Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Многогранники"

Урок по теме "Многогранники"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


28. Логико-дидактический анализ темы «Многогранники». Ключевые задачи темы и методика обучения их решению. Примеры.

Выводы из логико-дидактического анализа:

1. Тема многогранники является одной из центральных в курсе геометрии, так как представляет одну из главных содержательных линий «Теория многогранников».

2. В теме «Многогранники» синтезируются знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве», а также знания из планиметрии связанные с темой «Многоугольники».

3. В этой теме имеются предпосылки для аналогии с темой «Многоугольники» и между видами многогранников.

4. Логическая структура утверждений и способы получения видовых отличий для учащихся не новы. Все понятия представлены в вербальной, натуральной (модели), графической формах. Возникает необходимость широкого использования моделей для включения учащихся в самостоятельную деятельность при открытии новых фактов.

Формулировки теорем простые, их доказательство не громоздко. Следовательно, теоремы – формулы, теоремы – свойства можно доказывать с учениками в форме представления задач, то есть не задавать с самого начала как теорему.

5. Возможно формирование приема конкретизации и обобщения:

Многогранник → призма, пирамида;

площадь боковой поверхности прямой призмы → площадь боковой поверхности наклонной призмы;

6. Имеются предпосылки для формирования приема классифицирования:

Виды призм

Призма: Прямая( правильная неправильная) Наклонная

Виды пирамид

Пирамида: правильная И неправильная

Можно проводить классификацию по числу вершин ( 3-угольные, 4-угольные и т.д.).

7. В целом учебный материал темы по своей логической структуре, утверждения, способам доказательства теорем не отличается новизной для учащихся. Поэтому на различных этапах обучения необходимо включать учащихся в поисковую деятельность.

8. Данная тема позволяет использовать историю математики.

Например, характеристика Эйлера для выпуклых многогранников:

В+Г+Р=2

9. Анализ задачного материала показывает, что в теме довольно много задач- фактов, задач-теорем, задач- методов, которые часто используются при решении других задач. В классах с углубленным изучением математики их следует выделять, тогда как в обычных классах можно выделять только самые основные. Решению задач на неправильную пирамиду целесообразно посвятить урок- лекцию с целью выявления свойств этих пирамид.

10. В учебнике мало задач на усеченную пирамиду (всего три), поэтому целесообразно дополнить эту группу задач.


Анализ теоретического и задачного материала темы позволяет выделить следующие учебные задачи темы:

1) Определить понятия многогранника, призмы, пирамиды, правильного многогранника, как частные виды многогранников, используя аналогию с понятием многоугольника в планиметрии.

2) Выявить совместно с учащимися существование этих объектов, формулы для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы, правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

3) Формировать умения распознавать по моделям и описанию призму, пирамиду, усеченную пирамиду; указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах.

4) Систематизировать знания учащихся по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».

5) Формировать умения решать задачи по теме.


В результате изучения темы «Многогранники» ученик:

Знает:

определения понятий: многогранник, выпуклый многогранник, призма, пирамида, усеченная пирамида, правильный многогранник и их элементов и видов, площадь поверхности.

формулировки теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236, № 246(а), № 247, № 249.

доказательство теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236.

классификацию неправильной пирамиды по проекции вершины.


Умеет:

изображать многогранники и их элементы

по развертке восстанавливать правильный многогранник

узнавать многогранники в окружающем мире

применять теоремы о площади боковой поверхности при решении задач

обосновывать существование многогранников

распознавать на моделях и по описанию многогранник, призму, пирамиду, усеченную пирамиду, правильные многогранники.


Понимает:

значимость данной темы в дальнейшем построении курса стереометрии

что тема «Многогранники» является обобщением темы «Многоугольники»

что тема «Многогранники» систематизирует знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».

Логико-дидактический анализ задачного материала


Задачный материал по теме «Призма» по учебнику: Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.В. Кадонцев и др. – М.: Просвещение, 2001 мы предлагаем классифицировать по следующим признакам:

  • на вычисление;

  • на доказательство.

Задачи на вычисление можно разбить на следующие группы:

  • вычисление углов (№№ 222, 225);

  • вычисление длины (№№ 219, 220, 223);

  • вычисление площадей боковых и полных поверхностей разных видов многогранников (их большинство).

Задачи на вычисление площадей представлены в большом количестве, очень мало задач на вычисление углов и длин, т.к. задачи на вычисление площадей включают в себя задачи на нахождение этих элементов.

В ходе решения задачного материала по теме «Призма» были выделены следующие задачи-факты:

218: Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

На основе этой задачи решаются задачи, в которых даны правильная и прямая призма, поэтому на нее нужно уделить особое внимание, выделить сам факт. Ученикам нужно зафиксировать его, постараться запомнит. Учителю нужно обратить внимание учеников на то, что этот факт – свойства соответствующих видов призм (прямой и правильной) и поможет при решении более сложных задач.

Такой тип задач (задачи-факты) уже известен ученикам. Многие «полезные» факты отражаются не только в теоретическом материале параграфа темы, но и содержаться в задачах, являющиеся такими же важными.

К задачам-фактам относятся так же задачи:

  • 236. Sбок. поверх накл призмы=lP^, где Р^=h1+h2+…+hn, h – высота боковой грани, l – длина бокового ребра. В этой задаче дается определение перпендикулярного сечения. На основе этой задачи решаются задачи №№ 237, 238.

  • 289. Это задача-факт, так как она сообщает формулу нахождения площади полной поверхности куба, зная его диагональ:

hello_html_m4242efbd.gif

  • 293. Здесь устанавливается следующий факт: Если в правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны, то угол между диагоналями A1C и B1D призмы равен 60°. Это утверждение так же можно использовать при решении других задач.

  • 294. В этой задаче представлена формула вычисления площади боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, пересеченной плоскостью, содержащей две ее диагонали, если известна площадь полученного сечения - hello_html_5dac3b92.gif и сторону основания призмы - a.

hello_html_m4a5d98ee.gif


Анализ задач показал, что в теме «Призма» можно выделить последовательность групп задач:

  1. Наклонная призма. К числу ключевых в этой группе можно отнести следующие задачи:

Задача 1. № 227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC hello_html_m3369453f.gifAA1; б) CC1B1B – прямоугольник.

Ahello_html_178395fd.gifhello_html_178395fd.gifhello_html_249bbe2.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m7d6a4434.gifhello_html_m50cefa99.gifhello_html_m230bb8db.gifhello_html_40862967.gif1 C1

B1

hello_html_178395fd.gif

Phello_html_3e3eebb5.gif

Ahello_html_m5b2e894.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m44c0b631.gif C

K

B

ДАНО:

ABCA1B1C1призма;

Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC hello_html_m3369453f.gifAA1;

б) CC1B1B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

В плоскости ABC проведем медиану AK, AKhello_html_m3369453f.gifBC.

Проведем отрезки A1B, A1C, A1K.

1 способ

а)

hello_html_645808b7.gifAB = AC (по условию);

hello_html_7707454f.gifA1AC = hello_html_7707454f.gif A1AB; hello_html_1b730b13.gif hello_html_2e85d6ba.gif A1AC = hello_html_2e85d6ba.gif A1AB;

AA1 общая;


A1B = A1C hello_html_1b730b13.gif hello_html_2e85d6ba.gifA1BC – равнобедренный (по определению);

A1K – медиана hello_html_1b730b13.gif A1K hello_html_m3369453f.gifBC (по свойству медианы равнобедренного треугольника);


Bhello_html_m54e136e9.gifC hello_html_m3369453f.gifA1K;

BC hello_html_m3369453f.gifA1K; hello_html_1b730b13.gif Bhello_html_645808b7.gifC hello_html_m3369453f.gifA1A (по свойству перпендикулярности прямой и плоскости);


BC hello_html_m3369453f.gifA1KA;

2 способ

hello_html_7707454f.gifhello_html_mb689f5b.gifA1AC = hello_html_7707454f.gifA1AB (по условию); hello_html_1b730b13.gif проекция точки A1 – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A1P hello_html_m3369453f.gifAP;

A1A – наклонная; hello_html_1b730b13.gif BC hello_html_m3369453f.gifA1A (по теореме о трех перпендикулярах);

PAhello_html_m3369453f.gifBC;

PA –проекция наклонной A1A;

б)

Chello_html_m2fb83a6a.gifC1B1B – параллелограмм;

BC hello_html_m3369453f.gifA1A; hello_html_1b730b13.gif BC hello_html_m3369453f.gifB1B, BC hello_html_m3369453f.gifC1C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A1A || B1B || C1C;


BC|| B1C1hello_html_1b730b13.gif B1C1hello_html_m3369453f.gifB1B, B1C1 hello_html_m3369453f.gifC1C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, hello_html_1b730b13.gif CC1B1B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Вывод: Эта задача является ключевой поскольку, во-первых, здесь используется свойство проекции вершины пирамиды, если одно из ее ребер образует равные углы со смежными сторонами основания - проекции вершины такой пирамиды принадлежит биссектрисе угла (или ее продолжению), образованного данными сторонами основания. Во-вторых, она так же имеет несколько способов решения. В-третьих, на основе этой задачи, решаются задачи, представленные в учебнике, например, № 228.


Задача 2. № 236.

Докажите, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

hello_html_1fc28617.gifhello_html_2757f588.gifhello_html_e9370d3.gif

hello_html_m1c849447.gifhello_html_18e4ac5.gifhello_html_478c48fe.gifhello_html_28383424.gif

hello_html_4dd35e15.gifhello_html_m9071ca3.gifhello_html_294da2de.gifhello_html_m22c13c46.gif

hello_html_m30fe8de5.gifhello_html_1fe58c48.gifhello_html_m682eb74d.gifhello_html_m3c20e726.gifhello_html_m53a7db10.gifhello_html_m4226341d.gifhello_html_m509522a5.gif

hello_html_m3fe0743e.gifhello_html_mf9ecd90.gif

ДАНО:

наклонная призма;

боковое ребро равно – l;

периметр перпендикулярного сечения – P1.


ДОКАЗАТЬ, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Каждая боковая грань есть параллелограмм. Сечение перпендикулярно боковым граням, то есть оно перпендикулярно боковым ребрам.

h1 – высота параллелограмма одной из боковых граней.

S = l* h1 – площадь одной боковой грани. Таких граней – n и каждая грань – параллелограмм – имеет свою высоту, следовательно,

Sбок = S1+S2+…+Sn=lh1+lh2+…+lhn=l (h1+h2+…+hn) = h1P^,

где P^= h1+h2+…+hn.


hello_html_6313411c.gifhello_html_m5589681e.gifh1

hello_html_m82dcd4f.gifl

h1


Что и требовалось доказать.


Вывод: Эта задача выбрана в качестве ключевой, поскольку, во-первых, она является задачей-фактом, и на ее основе решаются задачи №№ 237, 238. Ребята получают в свою копилку формул – формулу вычисления Sбок наклонной призмы, через ребро и периметр перпендикулярного сечения. Во-вторых, это важная формула при изучении темы «Объемы», где она используется при решении задач.


  1. Прямая призма

К числу ключевых в этой группе можно отнести следующую задачу:


hello_html_399a1312.png

Основанием прямой призмы, с высотой m/2 является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна m, а острый угол равен 60°.

1. Найдите угол между плоскостью A1CB и плоскостью основания.

2.Найдите отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A1A и CB к расстоянию между точкой A1 и прямой CB.

3. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

ДАНО:

ABCA1B1C1 – прямая призма;

AA1 = m/2;

hello_html_2e85d6ba.gifABC: hello_html_7707454f.gif C = 90°;hello_html_7707454f.gif A = 60°;

AB = m.

НАЙТИ

1. угол между плоскостью A1CB и плоскостью основания;

2. отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A1A и CB к расстоянию между точкой A1 и прямой CB;

3. площадь боковой поверхности призмы.


Решение:

    1. Найдем угол между плоскостью A1CB и плоскостью основания.

      1. hello_html_2e85d6ba.gifABC:

hello_html_7707454f.gifC = 90°;hello_html_7707454f.gif A = 60°;


hello_html_7707454f.gifB = 30° (по свойству острых углов прямоугольного треугольника)

Ahello_html_23f96eba.gifB = m;

hello_html_m6a0d073f.gif

AC = 1/2AB = 1/2m (по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°);

      1. Ahello_html_438e1b6b.gifA1hello_html_m3369453f.gifABC; hello_html_1b730b13.gif AA1hello_html_m3369453f.gifAC

AC hello_html_246867f4.gif ABC;

hello_html_645808b7.gif

AA1hello_html_m3369453f.gifAC;

AC hello_html_m3369453f.gifBC; hello_html_1b730b13.gif AC1hello_html_m3369453f.gifBC (по теореме о трех перпендикулярах);

AC – проекция

наклонной AC1;

hello_html_m262ea49d.gif

      1. AC1hello_html_m3369453f.gifBC; hello_html_1b730b13.gif hello_html_7707454f.gifAC1C – линейный угол двугранного угла AC1BA (по определению);

AC hello_html_m3369453f.gifBC;


4) hello_html_2e85d6ba.gifAAC1:

hello_html_7707454f.gifA1AC = 90°;

AC1 = AC hello_html_1b730b13.gif hello_html_2e85d6ba.gifAAC1 – равнобедренный;

hello_html_7707454f.gifAC A1 = hello_html_7707454f.gifAA1C = ½ 90°;

hello_html_1b730b13.gifhello_html_7707454f.gifAC A1 = 45°;

4’) Величину угла AC A1 можно найти, используя свойство прямой призмы о том, что боковые грани прямой призмы – прямоугольники.


ОТВЕТ: hello_html_7707454f.gif AC A1 = 45°.


    1. Найдем отношения расстояния между скрещивающимися прямыми

A1A и CB к расстоянию между точкой A1 и прямой CB.

        1. hello_html_644d471.gif(AA1, CB) =?


          1. hello_html_645808b7.gifСтроим плоскость, проходящую через прямую CB и параллельную прямой AA1.

AA1|| CC1;

CC1hello_html_246867f4.gif CBB1; hello_html_1b730b13.gif CBB1 – искомая плоскость.

CBhello_html_246867f4.gif CBB1;

      1. Построим (найдем) плоскость, проходящую через точку C и перпендикулярную плоскости CBB1.

hello_html_7b2dcded.gif

AC hello_html_m3369453f.gifBC; hello_html_1b730b13.gif AC hello_html_m3369453f.gifСBB1 (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости);

AC hello_html_m3369453f.gifСC1;

hello_html_7b2dcded.gif

AC hello_html_m3369453f.gifСBB1; hello_html_1b730b13.gif ABC hello_html_m3369453f.gifСBB1 (по признаку перпендикулярности двух плоскостей);

AC hello_html_246867f4.gif ABC;


      1. Строим перпендикуляр из тачки C к линии пересечения плоскостей ABC и СBB1.

AC – искомый перпендикуляр.


      1. AC hello_html_m3369453f.gifBC;

Ahello_html_6a0ae378.gifC hello_html_m3369453f.gifAA1 (так как, AA1hello_html_m3369453f.gifABC, AC hello_html_246867f4.gif ABC);

hello_html_m6a0d073f.gif

hello_html_644d471.gif (AA1, CB) = AC = m/2/


2hello_html_7b2dcded.gif. hello_html_644d471.gif (A1, CB) =?

1) AA1hello_html_m3369453f.gifABC; hello_html_1b730b13.gifA1C hello_html_m3369453f.gifСВ (по теореме о трех перпендикулярах);

AC hello_html_m3369453f.gifBC;

hello_html_1b730b13.gifhello_html_644d471.gif (A1, CB) = A1C.

2) hello_html_2e85d6ba.gif AAC1:

hello_html_7707454f.gifA1AC = 90°;

hello_html_596ab01f.gif

3. hello_html_644d471.gif (AA1, CB)/ hello_html_644d471.gif (A1, CB) = AC/ A1C =hello_html_18bb84e9.gif.

ОТВЕТ: hello_html_644d471.gif (AA1, CB)/ hello_html_644d471.gif (A1, CB) = hello_html_18bb84e9.gif.


    1. Найдем площадь боковой поверхности.

hello_html_2adda01d.gif

hello_html_2e85d6ba.gifABC:

hello_html_7707454f.gifC = 90°;

hello_html_4b410308.gif

ОТВЕТ: hello_html_m73588873.gif


Вывод: На наш взгляд, эту задачу можно отнести к ключевым, поскольку здесь используется свойство прямой призмы при нахождении угла между плоскостями, расстояния между точкой и прямой, скрещивающимися прямыми. Учащимся, для отработки этого правила можно предложить самостоятельно найти hello_html_644d471.gif (BB1, AC), hello_html_644d471.gif (CC1, AB), hello_html_644d471.gif (B1,AC), hello_html_644d471.gif (C1,AB); угол между плоскостями B1AC и ABC. Все эти элементы хорошо просматриваются в данной задаче.

При ее решении можно еще раз выделить приемы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми, точкой и прямой, угла меду плоскостями.

В этой задаче так же требуется найти hello_html_m23631c62.gif - это новая в теме формула, поэтому ученики должны уметь применять ее при решении.


Блок ключевых задач на нахождение проекции вершин неправильной пирамиды

1.


hello_html_m3b0c3db6.gifhello_html_m72012303.gifhello_html_7105ace3.gifhello_html_58adcb99.gifS

hello_html_m1119b404.gif

hello_html_m6fb306d0.gif

hello_html_1f5a52d7.gif

hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m349b53f9.gifhello_html_34f661fc.gifhello_html_5e916974.gifhello_html_m28bcbce2.gifhello_html_m442fc8ba.gifhello_html_61562f68.gifhello_html_6aa49a10.gifhello_html_m75802879.gifA O C

hello_html_82ef7d8.gif

B

Условия:

1hello_html_4a7e20c7.gif. SB = SC

2. hello_html_m5c4fa346.gif

3. hello_html_m68ce3ef1.gif

Заключение: О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне BC.

2.


hello_html_734d0fcd.gifhello_html_4e159000.gifhello_html_7105ace3.gifhello_html_58adcb99.gifhello_html_m421d1f88.gifhello_html_2f99431e.gifS




hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_61562f68.gifhello_html_m560f2edd.gifhello_html_5eaa6669.gifA O C

hello_html_82ef7d8.gifK N

B

Условия:

1hello_html_m154c3753.gif. SK = SN

2. hello_html_6ba9adcf.gif

3. hello_html_m46bdb7cd.gif

4. hello_html_75402d9f.gif


a) hello_html_75402d9f.gif - острые .Заключение: О принадлежит биссектрисе угла АBC.

б) hello_html_75402d9f.gif- тупые.


hello_html_178395fd.gifhello_html_m69e378c7.gifhello_html_m50cefa99.gifhello_html_40862967.gifS

hello_html_3e3eebb5.gif

Ohello_html_m5b2e894.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m44c0b631.gifB C

A


Заключение: О принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла АBC.



3.


hello_html_m3b0c3db6.gifhello_html_m72012303.gifhello_html_7105ace3.gifhello_html_m3aae44ce.gifS



hello_html_m5197b299.gifhello_html_3bb0c1.gif

hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifA O C

hello_html_82ef7d8.gif

B

Условие

hello_html_2ee22f6a.gif

Заключение: О принадлежит линии пересечения плоскостей АBC и ACS.


4.


hello_html_m3b0c3db6.gifhello_html_m72012303.gifhello_html_2ad5e743.gifhello_html_58adcb99.gifhello_html_m50568ec.gifS

hello_html_m1119b404.gif

hello_html_m6fb306d0.gif

hello_html_1f5a52d7.gifhello_html_4c32d953.gif

hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_61562f68.gifhello_html_6aa49a10.gifhello_html_m75802879.gifhello_html_m5005ffd6.gifA O C

hello_html_82ef7d8.gif

B

Условия:

1hello_html_4a7e20c7.gif. AS = SB = SC

2. hello_html_6f316d1b.gif

3. hello_html_m2197bf24.gif

Заключение: О центр описанной окружности около основания.



5.


hello_html_734d0fcd.gifhello_html_4e159000.gifhello_html_7105ace3.gifhello_html_58adcb99.gifhello_html_44aa0555.gifhello_html_m3239b34.gifhello_html_31b156d9.gifS



hello_html_f8bcf25.gifM

hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m349b53f9.gifhello_html_m28bcbce2.gifhello_html_m442fc8ba.gifhello_html_7fd2f1eb.gifhello_html_m7bc12505.gifhello_html_639b4a58.gifhello_html_7a4e62a1.gifA O C

hello_html_82ef7d8.gifK

B

Условие

Боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.

Заключение: О центр вписанной окружности в основание.


6.

hello_html_509cc45d.gif

Shello_html_4baa0e6c.gifhello_html_c1a5656.gif



hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gif A(O) B

hello_html_82ef7d8.gifC

Условие

1.hello_html_m7250206e.gif

Заключение: проекция вершины S совпадает с точкой.


Проект урока РЕШЕНИЯ

КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «пРИЗМА» И «ПИРАМИДА»


УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА:

  1. Формировать умения нахождения проекции вершины (одной из вершин верхнего основания) пирамиды (призмы) на плоскость основания.

  2. "Открыть" совместно с учениками формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы на основе формулы площади боковой поверхности прямой призмы методом обобщения.


ДИАГНОСТИРУЕМЫЕ ЦЕЛИ:

По окончании урока ученик

знает:

  • Равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания:

  • в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одному из рёбер основания;

  • в центр описанной окружности основания;

  • в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

  • в центр вписанной (или вневписанной) окружности основания;

  • в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

  • в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания;

  • Формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы, если известно боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.


умеет:

  • Находить выделенные выше случаи ортогональной проекции вершин пирамиды (призмы) на плоскость основания при решении задач.

  • Находить площадь наклонной призмы, зная боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.


понимает:

  • Способ получения формулы нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы через боковое ребро и периметр перпендикулярного сечения.

  • Важность знания свойств проекции вершины пирамиды (призмы) на плоскость основания.


МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

  • По логике изучения учебного материала – дедуктивный;

  • По источнику знаний – словесный, практический;

  • По степени взаимодействия учителя и учащихся – метод эвристической беседы.


СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ:

  • Проектор, ноутбук, экран;

  • Раздаточный материал.

ХОД УРОКА

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

Перед уроком - семинаром на нахождение проекции вершины пирамиды учениками была решена задача №227. На этом уроке она будет решена другим способом.

- Вернемся к задаче №227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC hello_html_m3369453f.gifAA1; б) CC1B1B – прямоугольник.

- Какова идея ее решения?

(Провели медиану AK .Т.к. треугольник АВС- правильный, то BC hello_html_m3369453f.gifAК. Провели отрезки A1К, A1С, A1В. Треугольник А1ВС – равнобедренный, А1К - медиана, значит, высота. BC hello_html_m3369453f.gifAА1К – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,BC hello_html_m3369453f.gifAА1 по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

Ahello_html_178395fd.gifhello_html_178395fd.gifhello_html_249bbe2.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m7d6a4434.gifhello_html_m50cefa99.gifhello_html_m230bb8db.gif1 C1

B1

hello_html_178395fd.gif


Ahello_html_m5b2e894.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m44c0b631.gif C

K

B

- Что представляет собой фигура А1АВС? (Пирамиду).

- Что известно в данной пирамиде? (В основании лежит правильный треугольник, а боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB).

- Итак, в данной пирамиде боковое ребро образует равные углы со сторонами основания. Сделайте вывод о проекции вершины данной пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды будет принадлежать прямой, содержащей биссектрису угла ВАС).


- Выполните рисунок (на рис. ребро AA1 образует равные тупые углы со сторонами основания AC и AB). Пусть точка Р – проекция вершины пирамиды А1.

- Почему А1Р будет лежат вне пирамиды А1АВС. (Т.к. углы, образованные ребром AA1 со сторонами основания AC и AB, тупые).


Ahello_html_178395fd.gifhello_html_178395fd.gifhello_html_249bbe2.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m7d6a4434.gifhello_html_m50cefa99.gifhello_html_40862967.gif1 C1

B1

hello_html_178395fd.gif

Phello_html_3e3eebb5.gif

Ahello_html_m5b2e894.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m44c0b631.gifhello_html_m752d5d79.gifC

hello_html_2740371d.gifK

B


- Как расположены прямые АК и ВС? (BC hello_html_m3369453f.gifAК по свойству биссектрисы правильного треугольника).

- Каково взаимное расположение прямых А1Р и ВС? (BC hello_html_m3369453f.gifA1Р по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

- Сделайте вывод как расположены прямые А1А и ВС. (BC hello_html_m3369453f.gifA1А по обобщенной теореме о трех перпендикулярах).

- Оформите решение данной задачи в своих тетрадях.

Примерное оформление

ДАНО:

ABCA1B1C1 – призма;

Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC hello_html_m3369453f.gifAA1;

б) CC1B1B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

hello_html_7707454f.gifhello_html_mb689f5b.gifA1AC = hello_html_7707454f.gifA1AB (по условию); hello_html_1b730b13.gif проекция точки A1 – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.


A1P hello_html_m3369453f.gifAP;

A1A – наклонная; hello_html_1b730b13.gif BC hello_html_m3369453f.gifA1A (по теореме о трех перпендикулярах);

PAhello_html_m3369453f.gifBC;

PA –проекция наклонной A1A;

б)

Chello_html_m2fb83a6a.gifC1B1B – параллелограмм;

BC hello_html_m3369453f.gifA1A; hello_html_1b730b13.gif BC hello_html_m3369453f.gifB1B, BC hello_html_m3369453f.gifC1C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A1A || B1B || C1C;

BC|| B1C1hello_html_1b730b13.gif B1C1hello_html_m3369453f.gifB1B, B1C1 hello_html_m3369453f.gifC1C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, hello_html_1b730b13.gif CC1B1B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.


Мотивация. Постановка учебной задачи

- Что помогло нам при решении данной задачи? (Свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, у которой все боковые ребра равны)

- Мы рассмотрели два способа решения этой задачи. Первый способ основывался на многих математических фактах из темы «Перпендикулярность в пространстве» (признак и свойство перпендикулярности прямой и плоскости). При решении вторым способом основным элементом теоретического базиса является свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания. Таким образом, мы получили с вами более «красивый» способ решения этой задачи.

- Итак, еще раз, благодаря какому факту мы получили этот способ решения задачи? (благодаря свойству проекции вершины пирамиды на плоскость основания)

- На уроке-семинаре мы с вами открыли не только это свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, но и ряд других. Давайте с вами сегодня на уроке рассмотрим, как данные свойства проекции вершины пирамиды помогают при решении многих других и более сложных задач. При этом само решении, как мы уже увидели, становиться более рациональным и «красивым»




Содержательная часть


Учитель классу предлагает следующие задачи (каждой паре дается список задач и время на их обдумывание):


1. Дан правильный тетраэдр. Постройте углы, образованные боковыми ребрами пирамиды, и плоскостью основания.


2. Дана четырехугольная пирамида, боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?


3. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 12, 5, 13. Все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Постройте изображение пирамиды.


На каждую парту выдается заготовка списка задач.

В течение 5 минут ребята обдумывают решение предложенных задач. В это время учитель может заполнить журнал, проследить за оформлением решения домашних задач на доске, а также за работой в классе. В случае возникновения вопросов у учащихся учитель может помочь.

Затем начинается работа со всем классом.

- О чем говориться в первой задаче, Петя? (Дан правильный тетраэдр. Нужно построить угол, образованный одним из этих боковых ребер пирамиды, и плоскостью основания).

- У кого есть идеи по решению задачи?

Если в классе не нашлось учеников, знающих решение, то учитель организует поиск решения совместно с учениками.

hello_html_m39257164.gifhello_html_m52e60229.gifhello_html_188d1257.gifhello_html_fde767b.gifНа доске появляется рисунок:

S



Ahello_html_66168788.gifhello_html_m753d0492.gifhello_html_m8dab612.gifhello_html_3b6566d9.gif О С

В

- Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость).

- Что необходимо построить, чтобы найти этот угол? (Проекцию данной прямой на плоскость основания).

- Назовите проекцию точки С на плоскость основания. (Точка С)

- Назовите проекцию точки S на плоскость основания. (Точка О является центром описанной окружности около основания).

- Назовите угол между ребрами SC, SB, SA и плоскостью основания АВС. (Углы SСО, SBO, SAO).

- Что помогло нам построить данные углы? (Свойство проекции вершины пирамиды, у которой боковые ребра равны, определение угла между прямой и плоскостью).

- Каким равносильным условием можно заменить условие равенства боковых ребер? (Равенство углов между данными ребрами и плоскостью основания или высотой пирамиды).

Дается несколько минут для фиксирования данной задачи учениками в тетради.


Переходим к обсуждению решения следующей задачи.

- Что дано в этой задаче, Маша? (Дана четырехугольная призма, у которой все боковые грани наклонены под равными углами к плоскости основания. Нужно выяснить, какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды).

- В чем идея решения этой задачи? (Основная идея решения этой задачи состоит в том, чтобы найти проекцию вершины пирамиды и делаем вывод о том, что вершина пирамиды совпадает с центром вписанной окружности).

- В какой четырехугольник можно вписать окружность? (В четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равны).

- Назовите известные виды четырехугольников, удовлетворяющие этому свойству. (Квадрат, ромб и другие произвольные четырехугольники, удовлетворяющее этому свойству).

- Прочитайте третью задачу. (Ученики читают).

- Что необходимо знать, чтобы правильно построить изображение пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды на плоскость основания).

- Понятно ли из условия задачи, куда проектируется вершина данной пирамиды? (Так как все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то вершина проектируется в центр описанной окружности).

- Какого вида треугольник может лежать в основании пирамиды? (В данном случае в основании лежит прямоугольный треугольник (по обратной теореме Пифагора)).

- Сделайте вывод о проекции вершины пирамиды на плоскость основания? (В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы).

- Постройте изображение пирамиды.




Уhello_html_d8609c4.gifhello_html_142f18a1.gifченики делают рисунок

hello_html_734d0fcd.gifhello_html_4e159000.gifhello_html_7105ace3.gifhello_html_efc2fde.gifS




hello_html_m19ce912e.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_393a93e.gifhello_html_38f817a0.gifhello_html_2d39c087.gifA O K B

hello_html_82ef7d8.gifH C

Где O – проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Учащиеся делают рисунок в тетрадях и краткую запись.


***

На основе данной задачи существует возможность составления новых задач.

- Измените условия задачи так, чтобы идея решения осталась та же.

(Можно рассмотреть треугольник со сторонами 3, 4, 5, т.е. треугольники, стороны которых являются пифагоровыми тройками чисел, или просто прямоугольные треугольники).

- Какие задачи можно еще решить на основе этого рисунка?

(Найти углы, расстояния, площади поверхностей – полной и боковой).

- Какое условие необходимо добавить в задаче, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды?

(Необходимо знать длины высот граней пирамиды, высота SO построена)

- Как построить высоту в грани SСВ? (Скорее всего, данный вопрос вызовет затруднение у учеников).

- Чем является фигура SCBA? (Двугранным углом)

- Как построить линейный угол двугранного угла? (Нам известна проекция точки S, лежащей в одной грани двугранного угла, на плоскость другой грани. Таким образом, чтобы построить линейный угол двугранного угла SBCA. Необходимо из точки O, провести перпендикуляр ОK к CB, и соединить точки S и K).

- Чем является SК в грани SCB? (Высотой треугольника SBC)

- Как найти SК? (Из прямоугольного треугольника SOK, зная, что OK – средняя линия треугольника АВС).

Аналогично находится высота SH.

- Что достаточно знать, чтобы найти все высоты? (Высоту SO, тогда все остальные высоты находятся довольно просто).

Оформление решения ученикам предлагается в качестве домашнего задания.

- Какие двугранные углы можно найти из условия задачи? (SCBA, SACB)

- Дома найдите величины этих углов.

Работе с этой задачей можно посвятить целый урок: изменяя или добавляя требования задачи, ее условия. Тем самым на ее основе решается ряд новых задач. Такой урок можно провести в качестве систематизации и обобщения. Так же данная задача является классической в изучении темы «Объемы тел».



Рефлексивно- оценочная часть

- Итак, сейчас мы с вами решали задачи, направленные на закрепление свойств проекции вершины пирамиды на плоскость основания и еще раз убедились в их важности. Более того, на основе одной составили и решили несколько задач.


Открытие формулы для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро. Этот способ основан на приеме обобщения. Предполагается, что возникла проблемная ситуация в том, что ребята знают формулу, по которой можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы, вспоминают эту формулу - hello_html_m51c7b3ca.gif, хотелось бы получить формулу для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы.


1способ

Актуализация

На доске заранее выполнен рисунок – изображение прямой призмы.

hello_html_3bb25517.gifhello_html_43edb481.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_7d227518.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_43edb481.gifhello_html_m64d875ce.gif

A1 B1

hello_html_m75498e95.gifhello_html_m624202dc.gifhello_html_m6db5b79d.gifhello_html_3ea14dd.gifhello_html_m51c7b3ca.gif

N K

M hello_html_1f2b7a2b.gif

A B

C

- Вспомним определение прямой призмы. Итак, какая призма называется прямой? (Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания).

-Чем являются грани прямой призмы? (у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники).

- Задание: постройте сечение призмы, проходящее через точку M (см рис.) и перпендикулярное боковому ребру C1C.

- Как располагаются плоскости AA1C1C и секущая плоскость? (эти плоскости пересекаются).

- Почему плоскости пересекаются? (они имеют одну общую точку).

- Как построить линию пересечения этих плоскостей?

( - AC hello_html_m3369453f.gif CC1;

- линия пересечения лежит в секущей плоскости и в плоскости AA1C1C , а так же она перпендикулярна ребру CC1;

- Значит, линия пересечения параллельна AC, по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.)

- Построим точку N - точку пересечения данной линии и плоскости AA1C1C, отличную от точки M. Итак, каким плоскостям принадлежит прямая NM? (Данная прямая принадлежит секущей плоскости и плоскости AA1C1C).

- Сделайте вывод, какой прямой будет принадлежать точка N.

(hello_html_2a98dad9.gif, значит hello_html_m782a366b.gif).

- Строим эту линию пересечения. (Учитель на доске выполняет построение прямой MN, ученики в тетрадях).

Аналогичные рассуждения учитель проводит при построении линии пересечения - MK плоскости CC1B1B и плоскости сечения.

  • Соединим точки N и K.

- Как расположен6ы прямые C1C и NK? (Эти прямые перпендикулярны).

- Почему эти прямые перпендикулярны?

Записи на доске и в тетрадях учеников.

(hello_html_645808b7.gifMN hello_html_m3369453f.gif CC1; hello_html_1b730b13.gif CC1 hello_html_m3369453f.gif MNK – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MK hello_html_m3369453f.gif CC1;

Nhello_html_645808b7.gifK hello_html_246867f4.gif MNK hello_html_1b730b13.gif MK hello_html_m3369453f.gif CC1 – по определению прямой перпендикулярной к плоскости).

CC1 hello_html_m3369453f.gif MNK ).

- Что мы сейчас с вами построили? (треугольник MNK – сечение призмы).

- Как мы строили это сечение? (Данное сечение перпендикулярно боковым ребрам).

- Итак, такое сечение призмы называется перпендикулярным. Давайте еще раз сформулируем, какое же сечение призмы называется перпендикулярным? (Перпендикулярным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам).

- Как расположены секущая плоскость и плоскость основания? (Эти плоскости параллельны по признаку параллельности двух плоскостей, так как AC || MN, CB || MK – по построению).

- Сравните треугольник ABC, который лежит в основании призмы и треугольник MNK, получившийся в сечении данной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру? (Треугольник ABC равен треугольнику MNK, например, по третьему признаку).

- Таким образом, как по-другому можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы? (hello_html_m2fed1622.gif).

- Что необходимо знать в призме, вычисляя площадь боковой поверхности по этой формуле? (периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра).

- Попробуйте сформулировать словами, чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? (площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).


Мотивация


- Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы? (Ученики затрудняются сразу ответить на этот вопрос).


Планирование


- Что необходимо сделать, чтобы ответить на этот вопрос? (попробовать выполнить все те же построения, провести подобные рассуждения, после чего сделать вывод).


Содержательная часть


- Строим в тетрадях, а я на доске изображение наклонной призмы.



hello_html_178395fd.gifhello_html_2ffd2547.gifhello_html_m28071069.gifhello_html_m432b8b6b.gifA1 B1

Nhello_html_m63412b77.gifhello_html_178395fd.gifhello_html_638a51fe.gifC1

hello_html_m24acbaf9.gifK

hello_html_m5b2e894.gifhello_html_m6c613c35.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_178395fd.gif

AM B

C

- Что делаем первым шагом? (Выбираем некоторую точку M на боковом ребре СС1 призмы и строим сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно выбранному ребру).

-Итак, треугольник MNK – сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку M и перпендикулярно ребру СС1.

- Как можно вычислить площадь боковой поверхности любой призмы? (площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней).

- Примените эту формулу к данной призме. (hello_html_m52387ac5.gif).

- Преобразуйте данное выражение. (После преобразования ученики приходят к формуле hello_html_3de32e0b.gif).

- Сформулируйте, чему же равна площадь боковой поверхности наклонной призмы? (площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).

- На какой вопрос мы хотели получить ответ? (Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы?).

- Какой вывод отсюда можно сделать? (Формула, для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы, через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро, так же верна и для наклонной призмы).

- Справедлива ли эта формула для n-угольной призмы? (Да, так как в качестве перпендикулярного сечения будет выступать n-угольник)

- Мы с вами получили новую формулу нахождения боковой поверхности наклонной призмы и одновременно решили задачу №236. Эту формулу необходимо запомнить, так как она очень часто применяется при решении задач.

На дом ученикам задается задача №238.


Рефлексивно-оценочная часть

- Прямая призма по отношению к наклонной является частным случаем, а наклонная – относительно прямой призмы? (Общим случаем)

- Как мы получили эту формулу? (Сначала получили эту формулу для прямой призмы, а затем доказали справедливость ее для наклонной)

- Метод, с помощью которого получили формулу, является методом обобщения.

- Этот метод мы ранее использовали при открытии формулы площади треугольника через 2 стороны и угол между ними. Как мы это сделали? (Установили справедливость формулы для прямоугольного треугольника – частного случая, затем обобщили ее на треугольник общего вида).


***


Приведем еще один возможный способ «открытия» формулы площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

2 способ

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

- Чему равна hello_html_71d159ec.gif прямой призмы?

( hello_html_71d159ec.gif= Р*L, L-боковое ребро)

Мотивация

- Нам известна формула для вычисления hello_html_md4a68fe.gif наклонной призмы?

(Нет.)

- Предложите, как можно найти hello_html_71d159ec.gif наклонной призмы?

(hello_html_71d159ec.gif наклонной призмы можно вычислить как сумму площадей ее боковых граней)

- Оцените этот способ для n-угольной призмы.

(Если дана такая призма, то необходимо знать длины n сторон основания и n высот боковых граней).

- Как вы строили высоты?

(Из вершин верхнего основания к прямым, содержащим стороны нижнего основания)



hello_html_m73a19f0.gifhello_html_7dabd5cc.gifhello_html_275eeb0c.gifhello_html_m536ccbd5.gif


hello_html_42b087a1.gifhello_html_m6efa8db8.gif

hello_html_43c64008.gifhello_html_m5038ce49.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m7cdadb55.gifhello_html_70c9c36b.gifhello_html_42b087a1.gif C

M A K

N B


- Какой вывод можно сделать из наших рассуждений?

(Этот способ не рационален для n-угольной наклонной призмы)


Постановка УЗ

- Какая задача встает сейчас перед нами?

(Открыть более рациональный способ вычисления hello_html_71d159ec.gifn-угольной наклонной призмы).

Планирование

- Как можно найти hello_html_71d159ec.gif произвольной призмы? (Сумма площадей боковых граней многогранника).

- Выясним, что проводить высоты в боковых гранях из вершин верхнего основания, к прямым, содержащим стороны нижнего основания. Как еще можно провести высоты в этих боковых гранях. ( Из вершины верхнего или нижнего основания к боковому ребру).

Это учителем демонстрируется на рис.( из любой точки верхнего основания, к прямой, содержащей нижнее основание).

- Сколько элементов необходимо знать в данном случае? (n+1 элемента, в случае n-угольной призмы): общее боковое ребро.

- Какое построение высот рационально используется(2 случай) с боковым ребром.




Содержательная часть

Рассмотрим треугольную призму.



hello_html_2709189a.gifА1 В1

hello_html_m151137b3.gifhello_html_m50874397.gifK

hello_html_43c27e2.gifM С1

N

hello_html_m7cdadb55.gifhello_html_66168788.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_m7cdadb55.gifhello_html_70c9c36b.gifhello_html_m73a19f0.gifhello_html_42b087a1.gifhello_html_42b087a1.gifA B

C

Далее учителем проводится конструктивный диктант.


-Постройте высоту в грани hello_html_m521ee5d3.gifhello_html_626713fd.gifС из любой точки. ребра hello_html_m521ee5d3.gif.

(MNhello_html_m3369453f.gifhello_html_m51bde9bb.gif)

-hello_html_5ffad700.gifКаково взаимное расположение hello_html_m521ee5d3.gif и MN?

hello_html_m521ee5d3.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_4262cf6.gifhello_html_m51bde9bb.gif

MNhello_html_m3369453f.gifhello_html_m51bde9bb.gif hello_html_1b730b13.gifMN hello_html_7415681f.gif (по лемме)

-Постройте из точки N высоту в грани hello_html_m51bde9bb.gifhello_html_5772884c.gif.

( NKhello_html_m3369453f.gifhello_html_m19c5ef32.gif)

-hello_html_m246af4a2.gifКаково взаимное расположение NK и hello_html_m51bde9bb.gif?

hello_html_m46033819.gifhello_html_m51bde9bb.gifhello_html_4262cf6.gifhello_html_m19c5ef32.gifhello_html_1b730b13.gifNKhello_html_m3369453f.gifhello_html_m51bde9bb.gif - (по лемме).

NKhello_html_m3369453f.gifhello_html_m19c5ef32.gif

-hello_html_m678f4cb6.gifСоедините M и K. Каково взаимное расположение прямых MK и hello_html_m51bde9bb.gif?

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_m51bde9bb.gifhello_html_m3369453f.gifMNK( по признаку.) hello_html_1b730b13.gifhello_html_m51bde9bb.gifhello_html_m3369453f.gif MK (по определению прямой

MKhello_html_246867f4.gifMNK перпендикулярной к плоскости).

-Чем является hello_html_2e85d6ba.gifMNK для данной призмы? (Сечением).

-Каким свойством оно обладает?

( Сечение перпендикулярно ребрам данной призмы).

-Итак, мы построили сечение призмы, которое перпендикулярно к ребрам призмы. Такое сечение называется перпендикулярным. Сформируйте, определение перпендикулярного сечения призмы?

(Сечение, перпендикулярное ребрам призмы, называется перпендикулярным сечением).

-Попытайтесь найти hello_html_71d159ec.gif наклонной призмы?

(Пусть L-это длина бокового ребра, тогда hello_html_m294c2b11.gif=L*MN+L*NK+L*MK=L*(MN+NK+MK)=L*hello_html_422b4415.gif, где hello_html_422b4415.gif- периметр перпендикулярного сечения).

-Эта формула получена для треугольной призмы. Докажите ее справедливость для n-угольной призмы.

(hello_html_m294c2b11.gif=L*hello_html_422b4415.gif,где перпендикулярным сечением будет соответствующий n-угольник).

-Эту формулу необходимо запомнить, т.к. ей будем пользоваться в данной теме и в последующих.

-Сравните формулы для вычисления hello_html_71d159ec.gif наклонной и прямой призм.

(Для наклонной призмы hello_html_71d159ec.gif=hello_html_422b4415.gif *L, hello_html_71d159ec.gif=hello_html_420bb2ce.gif* L ,т. к. призма прямая , тоhello_html_420bb2ce.gif= hello_html_422b4415.gif)

-Какой вывод можно сделать об этих формулах (hello_html_71d159ec.gif произвольной призмы является частным случаем hello_html_71d159ec.gif наклонной призмы).

Рефлексивно-оценочная часть

-Итак, что нового узнали на уроке. Мы узнали, что такое перпендикулярное сечение, формулу вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

Список используемой литературы

  1. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук; Рос. акад. образования, Издательство «Просвещение»: - 2 – е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 319 с.: ил.

  2. Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. – М.: Просвещение,1999. –238с.

  3. В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению стереометрических задач на доказательство и вычисление). – Горький, 1984.

  4. Выпуклые многогранники. – Горький: Изд-во ГПИ им. М.Горького, 1990, 43с.

  5. Геометрия, 10 – 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутусов, С.Б.Кадомцев и др. – 10 –е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 206 с.: ил.

  6. Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н., Пыжьянова А.Н. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Часть 2. 4 – е изд. – Н.Новгород: НГПУ, 2004, - 101 с.

  7. Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике. / Гусев В.А., Литвененко В.И., Мордкович А.Г. – М: Просвещение, 1992.

  8. Гусев В.А., и др. Методика обучения геометрии. Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений (В.А.Гусев, и др; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия». – 368с.

  9. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1984, 97с.

  10. Пидоу, Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979, 334с.

  11. Правильные многогранники. Методические рекомендации. – Н.Новгород: НГПИ им. М.Горького, 1991, 48с.

  12. Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии./ Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф./ - М.: Наука, 1989, 288с.

  13. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5 – 11 кл./Сост.Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк.- М., 2002.






Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров429
Номер материала ДA-036686
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх