Урок по математике на тему "Решение уравнений, содержащих абсолютную величину" (8 класс)

Тема  урока :  « Решение  уравнений,  содержащих  абсолютную  величину»

Цели:  В  ходе  выполнения  упражнений  закрепить  знания  определения  модуля,  свойств  модуля,  тождества  √х²=|х|,  правила  построения  графиков  функций,  содержащих  абсолютную  величину.  Показать  различные  способы  решения  уравнений  с  модулями.

Ход  урока:

1.      Актуализация  опорных  знаний.

На  экран  проецируем  ЛСМ  «Модуль  действительного  числа»

1)     Вычислить  (устно)

|6|, |-2|,  |-2,56|,  |-1|,  ,  |-5|,  |-|, 

2)    Упростить  выражение  (решаем  на  доске  и  в  тетрадях)

а)  √у⁶,  где  у ≥0,   б)  √х⁶,  где  х<0,   в)  √м⁴,   г)  ⅓√с⁸,  д)  15√0,16с⁶

Решение:  а) √у⁶=√(у³)²=|у³|=у³;

                     б)  √х⁶=√(х³)²=|х³|=-х³;

                     в)  √м⁴=√(м²)²=|м²|=м²;

                     г)  ⅓√с⁸=⅓√(с⁴)²=⅓|с⁴|=⅓с⁴;

                     д)  15√0,16с⁶=6√(с³)²=6|с³|;           6|с³|=6с³,  где  с≥0;        6|с³|=-6с³,  где  с<0;   

         3)   Построить  графики  функций  на  доске  и  в  тетради.  (см.  К-4)   

               Построить  графики  в  разных  системах  координат  для  дальнейшего  использования

               при  графическом  способе  решения  уравнений.  За  единичный  отрезок  взять  2  клетки.

              а)  у=|х|,                                     б)  у=|х+2|                                   в)  у=|х|+2

            

(В  тетрадях  оставить  место  для  записи  решения  уравнений.)

2.      Работа  по  теме.

1)     Заполняем  координату  К-6: «Способы  решения  уравнений»

1 способ:  С  использованием  геометрической  интерпретации  (Г.П.)

        2 способ:  По  определению  абсолютной  величины (А.В.)

        3 способ:  Графический  метод  (Граф.)

Есть  и  другие  способы,  которые  рассмотрим  позже.

2)     Рассмотрим  первый  способ. 

а)  Решим  уравнение  |х+4|=2.  (объясняет  учитель)

Решение:  Найдем  точки,  удаленные  от  -4  ровно  на  два  единичных  отрезка.

                                 -2          +2

 

                                                                       -6      -4       -2        0    1                                            Х

                                                                х=-4-2          или      х=-4+2

                                                                х=-6              или      х=-2.

                                                               Ответ:  -6; -2.

          б)  Решить  №  1122 (а,б)  с  комментированием   на  месте.

                              |х-1|=2                        -2      +2

 

                                                          -1    0    1          3                                                Х

                               Ответ:  -1;3.

                               |х+5|=4         -4             +4

 

                                                                     -9          -5           -1  0   1              х                           

                              Ответ: -9;-1.

          в)  Решить  уравнение  на  доске  и  в  тетрадях.  Учитель  помогает  при  необходимости.

         |2х-6|=8

         Решение:  |2х-6|=8  |:2

                           |х-3

                                                                                        -4                     +4

 

                                                     -1  0   1      3              7                              х                

                              Ответ:-1;7.

                              |4х+8|=16          Ответ: -6;2.

          г) Решить  уравнение:  |х+3|²-5|х+3|+6=0    (Объясняет  учитель,  привлекая  учащихся)

          Решение:  Воспользуемся  свойством:  |а|²=|а²|=а²  (см.  К-3)

          Пусть  |х+3|=t,  тогда  получим  уравнение:

          t²-5t+6=0,

          Найдем  t:    t=3  или  t=2,      Выполним  обратную  замену:

         |х+3|=3     или|х+3|=2

         Далее  решаем  каждое  из  полученных  уравнений,  используя  способ  геометрической 

        интерпретации. 

                                    -3                 +3                                                                                   -2        +2              

 

                     -6                    -3                    0     1                    Х                               -5            -3             -1   0     1     Х 

     Ответ:  -6;-5;-1;0.

3)Рассмотрим  второй  способ  по  определению  абсолютной  величины. ( см. К-2)

а)  Решить  уравнение:  |2х+3|=6-5х.  (Объясняет  учитель)

      Решение:                        2х+3≥0,                                   х≥-1,5,                            х≥-1,5,

     |2х+3|=6-5х   ↔            2х+3=6-5х;            ↔           7х=3;               ↔          х=3/7;

                                                2х+3<0,                                   х<-1,5,                            х<-1,5

                                                -2х-3=6-5х.                            3х=9                                х=3. 

 

Решением  первой  системы  является  число  3/7,  вторая  система  не  имеет  решений.

Ответ:  3/7.

б)  Решить  №  1135 (а)  на  доске  и  в  тетрадях     х²+5х-6|х|/х=0

 

Решение:                              х>0,                                      х>0,                                х=1,

х²+5х-6|х|/х=0     ↔          х²+5х-6=0;        ↔             х=-6,  х=1        ↔        х=-2,

                                  х<0,                                      х<0,                               х=-3.

                                  х²+5х+6=0.                         х=-2,  х=-3

Ответ:  -3;-2;1.

в)  Решить  №  1135 (в).    Учащиеся  решают  самостоятельно,  с  последующей  проверкой.

Решение:                             х>0,                                      х>0,

х²+5х²/|х| -6=0    ↔         х²+5х-6=0;        ↔             х=-6,       ↔          х=1,

                                               х<0,                                      х=1                         х=-1. 

                                              х²-5х-6=0.                           х<0,    

                                                                            х=6,

Ответ:-1;1.                                                                       х=-1

4)   Рассмотрим  третий  способ – графический.

а)  Решить  уравнение:  |х|=(х+1)²-1.     Объясняет  учитель  с  привлечением  учащихся.

Решение:  Воспользуемся  ранее  построенным  графиком  функции  у=|х|.  (см.  рис.  1а)

В  этой  же  системе  координат  построим  график  функции  у=(х+1)²-1.  Квадратичная  функция,  график – парабола.  Введем  новую  систему  координат  с  началом  в  точке (-1;-1);  пунктирные  прямые:  х=-1,  у=-1.  В  новой  системе  координат  построим  график  функции  у=х².  Это  и  есть  требуемый  график  у=(х+1)²-1.

Найдем  абсциссы  точек  пересечения  графиков:  х=-3,  х=0.

Это и  есть  корни  уравнения:  |х|=(х+1)²-1. 

Ответ: -3;0.

б)  Решить  уравнение: |х+2|=|4/х| .   ( на  доске  и  в  тетрадях)

Решение:  Воспользуемся  ранее  построенным  графиком  функции  у=|х+2|. ( см. рис. 1б)

В  этой  же  системе  координат  построим  график  функции  у=|4/х|. 

График  -  гипербола,  ветви которой  расположены  в  1  и2  координатных  углах.

-  В  скольких   точках  пересекаются  графики?

-Значит,  сколько  решений  имеет  уравнение?

-Графики  пересекаются  в  двух  точках,  но  с  «плохими»  координатами.  В  подобных  случаях  говорят  о  приближенном  решении  уравнения  и  пишут  так:

Ответ: х≈-3,2;  х≈1,2.

в)  Решить  уравнение:  |х|+2=-1.  (на  доске  и  в  тетрадях)

Решение:  Воспользуемся  ранее  построенным  графиком функции  у=|х|+2  (см. рис. 1в)

В этой  же  системе  координат  построим  график  функции  у=-1.  Для  построения  графика  этой  функции  возьмем  вспомогательную  систему  координат  с  началом  в  точке (0;-1),  пунктирная  прямая  у=-1.  Построим  в  ней  график  функции  у=.  Это  и будет  требуемый  график  у=-1.

-Пересекаются  ли  графики  функций  у=|х|+2  и  у=-1?

- Значит,  уравнение   |х|+2=  -1  не  имеет  корней.

Ответ:  корней  нет.

Г)  Решим  данное  уравнение  аналитическим  способом.  Вызвать  к  доске  сильного  ученика,  обсуждение – коллективное.

|х|+2=√х-1. 

- Как  называется  уравнение  такого  вида?

-Какова  область  допустимых  значений? (х≥0)

Решение:  х+2=-1;

                   х+2+1=;

                     х+3=,   (  возведем  обе  части  уравнения  в  квадрат)

                     (х+3)²=()²;

                      х²+6х+9=х;

                      х²+5х+9=0;

                     Д=25-36<0.           

Значит,  данное  уравнение  не  имеет  корней.

-В  чем  вы  видите  недостаток  и  в  чем  преимущество  графического  способа  решения  уравнений?  (  Недостаток:  координаты  точек  пересечения  могут  быть  «плохие»  числа ,  значит  корни  уравнения – приближенные  числа.  Преимущество:  наглядность  и  рациональное  решение.)

3.  Закрепление  изученного  материала.    

1)  Выполнить  самостоятельную  работу.

Решить  уравнения:

№	Вариант1	Ответы	№	Вариант 2	Ответы
1	|х-1,5|=0,5	1;2	1	|х-5|=4	1;9
2	|2х-4|=4	0;4	2	|2х-7|=5	1,6
3	|3-1,5х|=-2,5	Нет  корн.	3	|0,2х-1|=0,2	6;4
4	|х²-6х+9|=0	3	4	|х²+4х+4|=0	-2
5	х3+4|х|=0	-2;0	5	25|х|+х3=0	-5;0

2) Проверим результаты.  Решить  на  доске  уравнения,  вызвавшие  затруднения.

      Критерий  оценок:  5+ - «5»,   4+ - «4»,   3+,2+ - «3».

3)Выполнить  задание:

- Запишите  число,  составленное  из  корней  первого  и  второго  уравнения  из  варианта 1  и  первого  уравнения  из  варианта 2,  записав  каждую  пару  корней  в  порядке  возрастания.  Припишите  корни  второго  уравнения  из  варианта 2,  записав  эту  пару  в  порядке  убывания.

12041961

- Расставьте  точки  так,  чтобы  получилась  дата,  имеющая  мировое  значение  для  всего  человечества.     12.04.1961  -  первый  полет  человека  в  космос.

Далее  провести  небольшую  беседу  о  дне  космонавтики  и  о  первом  космонавте  Земли  -  Юрии  Алексеевиче  Гагарине.

4.Итог  урока.

Перечислите  способы  решений  уравнений с  модулями.  Приведите  свои  примеры  уравнений,  содержащих  абсолютную  величину.

5.Домашнее  задание.

П. 29,  № 1123,  1126,  1137(а,г),  1135(б,г)  для  сильных.

Учебник  «Алгебра-8»,  автор  А.Г. Мордкович.