киреева Ольга Владимировна














Белгород 2015

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Цели:

Образовательная – создание условий для усвоения студентами основные методы решения иррациональных уравнений; способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, показать применение теоретического материала при решении иррациональных уравнений (выполнение практической работы по вариантам, выполнение самостоятельной работы).

Развивающая – способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления.

Воспитательная – способствовать развитию интереса к учебному предмету, воспитание культуры интеллектуального труда, чувства коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1. Продемонстрировать основные методы решения иррациональных уравнений, формировать умение выбирать рациональные пути решения;

2. Освоение всеми студентами алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

3. Развитие у студентов логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

4. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами и между студентами и преподавателем, воспитание навыков совместного решения задач.

Тип и вид учебного занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности: комбинированное занятие.

Методы обучения:

информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; исследовательский; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: мультимедийная установка, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность проведения занятия 90 минут.

Подготовительный этап

За неделю до мероприятия группа делится на подгруппы по 3-4 человека. Преподаватель предварительно выделяет основные направления поиска, студенты выбирают направление в зависимости от собственных возможностей. Студенты собирают и исследуют теоретический материал, подбирают практический материал (примеры с решениями). С помощью преподавателя или одного учащегося (выбранного группой) весь собранный материал оформляется в виде презентации.

В разработку проекта входит:

а) Подбор теоретического материала;

б) Подбор практического материала;

в) Оформление проектов.

План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

2. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала.

5. Подведение итогов и результатов урока.

6. Рефлексия.

7. Задание на дом.

Конспект урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация. Мотивация учебной деятельности

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.

Мотивация учебной деятельности

В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведенное время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путем решения таких задач и последующего анализа проведенного решения.

2. Актуализация опорных знаний

Проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации.

Проверка домашнего задания

Определение иррационального уравнения

Уравнение, содержащее переменные (неизвестные) под знаком корня или дробной степени, принято называть иррациональным.

Уравнение с одной переменной hello_html_7a649c2a.gif называют иррациональным, если хотя бы одна из функций hello_html_278687bc.gif или hello_html_m32a908b6.gif содержит переменную под знаком радикала.

Назовите иррациональные уравнения:

hello_html_m6a450348.gif(да)

hello_html_7c51e5ec.gif(нет)

hello_html_bcbbd02.gif(да)

hello_html_m50f602d0.gif(да)

hello_html_m69d353eb.gif(нет)

Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

3. Изучение нового материала

Основные методы решения иррациональных уравнений

Выступление 1 подгруппы

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень

Теорема.

Если возвести обе части уравнения hello_html_7a649c2a.gif (1) в натуральную степень n, то уравнение hello_html_m25a20aa0.gif (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство.

Если выполняется числовое равенство hello_html_m47d26cf3.gif, то по свойствам степени выполняется равенство hello_html_359b84e7.gif, т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если hello_html_178ef06.gif, то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если hello_html_m5db27ec7.gif, равенство hello_html_m101eff82.gif справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств hello_html_m47d26cf3.gif и hello_html_m470f653f.gif. Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения hello_html_7a649c2a.gif приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование hello_html_625a7a8d.gif.

В этом случае уравнение hello_html_4e0d5b52.gif равносильно системе hello_html_3f5dcae1.gif. В системе отсутствует требование hello_html_298e3b2f.gif, обеспечивающее существование корня степени hello_html_4924054b.gif, так как оно было бы излишним в связи с равенством hello_html_28b37bed.gif.

Для уравнения вида hello_html_m47694738.gif или hello_html_31007f6c.gif

Пример 1.

hello_html_m78dd8f2a.gif

Решение.

hello_html_b1f8a53.gif

hello_html_5772d454.gif

hello_html_5306d622.gif

Ответ: hello_html_32cae9a8.gif

Пример 2.

hello_html_4cad7868.gif

Решение.

hello_html_m4fb1ca9.gif

hello_html_m76578416.gif

hello_html_1434bfd9.gif

Решив квадратное уравнение получим

hello_html_1cd8e39f.gif

Ответ: hello_html_460ecf46.gif

Пример 3.

hello_html_m789fc2e4.gif

Решение.

hello_html_m789fc2e4.gif

hello_html_10ebf5dd.gif

hello_html_m716be4e3.gif

hello_html_m996b489.gif

hello_html_m4f959e08.gif

hello_html_3c2c5e20.gif

hello_html_m77d616f2.gif

Проверка.

hello_html_m4de6f6d2.gif

hello_html_m75a66025.gif

1=1 (корень)

hello_html_m21c50c7.gif

hello_html_m3611ac6f.gif

2=-2 (посторонний корень)

Ответ: х=2

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида hello_html_4e0d5b52.gif. При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 4.

hello_html_2d9afc83.gif

Решение.

hello_html_2d9afc83.gif

hello_html_191f9ec7.gif

hello_html_50693d12.gif

hello_html_285600c8.gif

hello_html_m107d74f0.gif

hello_html_11b01714.gif

hello_html_2cdfb7b9.gif

hello_html_4159f23.gif

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ. hello_html_2cdfb7b9.gif; hello_html_4159f23.gif

Выступление 2 подгруппы

Решение уравнений с использованием замены переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1.

hello_html_m40151f7f.gif, hello_html_m60b333e3.gif.

Решение.

Пусть hello_html_55b58ba4.gif, hello_html_1bfc44c5.gif, тогда исходное уравнение примет вид:

hello_html_m2d0444a8.gif

hello_html_m1e7faa51.gif

hello_html_m52955d99.gif

Решим уравнение

hello_html_163fbe79.gif

hello_html_6f01d6c8.gif

hello_html_m16f819d0.gif

hello_html_m32929988.gif

Ответ: hello_html_m16f819d0.gif; hello_html_m32929988.gif

Пример 2.

hello_html_m80fb0fe.gif

Решение.

hello_html_1c5ee7dd.gif

Пусть hello_html_m784649ea.gif, hello_html_1bfc44c5.gif, тогда hello_html_45196b1e.gif, а hello_html_m5e2cdfc1.gif

hello_html_240e82dc.gif

hello_html_29614544.gif

hello_html_m150a3aec.gifне удовлетворяет условию hello_html_1bfc44c5.gif

hello_html_m1c59280d.gif

hello_html_m784649ea.gif

hello_html_m6716d93d.gif

hello_html_23d259bd.gif

hello_html_m6b96d5d8.gif

hello_html_36c3a5d6.gif

hello_html_5a6d3469.gif

Проверка

hello_html_36c3a5d6.gif

hello_html_297bca7.gif

2=2

hello_html_5a6d3469.gif

hello_html_m14b320d0.gif

2=2

Оба корня подходят.

Ответ. hello_html_36c3a5d6.gif; hello_html_5a6d3469.gif

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 3.

hello_html_57a220ed.gif, hello_html_m60b333e3.gif

Решение.

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:

hello_html_feb780d.gif

hello_html_m2da17b64.gif

Замена hello_html_m384c63f0.gif приводит уравнение к виду hello_html_4106ff2f.gif, корнями которого являются hello_html_m93ad10b.gif и hello_html_14f58d09.gif.

Осталось решить совокупность двух уравнений:

hello_html_7e7b84cd.gif

hello_html_mef972d8.gif

hello_html_m769aa447.gif

Ответ. х=0

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 4.

hello_html_22fdeccd.gif

Решение.

Пусть hello_html_m37532546.gif, hello_html_165dc8ab.gif

Тогда, hello_html_6a03bbfb.gif, hello_html_m7d103a8d.gif

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения hello_html_844aebe.gif

Имеем систему уравнений

hello_html_1163a2.gif

hello_html_m6217dd2c.gif

hello_html_102e8c55.gif

Так как hello_html_6c7de57f.gif, то hello_html_61488606.gif, hello_html_m12978cdb.gif

hello_html_m375bf81.gif

hello_html_5a1439c2.gif

Следовательно, hello_html_m58829c51.gif

hello_html_m39ddd82c.gif

hello_html_de3c864.gif

х=1

Ответ. х=1

Выступление 3 подгруппы

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Теорема.

Уравнение hello_html_m7d59acf4.gif определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений hello_html_5d4dd3c7.gif.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 1.

hello_html_42b34533.gif

Решение.

hello_html_b795727.gif

hello_html_m6994d8a2.gif

Ответ. hello_html_m7f367ced.gif, hello_html_59e735d7.gif

Пример 2.

hello_html_m3824fc16.gif

Решение.

При hello_html_7a291b6.gif уравнение принимает вид:

hello_html_ma11e112.gif, которое равносильно совокупности двух уравнений:

hello_html_5b4f9c19.gif

hello_html_305277b2.gif

hello_html_m4bc01b7.gif

hello_html_65150bb9.gif

Ответ. hello_html_460ecf46.gif, hello_html_m38dcc05e.gif

4. Закрепление изученного материала

Решение уравнений в подгруппах по 4 человека.

Студенты получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

Задания для работы в группах

Вариант 1

Решите уравнения, используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

а) hello_html_m7bad058b.gif

б) hello_html_m5a79631a.gif

в) hello_html_440c2199.gif

2. Выполни замену:

hello_html_7c9d0036.gif

3. Разложи на множители:

hello_html_4b60a655.gif

4. Реши любым способом:

hello_html_m1d665c7c.gif

Вариант 2

Решите уравнения, используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

а) hello_html_43aa3b30.gif

б) hello_html_7730e497.gif

в) hello_html_m7506d51.gif

2. Выполни замену:

hello_html_m78e3f384.gif

3. Разложи на множители:

hello_html_5a89148e.gif

4. Реши любым способом:

hello_html_5124ce66.gif

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по вариантам: 1, 3, 5 группа (1 вариант); 2, 4, 6 группа (2 вариант).

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки с занесением в оценочную таблицу. Преподаватель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия

Сообщения с презентациями, подготовленные студентами, были достаточны, грамотны, освещены типы, методы и особенности решения иррациональных уравнений, проведены теоретические обоснования к ним.

Решения уравнений различными способами, по мнению студентов, помогает восполнить пробелы, найти свой, понятный путь решения задачи, найти свою нишу для самовыражения.

Преподаватель предлагает ученикам высказать свое мнение, продолжив фразы:

- Сегодня на уроке ...

- Я повторил ...

- Теперь я знаю ...

- В результате исследовательской групповой работы я ...

Задание на дом:

Решите уравнения:

1. hello_html_m4bdc007.gif

2. hello_html_1df469f8.gif

3. hello_html_6f9f1aab.gif

4. hello_html_3dfb9297.gif

5. hello_html_m68d2707d.gif

6. hello_html_17c33cb6.gif


Используемая литература:

П.В. Чулков Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010. – 172 с.

А.Н. Колмогоров Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2009. – 384 с.

«Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 15-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 384 с.

Тест «Основные методы решения иррациональных уравнений»

Вариант 1

1. Найдите корни уравнения hello_html_m848a455.gif

1) 2 2) -6 3) 14 4) корней нет

2. Решите уравнение hello_html_1adfe74d.gif

1) -3 2) 4 3) 9 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения hello_html_m5c61f0cc.gif

1) 0;10 2) 0;-9 3) 0 4) корней нет

4. Решите уравнение hello_html_1cfeeae5.gif

1) -3 2) 3 3) 0;3 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения hello_html_5102f488.gif

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение hello_html_m6574cd12.gif

1) 0;-1 2) 0;-1 3) -1 4) корней нет

7. Найдите корни уравнения hello_html_7d75ad24.gif

1) 8 2) hello_html_4a3bca68.gif 3) hello_html_24f06222.gif 4) -8

8. Решите уравнение hello_html_2de50ee5.gif

1) -2 2) -2;-1 3) -1 4) hello_html_17c1e5b4.gif

9. Найдите корни уравнения hello_html_mc76974.gif

1) -10;hello_html_5c3ffb90.gif 2) -10;10 3) hello_html_5c3ffb90.gif 4) -10; hello_html_5c3ffb90.gif

10. Решите уравнение hello_html_m5109817e.gif

1) -16;-2;0 2) -16 3) 0;-2 4) -16;-2


Вариант 2

1. Найдите корни уравнения hello_html_m3ded5311.gif

1) 5 2) 96 3) -6 4) корней нет

2. Решите уравнение hello_html_5bc7957.gif

1) 1,5 2) 4 3) 2 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения hello_html_m4dc19259.gif

1) 0 2) 0;9 3) 9 4) корней нет

4. Решите уравнение hello_html_5a3e0ed6.gif

1) -3 2) 3 3) 1 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения hello_html_m2ca7c959.gif

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение hello_html_m4dc9e672.gif

1) 0;3 2) 0;-3 3) корней нет 4) 3

7. Найдите корни уравнения hello_html_7232de4c.gif

1) 15 2) hello_html_m568d7ef8.gif 3) hello_html_m350c2db1.gif 4) корней нет

8. Решите уравнение hello_html_m5568ab3.gif

1) 36 2) 24; 36 3) 24 4) hello_html_57c525ae.gif

9. Найдите корни уравнения hello_html_61772831.gif

1) 11; hello_html_168f9eed.gif 2) 11;-11 3) -11 4) -11;hello_html_168f9eed.gif

10. Решите уравнение hello_html_7e46dcdd.gif

1) -7 2) 0 3) -7;0 4) корней нет


Вариант 3

1. Найдите корни уравнения hello_html_m42332fe7.gif

1) hello_html_166294a8.gif 2) -5 3) 5 4) корней нет

2. Решите уравнение hello_html_67a379be.gif

1) hello_html_1ab0adc.gif 2) hello_html_m47ff1384.gif 3) 9 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения hello_html_m2d5255b0.gif

1) 0;-7 2) 0; -13 3) 0 4) корней нет

4. Решите уравнение hello_html_f6a6606.gif

1) -3 2) 3 3) -3;3 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения hello_html_m6835a95c.gif

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение hello_html_m1aaafbd7.gif

1) 0,2 2) -0,2 3) -0,1 4) корней нет

7. Найдите корни уравнения hello_html_m71047572.gif

1) 19 2) hello_html_5a91b87.gif 3) hello_html_m62fd1ee6.gif 4) -19

8. Решите уравнение hello_html_m14874b9.gif

1) -10 2) -10;-9 3) -9 4) hello_html_5f044d9b.gif

9. Найдите корни уравнения hello_html_m395add10.gif

1) -12;hello_html_5c3ffb90.gif 2) -12;12 3) hello_html_37008090.gif 4) -12; hello_html_37008090.gif

10. Решите уравнение hello_html_m2360bc3d.gif

1) -15;-2;0 2) -15 3) 0;-2 4) -15;-2


Вариант 4

1. Найдите корни уравнения hello_html_4caa510.gif

1) hello_html_m5cff3dd0.gif 2) hello_html_m2565a827.gif 3) 2 4) корней нет

2. Решите уравнение hello_html_m3a7957b4.gif

1) 0,5 2) 4 3) -2 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения hello_html_38f2d65c.gif

1) 0 2) 0;21 3) 21 4) корней нет

4. Решите уравнение hello_html_49a95fb2.gif

1) -1 2) 0 3) 1 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения hello_html_56df0d4d.gif

1) 8 2) -3;8 3) -8;3 4) -3

6. Решите уравнение hello_html_m299204c5.gif

1) -6 2) 3;-6 3) корней нет 4) 3

7. Найдите корни уравнения hello_html_74c28177.gif

1) 90 2) hello_html_5857b026.gif 3) hello_html_m14f03a5f.gif 4) корней нет

8. Решите уравнение hello_html_33fb90fe.gif

1) 87 2) 27; 87 3) 27 4) hello_html_2c78271a.gif

9. Найдите корни уравнения hello_html_1ba0f429.gif

1) 14; hello_html_279295b9.gif 2) 14;-14; hello_html_279295b9.gif 3) -14 4) -14; hello_html_279295b9.gif

10. Решите уравнение hello_html_m5173c4d9.gif

1) -13 2) -3 3) -13;-3 4) корней нет


С тестами студенты справились успешно: «5» - 4 человека; «4» - 12 человек; «3» - 8 человек.

Студенты пользовались различными способами.


Практическая работа «Основные методы решения иррациональных уравнений»

Вариант 1

1. Найдите область определения функции:

hello_html_1733e997.gif

2. Возведи обе части в степень:

hello_html_77e0cf83.gif

hello_html_m732ed328.gif

hello_html_m50860f07.gif

3. Выполни замену:

hello_html_1d58bf5f.gif

hello_html_m515ba432.gif

4. Разложи на множители:

hello_html_27a4463c.gif

5. Реши любым способом:

hello_html_m40151f7f.gif


Вариант 2

1. Найдите область определения функции:

hello_html_m422ecafa.gif

2. Возведи обе части в степень:

hello_html_13b3eeed.gif

hello_html_17715c61.gif

hello_html_4982a14e.gif

3. Выполни замену:

hello_html_2a4afdce.gif

hello_html_m6a6f06b.gif

4. Разложи на множители:

hello_html_m630c3bc.gif

5. Реши любым способом:

hello_html_m31583665.gif



С практической работой студенты справились так же успешно: «5» - 5 человек; «4» - 11 человек; «3» - 8 человек.


14



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Конспект урока по математике на тему "Основные методы решения иррациональных уравнений" (1 курс)

Тип и вид учебного занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности: комбинированное занятие.

Методы обучения:

информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; исследовательский; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: мультимедийная установка, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность проведения занятия 90 минут.

Автор
Дата добавления 20.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров993
Номер материала 289350
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх