Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Алгебра КонспектыУрок по теме "Метод математической индукции"

Урок по теме "Метод математической индукции"

Урок № 50

Тема урока: Метод математической индукции.


Цель урока: Познакомиться с сущностью метода математической индукции, научитесь применять этот метод при решении задач на доказательство, продолжить развитие вычислительных навыков, продолжить формирование математической грамотности.

Ход урока.

  1. Организационный момент. Постановка целей урока

  2. Активизация опорных знаний.

- Определение геометрической прогрессии, формулы n-го члена геометрической прогрессии.

- Повторить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

- Повторить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

3. Изучение нового материала

При решении многих задач, при доказательстве справедливости математических предложений, а также при выводе формулы часто используется рассуждение, которое называется методом математической индукции.

Такое рассуждение вы, например, использовали при выводе формулы n-го члена, а также при выводе формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.

Сущность этого метода заключается в следующем: если надо установить справедливость некоторого утверждения, в которой фигурирует натуральное число n, то:

1) проверяется, что предполагаемое утверждение имеет место для конкретного значения n (например для n=1).

2) предполагается, что утверждение справедливо при каком-нибудь произвольном значении n = k, и доказывается, что в таком случае оно справедливо и при n = k + 1. Отсюда делается вывод, что утверждение справедливо при любом значении n, ибо справедливость его была обнаружена при n=1, а по доказанному оно верно и при n = 2, а раз справедливо при n = 2, то справедливо и при n = 3 и т.д.

Теперь рассмотрим примеры использования данного метода.

Пример 1. Докажем, что при всяком натуральном n имеет место равенство

hello_html_m732429ce.png

Формула верна для n = 1, так как:

hello_html_m140b9082.png



Допустим, что формула верна при п = k.

hello_html_m184a7d4a.png

Докажем, что в таком случае она верна и при n = k + 1, т.е.

hello_html_m2b7fac03.png

hello_html_4080c51f.png

Непосредственная проверка показала, что формула верна при n=1; следовательно, она будет справедлива также при n = 2, а потому и при n = 3, следовательно, и при п = 4 и вообще при любом натуральном n.

4.Решение задач

249 (а)

В данной задаче требуется доказать формулу nго члена арифметической прогрессии методом математической индукции

  1. При n=1 имеем а11.

  2. Допустим, что данная формула верна для k-го члена, т.е имеет место равенство аk=a1+d(k-1)

  3. Докажем, что в данном случае эта формула верна и для (k+1)-го члена. Действительно,

аk+1=a1+d(k+1-1) = а1+dk

С другой стороны, по определению ариф. прогр. аk+1 = аk+d

Так как левые части двух последних выражений равны = и правые равны:

аk+d = а1+dk или аk = a1+d(k-1)

Полученное верное равенство позволяет утверждать, что формула n-го члена арифметической прогрессии подходит для любого натурального n


255

Докажем, что число 11n+1+122n-1 при всех натуральных значениях n делиться на 133

  1. При n=1 имеем 111+1+122*1-1=133, 133 делиться на 133

  2. Допустим, что при n=k сумма 11k+1+122k-1 делиться на 133

  3. Докажем, что эта сумма делиться на 133 при n=k+1, т.е. 11k+2+122k+1 делиться на 133

11k+2+122k+1=11*11k+1+144*12k-1=11*11k+1+11*122k-1+133*122k-1=11(11k+1+122k-1)+133*122k-1

Каждое слагаемое полученной суммы делиться на 133. Следовательно, 11k+2+122k+1 тоже делить на 133.

5. Рефлексия

6. Постановка Д/з

§15 решить №251


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 479 767 материалов в базе

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 18.09.2016 5779
    • DOCX 211.7 кбайт
    • Рейтинг: 3 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Резник Артем Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Резник Артем Сергеевич
    Резник Артем Сергеевич
    • На проекте: 7 лет
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 18168
    • Всего материалов: 9