Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Метод математической индукции"

Урок по теме "Метод математической индукции"

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок № 50

Тема урока: Метод математической индукции.


Цель урока: Познакомиться с сущностью метода математической индукции, научитесь применять этот метод при решении задач на доказательство, продолжить развитие вычислительных навыков, продолжить формирование математической грамотности.

Ход урока.

  1. Организационный момент. Постановка целей урока

  2. Активизация опорных знаний.

- Определение геометрической прогрессии, формулы n-го члена геометрической прогрессии.

- Повторить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

- Повторить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

3. Изучение нового материала

При решении многих задач, при доказательстве справедливости математических предложений, а также при выводе формулы часто используется рассуждение, которое называется методом математической индукции.

Такое рассуждение вы, например, использовали при выводе формулы n-го члена, а также при выводе формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Сущность этого метода заключается в следующем: если надо установить справедливость некоторого утверждения, в которой фигурирует натуральное число n, то:

1) проверяется, что предполагаемое утверждение имеет место для конкретного значения n (например для n=1).

2) предполагается, что утверждение справедливо при каком-нибудь произвольном значении n = k, и доказывается, что в таком случае оно справедливо и при n = k + 1. Отсюда делается вывод, что утверждение справедливо при любом значении n, ибо справедливость его была обнаружена при n=1, а по доказанному оно верно и при n = 2, а раз справедливо при n = 2, то справедливо и при n = 3 и т.д.

Теперь рассмотрим примеры использования данного метода.

Пример 1. Докажем, что при всяком натуральном n имеет место равенство

hello_html_m732429ce.png

Формула верна для n = 1, так как:

hello_html_m140b9082.png



Допустим, что формула верна при п = k.

hello_html_m184a7d4a.png

Докажем, что в таком случае она верна и при n = k + 1, т.е.

hello_html_m2b7fac03.png

hello_html_4080c51f.png

Непосредственная проверка показала, что формула верна при n=1; следовательно, она будет справедлива также при n = 2, а потому и при n = 3, следовательно, и при п = 4 и вообще при любом натуральном n.

4.Решение задач

249 (а)

В данной задаче требуется доказать формулу nго члена арифметической прогрессии методом математической индукции

  1. При n=1 имеем а11.

  2. Допустим, что данная формула верна для k-го члена, т.е имеет место равенство аk=a1+d(k-1)

  3. Докажем, что в данном случае эта формула верна и для (k+1)-го члена. Действительно,

аk+1=a1+d(k+1-1) = а1+dk

С другой стороны, по определению ариф. прогр. аk+1 = аk+d

Так как левые части двух последних выражений равны = и правые равны:

аk+d = а1+dk или аk = a1+d(k-1)

Полученное верное равенство позволяет утверждать, что формула n-го члена арифметической прогрессии подходит для любого натурального n


255

Докажем, что число 11n+1+122n-1 при всех натуральных значениях n делиться на 133

  1. При n=1 имеем 111+1+122*1-1=133, 133 делиться на 133

  2. Допустим, что при n=k сумма 11k+1+122k-1 делиться на 133

  3. Докажем, что эта сумма делиться на 133 при n=k+1, т.е. 11k+2+122k+1 делиться на 133

11k+2+122k+1=11*11k+1+144*12k-1=11*11k+1+11*122k-1+133*122k-1=11(11k+1+122k-1)+133*122k-1

Каждое слагаемое полученной суммы делиться на 133. Следовательно, 11k+2+122k+1 тоже делить на 133.

5. Рефлексия

6. Постановка Д/з

§15 решить №251


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 18.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров144
Номер материала ДБ-200849
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх