Урок по математике "Применение свойств функций при решении уравнений"

Справка по итогам анализа урока

Аналитическая справка  Цгоевой М.М., управляющей МОУ СОШ №6 - ИРЦ                 

об уроке, проведенном учителем Бусаровой Т.А.

Дата проведения	Класс	Предмет	Количество учащихся
			по списку	присутствовало
14.04.2016	11б	Алгебра и начала анализа	17	16
Тема урока:	Урок-зачет: «Синус и косинус угла».

Оценка составляющих компонентов урока

Ком-ты урока	Содержание анализа	Уровни
		Высокий	Средний	Низкий
	Санитарно-гигиеническая обстановка в классе:
	Ø  чистота;	+
	Ø  освещенность;	+
	Ø  порядок;	+
	Ø  в классе проветрено.	+
	Готовность к уроку:
	Ø  оборудование, приборы;	+
	Ø  материалы, сырье;	+
	Ø  интерактивная доска;	+
	Ø  учащиеся (дневники, ручки, тетради).	+
	Структура урока:
	Ø  орг. момент;	+
	Ø  проверка дом.задания;	+
	Ø  изложение нового материала;
	Ø  закрепление полученных знаний;	+
	Ø  сообщение домашнего задания.	+
	Содержание урока:
	Ø  соответствует программе;	+
	Ø  увязано с современной жизнью;	+
	Ø  осуществляются межпредметные связи;	+
	Ø  способствует развитию интеллектуальных способностей;	+
	Ø  способствует развитию нравственных и эстетических чувств;	+
	Ø  включает использование учителем информационно-коммуникационных  и интерактивных технологий;	+
	Форма проведения урока:
	Ø  урок-беседа;
	Ø  урок-рассказ;
	Ø  урок-объяснение;
	Ø  урок-лекция;
	Ø  урок-семинар	+
	Методы работы с учащимися:
	Ø  соответствуют содержанию материала;	+
	Ø  целям и возрастным особенностям учащихся;	+
	Ø  использует современные образовательные технологии;	+
	Ø  способствуют развитию наблюдательности и логичности мышления;	+
	Ø  учат самостоятельно работать с книгой или дополнительной литературой;	+
	Ø  позволяют учащимся использовать в работе ТСО и дидактический материал;	+
	Ø  учитель применяет способ индивидуализации и дифференциации заданий для учащихся в зависимости от личностных особенностей;	+
	Деятельность учащихся:
	Ø  уровень активности учащихся на уроке;	+
	Ø  мотивация в течении всего урока;	+
	Ø  отношение учащихся к учителю.	+
	Психологическая подготовка учителя:
	Ø  умение владеть классом;	+
	Ø  стиль и тон общения;	+
	Ø  педагогический такт;	+
	Ø  наблюдательность, находчивость, эмоциональный подъем;	+
	Ø  внешний вид, культура речи; поза; мимика; жестикуляция.	+

Выводы: Грамотное построение урока. Совпадение формулировки цели урока его содержательной реализации. Соответствие содержания материала  типовым задачам ЕГЭ высокого уровня. Обоснованное соотношение частей урока. Хорошая мотивировка учащихся. Широкий спектр заданий развивающего характера. Адекватность дидактического материала. Адекватность наглядности. Используется самостоятельная работа учащихся для инициации творчества. Хорошее учебное сотрудничество с учащимися. Культура общения, эрудиция учителя.

Очень высокий уровень активности учащихся. 

« 14_»  апреля 2016.                                                                                                             

.

Урок – семинар на тему: «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Учитель математики

мкоу сош №6 г. Беслана

Бусарова Т.А.

апрель 2016

План семинара.

1.  Функции и их графики(§1).

2.  Использование областей существования

 функций (§13.1).

3.  Использование неотрицательности  и монотонности функций(§13.2, 13.4).

4.  Использование ограниченности функций(§13.3).

Литература.

 1.  С.М.Никольский и др. «Алгебра и начала математического анализа»,11кл., М. «Просвещение» 2008.

2.  Подготовка к ЕГЭ- 2010.под ред. Ф.Ф.Лысенко, «Легион-М», Ростов на Дону, 2009.

3.  И.В.Ященко и др. «Подготовка к ЕГЭ по математике 2010г. Издательство МЦНМО, 2009.

4. Энциклопедический словарь юного математика, М. «Педагогика» 1989.

График проведения консультаций.

1	6.03.2010	Формирование команд, выбор темы проекта.
2	9.03.2010	Подготовка презентаций.
3	11.03.2010	Решение уравнений и неравенств.
4	13.03.2010	Решение уравнений и неравенств.
5	16.03.2010	Решение уравнений и неравенств.

Пояснительная записка.

Урок проводится в 11б профильном классе (социально-экономической направленности) в форме семинарского занятия с элементами игровых приемов.

Целью профильного обучения является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к итоговой аттестации и продолжению образования.

Уравнения и неравенства являются важной составляющей всего курса школьной математики. Владение приемами решения различных уравнений и неравенств можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики уровня математического и логического мышления. Освоение приемов решения уравнений (неравенств) является обязательным при подготовке к решению сложных заданий конкурсных экзаменов в вузы и ЕГЭ.

Цели урока.

Образовательные: углубление знаний, умений навыков учащихся в решении уравнений и неравенств с помощью использования свойств функции, формирование математического мышления, развитие памяти, кругозора.

Воспитательные: воспитывать организованность, самостоятельность, решительность, инициативность при  изучении нового материала , умение преодолевать трудности при решении более сложных задач.

Развивающие: развивать математические способности, формировать у учащихся интерес к предмету, развивать познавательную деятельность.

Оборудование.

 Мел, доска, мультимедийные средства (компьютер, интерактивная доска).

Ход урока.

1.Оганизационный момент.

Учащиеся разбиваются на  три  команды по семь человек.

Оформление  кабинета:

                                               ЖЮРИ

 

                                       «ФУРА»

 

            

             «УРА»                                                               «РАН»

                  

                                               Доска

Конкурс №1. Презентация  команд  (  представление темы).

Конкурс оценивается  пятью баллами максимум.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1.                

Конкурс №2.    «Разминка».

Каждой команде предлагается  по 10 вопросов, учитывается время, потраченное на ответы и  количество правильных ответов(по 1 баллу).

Вопросы команде  «УРА»:

№	вопрос	ответ
1	15²	225
2	График функции    y=kx+b	прямая
3	Наибольшее целое отрицательное число	-1
4	Знак синуса в четвертой четверти	минус
5	Корень уравнения      x²=-4	нет
6	Направленный отрезок	вектор
7	Что общего у растений, человека, уравнений	корень
8	Область значения функции y=tg x	вся числовая прямая
9	Записывается с помощью цифр	число
10	Решение неравенства –x>5	(-∞;-5)

Вопросы команде   «РАН»:

№	вопрос	ответ
1	13²	169
2	График функции    y=sin x	синусоида
3	Наименьшее простое число	2
4	Знак тангенса в  третьей четверти	плюс
5	Корень уравнения      cos x =2,5	нет
6	Сотая часть числа	процент
7	Без чего не могут обойтись охотники, барабанщики и математики?	дроби
8	Область  определения квадратичной функции	вся числовая прямая
9	Можно ли при делении получить 0?	да
10	Решение неравенства   |x| <1	(-1;1)

Вопросы команде   «ФУРА»

№	вопрос	ответ
1	12²	144
2	График функции    y=	гипербола
3	Наименьшее натуральное число	1
4	Знак косинуса во второй четверти	минус
5	Корень уравнения      sin x =	нет
6	Первая координата точки на плоскости	абсцисса
7	Числа, соединенные знаками действий (образец для подражания)	пример
8	Область  определения  показательной  функции	вся числовая прямая
9	Первая буква греческого алфавита	альфа
10	Решение неравенства   -1<x<1	(-1;1)

Конкурс №3.  «Защита проектов».

Команда  «ФУРА».

«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФУНКЦИЙ».

1 ученик.

Если при рассмотрении уравнения  (неравенства) выясняется, что обе его части  определены на множестве М, состоящем из  одного или нескольких  чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения  (неравенства).

ПРИМЕР1.

Решить уравнение

    (1)

Обе части уравнения определены лишь для  таких x, которые удовлетворяют системе неравенств

                                  (2)

Все решения системы (2) состоят из двух чисел: =2,=-2.этому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что  число 2 удовлетворяет уравнению (1), а число -2 ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень. Ответ: 2.

2 ученик.

ПРИМЕР2.

Решить неравенство

         (3)

Решение.

Обе части неравенства (3) определены лишь для таких x, которые удовлетворяют системе неравенств

Системе неравенств удовлетворяют лишь два числа: =1,=5.

Поэтому если неравенство (3) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что второе число удовлетворяет неравенству, а второе нет. Следовательно, неравенство (3) имеет единственное решение  число 5.    Ответ: 5.

Пример 3.

Решить неравенство

Решение.

Обе части неравенства определены лишь для таких x, которые удовлетворяют системе неравенств

Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество, на котором определены обе части  исходного неравенства – пустое множество. Следовательно, оно не имеет решений.  Ответ: нет решений.

Команда «УРА».

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ  И  МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ.

3 ученик.

Утверждение.

Пусть функция  F(x) есть сумма нескольких неотрицательных  функций для любого x из области существования

Тогда

a)     Уравнение F(x)=0   равносильно системе уравнений

                                        (4)

б) Неравенство F(x)0  равносильно системе (4).

Пример 1.

Решить уравнение

       (5)

Решение.

Преобразовав, в виде   (+2*)^2 +(-1)^2 =0  замечаем, что каждая из функций, являющаяся слагаемым уравнения (5) неотрицательна для любого  x  ,поэтому  уравнение равносильно системе уравнений

Второе уравнение системы имеет единственное решение x=0,которое не удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система, а значит и равносильное ей уравнение (5) не имеют решений. Ответ: Нет решений.

Пример2.

Решить неравенство  

.         (6)

Каждая из функций y=   и  y=(-4x+1) неотрицательна для любого x из области её существования. Поэтому неравенство (6) равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы  имеет два решения: =3, =4. Из этих чисел только число =4  удовлетворяет  второму уравнению системы. Следовательно, система, а значит и равносильное ей уравнение (8) имеют единственное решение =4. Ответ: 4

4 ученик.

Утверждение. Пусть функция f(x) возрастает, а некоторая функция g(x) убывает на промежутке М- общей части (пересечении) областей существования этих функций. Если число  М и справедливо равенство

 f(x₀) = g(x₀) ,то  - единственный корень уравнения f(x) = g(x).

Пример 3.

Решить уравнение      

.   (7)

Решение.

Функция f(x)=  возрастает, а функция g(x)= убывает на промежутке М=(-∞;19) –общей части областей существования этих функций. Проверка показывает, что число 10 М и является корнем уравнения (7), причем единственным.  Ответ: 10.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ.

5 ученик.

Утверждение.

Пусть множество М есть общая часть областей существования функций f(x) и g(x)  и пусть для любого xMсправедливы неравенства f(x)А и  g(x)  А, где А- некоторое число. Тогда

 а) уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений   (8)

б) неравенство  f(x)  g(x) равносильно системе (8).

Пример 1.

Решить уравнение

(x  sinx )= 1+|  ) |  

     (9)

Решение.

Пусть множество М есть общая часть областей существования функций левой и правой частей уравнения (9) , тогда для любого xM имеем

(x  sinx );      1+|  ) |  

Следовательно, уравнение (5) равносильно системе уравнений

Второе уравнение системы имеет два корня =0,  =1.Из этих чисел  только 0 удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система , а значит и равносильное ей уравнение (9) имеют единственное решение 0.

Ответ: 0.

6 ученик.

Пример2.

Решить неравенство

 +5 4-2x-   

     (10)

Решение.

Преобразуем неравенство     -1-2x-   .

Рассмотрим функции левой и правой частей уравнения (10).

f(x)=     ,g(x)= -1-2x-   .

Графиком функции g(x)= -1-2x-    является парабола ветви которой направлены вниз, функция принимает наибольшее  при x=-1  и равно 0.

Наименьшее значение подлогарифмического выражения функцииf(x) равно1, а значит и наименьшее значение функции равно 0, т. к.

lg 1=0.  Следовательно неравенство (6) равносильно системе уравнений

                                                     -1-2x-   =0.

Второе уравнение системы число -1. Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система, а значит и равносильное ей уравнение (6)  имеют единственное решение -1. Ответ: -1.

Конкурс №4. Самостоятельное решение примеров.

Каждая команда предлагает по 4 примера на свою тему при этом решает на время примеры предложенные другими командами. Правильное решение каждого примера оценивается одним баллом.

Команда	Пример	Ответ
«ФУРА»	1.     3 - 4=sin x; 2.     -2 = lg(1+ )+x; 3.      +  6; 4.       > lg( +2);	6 -1 Ø Ø
«УРА»	5.     - sin )^2  +(x-5)^2 =0; 6.      +lg ( 0; 7.      =4-x; 8.      -=0;	5 4 3 3
«РАН»	9. =cos x -1;      10.  3( * sin  )  =3 + ;       11.  - +2 2 cos x +2;       12. 3x 3 + ||	2 3 0

Резерв.  №1.     ЕГЭ-2005 (С2). Найти нули функции

 +.

№2.Диагнастическая работа по математике ЕГЭ-2010. Решить неравенство

 * .

Подведение итогов урока.  Слово жюри.

 Итоги конкурсов:

Команда	1 конкурс (презентация)	2 конкурс (вопросы)	3 конкурс (проекты)	4 конкурс (примеры)	замечания
«ФУРА»
«УРА»
«РАН»