Урок по теме: "График функции"

График функции

Зададим на плоскости прямоугольную систему координат . Зададим также прямую, являющуюся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Пусть

есть произвольная точка этой прямой.

На рис. 8 отмечена точка , имеющая положительную абсциссу . Пусть  ‑ ее проекция на ось абсцисс. Очевидно, что

.

На рис. 9 отмечена точка , имеющая отрицательную абсциссу . По-прежнему  ‑ проекция точки  на ось абсцисс, но теперь

.

В каждом из этих случаев треугольник  ‑ прямоугольный и его острый угол  равен 45°. Но тогда треугольник  равнобедренный и , откуда получаем, что

.                                                                                                                               (1)

Мы получили равенство (1), выражающее зависимость между абсциссой  и ординатой произвольной точки  данной прямой. Впрочем, при выводе этого равенства мы исключили случай, когда точка  совпадает с началом координат . Но непосредственно видно, что в этом случае равенство (1) тоже выполняется, так как в этом случае  и .

Итак, любая точка  рассматриваемой биссектрисы имеет координаты, удовлетворяющие равенству (1). Но верно и обратное утверждение: если точка  такова, что

,

то она лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов. В самом деле, рассмотрим сначала точку  такую, что. Тогда . Пусть  ‑ проекция точки  на ось абсцисс. Очевидно, что . Значит, прямоугольный треугольник  равнобедренный, следовательно, каждый из его острых углов равен 45°. Но тогда точка  находится на биссектрисе первого координатного угла. Если же , то , и , обращаясь к рис. 9, получим, что точка  находится на биссектрисе третьего координатного угла.

Таким образом, показано, что:

если точка  лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов, то ,

если же точка  такова, что , то она лежит на биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Говорят, что биссектриса первого и третьего координатных углов есть график функции .

Говорят также, что биссектриса первого и третьего координатных углов имеет уравнение .

Говорят, наконец, что биссектриса первого и третьего координатных углов есть множество точек  плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Вопросы.

1.                      Что является графиком функции ?

2.                      Какое уравнение имеет биссектриса первого и третьего координатных углов?