Урок по математике, "Правильные многогранники"

Тема урока: Правильные многогранники

Цель:

• усвоение учащимися определения правильного многогранника, ознакомление с пятью типами правильных многогранников;

• формирование умений и навыков решения задач, связанных с правильным тетраэдром, октаэдром, кубом;

• способствовать развитию познавательной активности учащихся путем ознакомления с историей развития учения о правильных многогранниках, применением в современных научных теориях;

• содействовать в ходе урока формированию следующих мировоззренческих идей: познаваемости мира, движения, развития в природе и в обществе.

Методы: словесные, наглядные, практические.

Тип: урок усвоения знаний, умений, навыков.

Оборудование: компьютер, учебный фильм, таблицы, модели правильных многогранников, презентации.

І. Мотивация обучения

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести «Правильные многогранники». Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

ІІ. Усвоение понятия правильного многогранника

1. Первичное ознакомление с темой происходит при просмотре учебного кинофильма «Правильные многогранники».

2. Предлагаем учащимся прочитать параграф 14 учебника «Правильные многогранники».

3. Пользуясь моделями правильных многогранников, учащиеся заполняют таблицу.

Таблица 1.

Многогранник

Число

граней

Число вершин

Число

ребер

Форма

грани

Тетраэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

ІІІ. Формирование умений и навыков решения задач

Устное решение задач.

Задание 1. Решить анаграмму и исключить лишнее слово.

Примечание: слово «анаграмма» греческого происхождения и означает перестановку букв в слове, приводящую к другому слову.

у б к, р и а п м з,

т а р д э т е р, т о д а к р э,

д к а и с о р э, д е о д э к д а р

Ответ: куб, призма, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Лишнее слово – призма.

Об этих телах речь пойдет при решении задач.

Учащиеся объединяются в три группы, каждой группе предлагаем решить по 3 задания, после чего заслушивает ответы по 1 задаче от каждой группы.

Задачи 1 группе

1. Определить сумму плоских углов при вершине тетраэдра, октаэдра, икосаэдра.

(60 * 3 = ; * 4 = ; * 5 = )

2. Площадь полной поверхности икосаэдра равна 480 . Найти площадь одной грани.

()

3. Какая связь между понятиями правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр?

(правильный тетраэдр – частный случай правильной, треугольной пирамиды)

Задачи 2 группе

1. Найти сумму плоских углов при всех вершинах додекаэдра.

Указание: угол правильного пятиугольника вычисляем по формуле , где n – число сторон.

(3*)

2. Длина ребра октаэдра равна 6 см. найти площадь его полной поверхности.

()

3. Привести пример многогранника, все ребра которого равны, но который не был бы правильный.

(пирамида с равными ребрами, основанием которой служит квадрат).

Задачи 3 группе

1. Какие правильные многогранники имеют правильные плоские углы?

(тетраэдр, октаэдр, икосаэдр)

2. Поверхность додекаэдра 180 . Определить площадь его грани.

(180 / 12 = 15 )

3. Какие из правильных пирамид (призм) являются правильными многогранниками?

(правильный тетраэдр, куб)

Решение задач

Задача 1

Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Решение:

Пусть искомый угол (все шесть углов при ребрах правильного тетраэдра равны), из медианного сечения тетраэдра получается формула:

Задача 2.

Доказать, что центры граней куба являются вершинами октаэдра. Найдите отношение площадей их поверхностей.

Все отрезки, соединяющие центры двух соседних граней являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами , где а – ребро куба (на рисунке показан один такой треугольник - КМН), поэтому они равны и ограничивают восемь правильных треугольников. В каждом центре сходится по четыре таких треугольников и оба условия «правильности» выполнены S куба = 6 ребро октаэдра

IV. Задание на компьютере

Раскрась одним цветом название правильного многогранника и соответствующею ему формулу площади:

Октаэдр

Куб

Правильный тетраэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

V. Кроссворд (разгадываем по группам)

По горизонтали:

1. Древнегреческий философ, в концепции которого об устройстве мироздания правильные многогранники занимали важное место.

2. Правильный четырехгранник.

3. Правильный многогранник, грань которого правильный треугольник.

4. Число типов правильных многогранников.

5. Число граней гексаэдра.

6. Ученый, посвятивший правильным многогранникам одну из 13-ти своих книг.

По вертикали:

1. Грань правильного додекаэдра.

7. Правильный многогранник с наибольшим числом ребер.

8. Правильный многогранник, у которого восемь вершин.

9. Число граней икосаэдра.

10. Ученый, открывший формулу связи вершин, граней, ребер для выпуклого многогранника.

1

п

л

а

т

о

н

я

9

2

т

е

т

р

а

э

д

р

и

8

в

10

у

3

о

к

т

а

э

д

р

г

7

у

д

й

о

д

б

ц

л

л

о

а

е

4

п

я

т

ь

д

т

р

н

5

ш

е

с

т

ь

6

е

в

к

л

и

д

к

к

а

э

д

р

VI. Тест

1. 1. Какой правильный многогранник имеет двадцать вершин?

1. 0. Тетраэдр

   1. Октаэдр

   2. Додекаэдр

   3. Икосаэдр

1. 2. У какого правильного многогранника сумма всех плоских углов при одной вершине равна ?

2.1. Куб

2.2. Октаэдр

2.3. Додекаэдр

2.4. Икосаэдр

1. 3. Какое утверждение относительно правильных многогранников неверно?

1. 0. Только у трех правильных многогранников гранями являются правильные треугольники

   1. Только у одного правильного многогранника гранями являются квадраты

   2. Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные шестиугольники

   3. Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные пятиугольники

1. 4. Какой правильный многогранник имеет двенадцать граней?

4.1. Куб

4.2. Октаэдр

4.3. Додекаэдр

4.4. Икосаэдр

1. 5. Все грани правильного икосаэдра правильные

5.1. Треугольники

5.2. Квадраты

5.3. Пятиугольники

5.4. Шестиугольники

1. 6. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани:

6.1. Правильные многоугольники

6.2. Равные многоугольники

6.3 Многоугольники

6.4. Равные правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

VII. Домашнее задание параграф 14

Уровень начальный.

Перечислить названия пяти правильных многогранников. Сколько граней имеет каждый из них? У какого из них грани правильные треугольники? Начертите изображение правильного тетраэдра.

Уровень средний.

Вычислите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, если его ребро равно b.

Уровень достаточный.

Диагональ куба равна а. вычислить площадь полной поверхности куба.

Уровень высокий.

Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра.

VIII. Подведение итога урока.

Вопросы к классу:

1.Какие многогранники называются правильными?

2. Сколько существуют типов многогранников?

3. Опишите каждый тип правильных многогранников, используя схему «Правильные многогранники».

4. Найдите площадь поверхности правильного:

а) тетраэдра; б) гексаэдра; в) октаэдра; г) икосаэдра.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г)