Урок по теме "Многогранники"

28. Логико-дидактический анализ темы «Многогранники». Ключевые задачи темы и методика обучения их решению. Примеры.

Выводы из логико-дидактического анализа:

1.    Тема многогранники является одной из центральных в курсе геометрии, так как представляет одну из главных содержательных линий «Теория многогранников».

2.    В теме «Многогранники» синтезируются знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве», а также знания из планиметрии связанные с темой «Многоугольники».

3.    В этой теме имеются предпосылки для аналогии с темой «Многоугольники» и между видами многогранников.

4.    Логическая структура утверждений и способы получения видовых отличий для учащихся не новы. Все понятия представлены в вербальной, натуральной (модели), графической формах. Возникает необходимость широкого использования моделей для включения учащихся в самостоятельную деятельность при открытии новых фактов.

Формулировки теорем простые, их доказательство не громоздко. Следовательно, теоремы – формулы, теоремы – свойства можно доказывать с учениками в форме представления задач, то есть не задавать с самого начала как теорему.

5.    Возможно формирование приема конкретизации и обобщения:

Многогранник → призма, пирамида;

площадь боковой поверхности прямой призмы → площадь боковой поверхности наклонной призмы;

6.    Имеются предпосылки для формирования приема классифицирования:

Виды призм

Призма:  Прямая(  правильная           неправильная)    Наклонная

Виды пирамид

Пирамида:  правильная  И   неправильная

        Можно проводить классификацию по числу вершин ( 3-угольные,                      4-угольные и т.д.).

7.    В целом учебный материал темы по своей логической структуре, утверждения, способам доказательства теорем не отличается новизной для учащихся. Поэтому на  различных этапах обучения необходимо включать учащихся в поисковую деятельность.

8.    Данная тема позволяет использовать историю математики.

Например,  характеристика Эйлера для выпуклых многогранников:

                                                      В+Г+Р=2

9.    Анализ задачного материала показывает, что в теме довольно много задач-  фактов, задач-теорем, задач- методов, которые часто используются при решении других задач. В классах с углубленным изучением математики их следует выделять, тогда как в обычных классах можно выделять только самые основные. Решению задач на неправильную пирамиду целесообразно посвятить урок- лекцию с целью выявления свойств этих пирамид.

10.  В учебнике мало задач на усеченную пирамиду (всего три), поэтому целесообразно дополнить эту группу задач.

Анализ теоретического и задачного материала темы позволяет выделить следующие учебные задачи темы:

1)    Определить понятия многогранника, призмы, пирамиды, правильного многогранника, как частные виды многогранников, используя аналогию с понятием многоугольника в планиметрии.

2)    Выявить совместно с учащимися существование этих объектов, формулы для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы, правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

3)    Формировать умения распознавать по моделям и описанию призму, пирамиду, усеченную пирамиду; указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах.

4)    Систематизировать знания учащихся по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».

5)    Формировать умения решать задачи по теме.

В результате изучения темы «Многогранники» ученик:

         Знает:

    определения понятий: многогранник, выпуклый многогранник, призма, пирамида, усеченная пирамида, правильный многогранник и их  элементов и видов, площадь поверхности.

    формулировки теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236, № 246(а), № 247, № 249.

    доказательство теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236.

    классификацию неправильной пирамиды по проекции вершины.

Умеет:

    изображать многогранники и их элементы

    по развертке восстанавливать правильный многогранник

    узнавать многогранники в окружающем мире

    применять теоремы о площади боковой поверхности при решении задач

    обосновывать существование многогранников

    распознавать на моделях и по описанию многогранник, призму, пирамиду, усеченную пирамиду, правильные многогранники.

       Понимает:

    значимость данной темы в дальнейшем построении курса стереометрии

    что тема «Многогранники» является обобщением темы «Многоугольники»

    что тема «Многогранники» систематизирует знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».
Логико-дидактический анализ задачного материала

Задачный материал по теме «Призма» по учебнику: Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.В. Кадонцев и др. – М.: Просвещение, 2001 мы предлагаем классифицировать по следующим признакам:

ü  на вычисление;

ü  на доказательство.

Задачи на вычисление можно разбить на следующие группы:

ü  вычисление углов (№№ 222, 225);

ü  вычисление длины (№№ 219, 220, 223);

ü  вычисление площадей боковых и полных поверхностей разных видов многогранников (их большинство).

Задачи на вычисление площадей представлены в большом количестве, очень мало задач на вычисление углов и длин, т.к. задачи на вычисление площадей включают в себя задачи на нахождение этих элементов.

В ходе решения задачного материала по теме «Призма» были выделены следующие задачи-факты:

№ 218: Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

На основе этой задачи решаются задачи, в которых даны правильная и прямая призма, поэтому на нее нужно уделить особое внимание, выделить сам факт. Ученикам нужно зафиксировать его, постараться запомнит. Учителю нужно обратить внимание учеников на то, что этот факт – свойства соответствующих видов призм (прямой и правильной) и поможет при решении более сложных задач.

Такой тип задач (задачи-факты) уже известен ученикам. Многие «полезные» факты отражаются не только в теоретическом материале параграфа темы, но и содержаться в задачах, являющиеся такими же важными.

К задачам-фактам относятся так же задачи:

ü № 236. S_{бок. поверх накл призмы}=lP^, где Р^=h₁+h₂+…+h_n, h – высота боковой грани, l – длина бокового ребра. В этой задаче дается определение перпендикулярного сечения. На основе этой задачи решаются задачи №№ 237, 238.

ü № 289. Это задача-факт, так как она сообщает формулу нахождения площади полной поверхности куба, зная его диагональ:

ü  № 293. Здесь устанавливается следующий факт: Если в правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали B₁D и D₁B взаимно перпендикулярны, то угол между диагоналями A₁C и B₁D призмы равен 60^°. Это утверждение так же можно использовать при решении других задач.

ü  № 294. В этой задаче представлена формула вычисления площади боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, пересеченной плоскостью, содержащей две ее диагонали, если известна площадь полученного сечения -  и сторону основания призмы - a.

 

§   

Анализ задач показал, что в теме «Призма» можно выделить последовательность групп задач:

1.     Наклонная призма. К числу ключевых в этой группе можно отнести следующие задачи:

Задача 1. № 227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC  AA₁; б) CC₁B₁B – прямоугольник.

A₁                                              C₁

                     B₁

         

P

A                             C

                           K

                               B

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ – призма;

Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC  AA₁;

б) CC₁B₁B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

В плоскости ABC проведем медиану AK, AK BC.

Проведем отрезки A₁B, A₁C, A₁K.

1 способ

а)

 AB = AC (по условию);

 A₁AC =  A₁AB;                 A₁AC =  A₁AB;              

AA₁ – общая;

A₁B = A₁C   A₁BC – равнобедренный (по определению);

A₁K – медиана   A₁K  BC (по свойству медианы равнобедренного треугольника);

BC  A₁K;

BC  A₁K;                 BC A₁A (по свойству перпендикулярности прямой и плоскости);

BC  A₁KA;

2 способ

 A₁AC =  A₁AB (по условию);  проекция точки A₁ – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A₁P AP;

A₁A – наклонная;                             BC A₁A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA –проекция наклонной A₁A;

б) 

CC₁B₁B – параллелограмм;

BC A₁A;                       BC B₁B, BC C₁C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A₁A || B₁B || C₁C;

BC|| B₁C₁   B₁C₁B₁B, B₁C₁ C₁C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник,  CC₁B₁B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Вывод:   Эта задача является ключевой поскольку, во-первых, здесь используется свойство проекции вершины пирамиды, если одно из ее ребер образует равные углы со смежными сторонами основания -   проекции вершины  такой пирамиды принадлежит биссектрисе угла (или ее продолжению), образованного данными сторонами основания. Во-вторых, она так же имеет несколько способов решения. В-третьих, на основе этой задачи, решаются задачи, представленные в учебнике, например, № 228.

Задача 2. № 236.

Докажите, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

 

                                        

ДАНО:

наклонная призма;

боковое ребро равно – l;

периметр перпендикулярного сечения – P₁.

ДОКАЗАТЬ, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Каждая боковая грань есть параллелограмм. Сечение перпендикулярно боковым граням, то есть оно перпендикулярно боковым ребрам.

h₁ – высота параллелограмма одной из боковых граней.

 S = l* h₁ – площадь одной боковой грани. Таких граней – n и каждая грань – параллелограмм – имеет свою высоту, следовательно,

S_бок = S₁+S₂+…+S_n=lh₁+lh₂+…+lh_n=l (h₁+h₂+…+h_n) = h₁P^,

где P^= h₁+h₂+…+h_n.

              h₁

                    l

          h₁  

Что и требовалось доказать.

Вывод: Эта задача выбрана в качестве ключевой, поскольку, во-первых, она является задачей-фактом, и на ее основе решаются задачи  №№ 237, 238. Ребята получают в свою копилку формул – формулу вычисления S_бок наклонной призмы, через ребро и периметр перпендикулярного сечения. Во-вторых, это важная формула при изучении темы «Объемы», где она используется при решении задач.

2.      Прямая призма

К числу ключевых в этой группе можно отнести следующую задачу:

Основанием прямой призмы, с высотой m/2 является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна m, а острый угол равен 60°.

1. Найдите угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания.

2.Найдите отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A₁A  и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB.

3. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ – прямая призма;

AA₁ = m/2;

 ABC:  C = 90°; A = 60°;

AB = m.

НАЙТИ

1. угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания;

2. отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A₁A  и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB;

3. площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

 I.      Найдем угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания.

1)     ABC:

 C = 90°; A = 60°;

 B = 30° (по свойству острых углов прямоугольного треугольника)

AB = m;

AC = 1/2AB = 1/2m (по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°);

2)    AA₁ ABC;      AA₁AC

AC  ABC;

 

AA₁AC;                   

AC  BC;                       AC₁ BC (по теореме о трех перпендикулярах);

AC – проекция

наклонной AC₁;

 

3)    AC₁ BC;         AC₁C – линейный угол двугранного угла AC₁BA (по определению);

AC  BC;

4)    AAC₁:

 A₁AC = 90°;

AC₁ = AC   AAC₁ – равнобедренный;

 AC A₁ =  AA₁C = ½ 90°;

   AC A₁ = 45°;

4’) Величину угла AC A₁  можно найти, используя свойство прямой призмы о том, что боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

ОТВЕТ:  AC A₁ = 45°.

II.            Найдем отношения расстояния между скрещивающимися прямыми

A₁A  и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB.

1.            (AA_1, CB) =?

1)                                                                                                                           Строим плоскость, проходящую через прямую CB и параллельную прямой AA₁.

AA₁|| CC₁;

CC₁ CBB₁;           CBB₁ – искомая плоскость.

CB CBB₁;

2)    Построим (найдем) плоскость, проходящую через точку C и перпендикулярную плоскости CBB₁.

 

AC  BC;           AC  СBB₁ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости);

AC  СC₁;

 

AC  СBB₁;           ABC  СBB₁ (по признаку перпендикулярности двух плоскостей);

AC  ABC;

3)    Строим перпендикуляр из тачки C к линии пересечения плоскостей ABC  и  СBB₁.

AC – искомый перпендикуляр.

4)    AC  BC;  

AC  AA₁ (так как, AA₁ABC, AC  ABC);

 

 (AA_1, CB) = AC = m/2/

2.  (A_1, CB) =?

 1) AA₁ABC;        A₁C  СВ (по теореме о трех перпендикулярах);

AC  BC;

 (A_1, CB) = A₁C.

2)   AAC₁:

 A₁AC = 90°;

3.   (AA_1, CB)/  (A_1, CB) = AC/ A₁C =.

ОТВЕТ:  (AA_1, CB)/  (A_1, CB) = .

III.       Найдем площадь боковой поверхности.

 ABC:

 C = 90°;

ОТВЕТ:

Вывод: На наш взгляд, эту задачу можно отнести к ключевым, поскольку здесь используется свойство прямой призмы при нахождении угла между плоскостями, расстояния между точкой и прямой, скрещивающимися прямыми. Учащимся, для отработки этого правила можно предложить самостоятельно найти  (BB_1, AC),  (CC_1, AB),  (B_1,AC),  (C_1,AB); угол между плоскостями B₁AC и ABC. Все эти элементы хорошо просматриваются в данной задаче.

При ее решении можно еще раз выделить приемы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми, точкой и прямой, угла меду плоскостями.

В этой задаче так же требуется найти   - это новая в теме формула, поэтому ученики должны уметь применять ее при решении.

Блок ключевых задач на нахождение проекции вершин неправильной пирамиды

1.

       S

 

  A              O               C     

                              

                          B

Условия:

1. SB = SC

2.

3.

Заключение: О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне BC.

2.

       S

  A              O               C     

               K                N

                          B

Условия:

1. SK = SN

2.

3.

4.

a)  - острые .Заключение: О принадлежит биссектрисе угла АBC.

б) - тупые.

   S                                           

 

O    B                             C

                               A

Заключение: О принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла АBC.

3.

       S

 

  A              O               C     

                              

                          B

Условие

      

Заключение: О принадлежит линии пересечения плоскостей  АBC и ACS.

4.

       S

 

  A              O               C     

                              

                          B

Условия:

1. AS = SB = SC

2.

3.

Заключение: О центр описанной окружности около основания.

5.

       S

                           M

  A              O               C     

              K                 

                          B

Условие

Боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.

Заключение: О центр вписанной окружности в основание.

6.

 

S

     A(O)                              B

                    C        

Условие

1.

Заключение: проекция вершины S  совпадает с точкой.

Проект урока РЕШЕНИЯ

КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «пРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА:

1.     Формировать умения  нахождения проекции вершины (одной из вершин верхнего основания) пирамиды (призмы) на плоскость основания.

2.     "Открыть" совместно с учениками формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы на основе формулы площади боковой поверхности прямой призмы методом обобщения.

ДИАГНОСТИРУЕМЫЕ ЦЕЛИ:

         По окончании урока ученик

знает:

· Равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания:

-     в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одному из рёбер основания;

-     в центр описанной окружности основания;

-     в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

-     в центр вписанной (или вневписанной) окружности основания;

-     в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

-     в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания;

·        Формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы, если известно боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

умеет:

·        Находить выделенные выше случаи ортогональной проекции вершин пирамиды (призмы) на плоскость основания при решении задач.

·        Находить площадь наклонной призмы, зная боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

понимает:

·        Способ получения формулы нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы через боковое ребро и периметр перпендикулярного сечения.

·        Важность знания свойств проекции вершины пирамиды (призмы) на плоскость основания.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

·        По логике изучения учебного материала – дедуктивный;

·        По источнику знаний – словесный, практический;

·        По степени взаимодействия учителя и учащихся – метод эвристической беседы.

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ:

·        Проектор, ноутбук, экран;

·        Раздаточный материал.

ХОД УРОКА

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

Перед уроком - семинаром на нахождение проекции вершины пирамиды учениками была решена задача №227. На этом уроке она будет решена другим способом.

- Вернемся к задаче №227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC  AA₁; б) CC₁B₁B – прямоугольник.

- Какова идея ее решения?

(Провели медиану AK .Т.к. треугольник АВС- правильный, то BC  AК. Провели отрезки A₁К, A₁С, A₁В. Треугольник А₁ВС – равнобедренный, А₁К - медиана, значит, высота. BC  AА₁К – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, BC  AА₁ по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

A₁                                              C₁

                     B₁

         

A                             C

                           K

                               B

- Что представляет собой фигура А₁АВС? (Пирамиду).

- Что известно в данной пирамиде? (В основании лежит правильный треугольник, а боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB).

 - Итак, в данной пирамиде боковое ребро  образует равные углы со сторонами основания. Сделайте вывод о проекции вершины данной пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды будет принадлежать прямой, содержащей биссектрису угла ВАС).

- Выполните рисунок (на рис. ребро AA₁ образует равные тупые углы со сторонами основания AC и AB). Пусть точка Р – проекция вершины пирамиды А₁.  

- Почему А₁Р будет лежат вне пирамиды А₁АВС. (Т.к. углы,  образованные  ребром AA₁ со сторонами основания AC и AB, тупые).

A₁                                              C₁

                     B₁

         

P

A                             C

                           K

                               B

 - Как расположены прямые АК и ВС? (BC  AК по свойству биссектрисы правильного треугольника).

 - Каково взаимное расположение прямых А₁Р и ВС? (BC  A₁Р по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

 - Сделайте вывод как расположены прямые А₁А и ВС. (BC  A₁А по обобщенной теореме о трех перпендикулярах).

 - Оформите решение данной задачи в своих тетрадях.

 Примерное оформление

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ – призма;

Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC  AA₁;

б) CC₁B₁B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

 A₁AC =  A₁AB (по условию);  проекция точки A₁ – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A₁P AP;

A₁A – наклонная;                             BC A₁A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA –проекция наклонной A₁A;

б) 

CC₁B₁B – параллелограмм;

BC A₁A;                       BC B₁B, BC C₁C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A₁A || B₁B || C₁C;

BC|| B₁C₁   B₁C₁B₁B, B₁C₁ C₁C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник,  CC₁B₁B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Мотивация. Постановка учебной задачи

 - Что помогло нам при решении данной задачи? (Свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, у которой все боковые ребра равны)

 - Мы рассмотрели два способа решения этой задачи. Первый способ основывался на многих математических фактах из темы  «Перпендикулярность в пространстве» (признак и  свойство перпендикулярности прямой и плоскости). При решении вторым способом основным элементом теоретического базиса является свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания. Таким образом, мы получили с вами более «красивый» способ решения этой задачи.

 - Итак, еще раз, благодаря какому факту мы получили этот способ решения задачи? (благодаря свойству проекции вершины пирамиды на плоскость основания)

 - На уроке-семинаре мы с вами открыли не только это свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, но и ряд других. Давайте с вами сегодня на уроке рассмотрим, как данные свойства проекции вершины пирамиды помогают при решении многих других и более сложных задач. При этом само решении, как мы уже увидели, становиться более рациональным и «красивым»

Содержательная часть

Учитель классу предлагает следующие задачи (каждой паре дается список задач и время на их обдумывание):

1. Дан правильный тетраэдр. Постройте  углы, образованные боковыми ребрами пирамиды, и плоскостью основания.

2. Дана четырехугольная пирамида, боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?

3. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 12, 5, 13. Все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Постройте изображение пирамиды.

На каждую парту выдается заготовка списка задач.

         В течение 5 минут ребята обдумывают решение предложенных задач. В это время учитель может заполнить журнал, проследить за оформлением решения домашних задач на доске, а также за работой в классе. В случае возникновения вопросов у учащихся учитель может помочь.

         Затем начинается работа со всем классом.

- О чем говориться в первой задаче, Петя? (Дан правильный тетраэдр. Нужно построить угол, образованный одним из этих боковых ребер пирамиды, и плоскостью основания).

 - У кого есть идеи по решению задачи?

         Если в классе не нашлось учеников,  знающих решение, то учитель организует поиск решения совместно с учениками.

         На доске появляется рисунок:

         S      

A          О                       С

                                В

 - Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость).

 - Что необходимо построить, чтобы найти этот угол? (Проекцию данной прямой на плоскость основания).

 - Назовите проекцию точки С на плоскость основания. (Точка С)

 - Назовите проекцию точки S на плоскость основания. (Точка О является центром описанной окружности около основания).

 - Назовите угол между ребрами SC, SB, SA и плоскостью основания АВС. (Углы SСО, SBO, SAO).

 - Что помогло нам построить данные углы? (Свойство проекции вершины пирамиды, у которой боковые ребра равны, определение угла между прямой и плоскостью).

 - Каким равносильным условием можно заменить условие  равенства боковых ребер? (Равенство углов между данными ребрами и плоскостью основания или высотой пирамиды).

         Дается несколько минут для фиксирования данной задачи учениками в тетради.

         Переходим к обсуждению решения следующей задачи.

- Что дано в этой задаче, Маша? (Дана четырехугольная призма, у которой все боковые грани наклонены под равными углами к плоскости основания. Нужно выяснить, какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды).

 - В чем идея решения этой задачи? (Основная идея решения этой задачи состоит в том, чтобы найти проекцию вершины пирамиды и делаем вывод о том, что вершина пирамиды совпадает с центром вписанной окружности).

 - В какой четырехугольник можно вписать окружность? (В четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равны).

 - Назовите известные виды четырехугольников, удовлетворяющие этому свойству. (Квадрат, ромб и другие произвольные четырехугольники, удовлетворяющее этому свойству).

- Прочитайте третью задачу. (Ученики читают).

- Что необходимо знать, чтобы правильно построить изображение пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды на плоскость основания).

 - Понятно ли из условия задачи, куда проектируется вершина данной пирамиды? (Так как все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то вершина проектируется в центр описанной окружности).

- Какого вида треугольник может лежать в основании пирамиды? (В данном случае в основании лежит прямоугольный треугольник (по обратной теореме Пифагора)).

 - Сделайте вывод о проекции вершины пирамиды на плоскость основания? (В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы).

- Постройте изображение пирамиды.

Ученики делают рисунок

       S

  A              O         K     B

              H              C

Где O – проекция вершины пирамиды на плоскость основания.  

         Учащиеся делают рисунок в тетрадях и краткую запись.

***

         На основе данной задачи существует возможность составления новых задач.

 - Измените условия задачи так, чтобы идея решения осталась та же.

(Можно рассмотреть треугольник со сторонами 3, 4, 5, т.е. треугольники, стороны которых являются пифагоровыми тройками чисел, или просто прямоугольные треугольники).

 - Какие задачи можно еще решить на основе этого рисунка?

(Найти углы, расстояния, площади поверхностей – полной и боковой).

 - Какое условие необходимо добавить в задаче, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды?

(Необходимо знать длины высот граней пирамиды, высота SO построена)

 - Как построить высоту в грани SСВ? (Скорее всего, данный вопрос вызовет затруднение у учеников).

 - Чем является фигура SCBA? (Двугранным углом)

 - Как построить линейный угол двугранного угла? (Нам известна проекция точки S, лежащей в одной грани двугранного угла, на плоскость другой грани. Таким образом, чтобы построить линейный угол двугранного угла SBCA. Необходимо из точки O, провести перпендикуляр ОK к CB, и соединить точки S и K).

 - Чем является SК в грани SCB? (Высотой треугольника SBC)

 - Как найти SК? (Из прямоугольного треугольника SOK, зная, что OK – средняя линия треугольника АВС).

         Аналогично находится высота SH.

 - Что достаточно знать, чтобы найти все высоты? (Высоту SO, тогда все остальные высоты находятся довольно просто).

Оформление решения ученикам предлагается в качестве домашнего задания.

 - Какие двугранные углы можно найти из условия задачи? (SCBA, SACB)

 - Дома найдите величины этих углов.

         Работе с этой задачей можно посвятить целый урок: изменяя или добавляя требования задачи, ее условия. Тем самым на ее основе решается ряд новых задач. Такой урок можно провести в качестве систематизации и обобщения. Так же данная задача является классической в изучении темы «Объемы тел».

Рефлексивно- оценочная часть

          - Итак, сейчас мы с вами решали задачи, направленные на закрепление свойств проекции вершины пирамиды на плоскость основания и еще раз убедились в их важности. Более того, на основе одной составили и решили несколько  задач.

Открытие формулы для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро. Этот способ основан на приеме обобщения. Предполагается, что возникла проблемная ситуация в том, что ребята знают формулу, по которой можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы, вспоминают эту формулу -  , хотелось бы получить формулу для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы.

1способ

Актуализация

На доске заранее выполнен рисунок – изображение прямой призмы.

 

 A₁                                                 B₁

                                                            

 N                                 K 

                         ●M                            

 A                                  B

                           C

- Вспомним определение прямой призмы. Итак, какая призма называется прямой? (Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания).

-Чем являются грани прямой призмы? (у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники).  

- Задание: постройте сечение призмы, проходящее через точку M (см рис.) и перпендикулярное боковому ребру C₁C.

- Как располагаются плоскости AA₁C₁C и секущая плоскость? (эти плоскости пересекаются).

- Почему плоскости пересекаются? (они имеют одну общую точку).

- Как построить линию пересечения этих плоскостей?

( - AC  CC₁;

 -  линия пересечения лежит в секущей плоскости и в плоскости AA₁C₁C , а так же она перпендикулярна ребру  CC₁;

 - Значит, линия пересечения параллельна AC, по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.)

- Построим точку N - точку пересечения данной линии и плоскости AA₁C₁C, отличную от точки M. Итак, каким плоскостям принадлежит прямая  NM? (Данная прямая принадлежит секущей плоскости и плоскости  AA₁C₁C).

- Сделайте вывод, какой прямой будет принадлежать точка N.

 (, значит ).

          - Строим эту линию пересечения. (Учитель на доске выполняет построение прямой MN, ученики в тетрадях).

Аналогичные рассуждения учитель проводит при построении линии пересечения - MK плоскости CC₁B₁B и плоскости сечения.

-         Соединим точки N и K.

- Как расположен6ы прямые C₁C и NK? (Эти прямые перпендикулярны).

- Почему эти прямые перпендикулярны?

Записи на доске и в тетрадях учеников.

(MN  CC₁;         CC₁  MNK – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

 MK  CC₁;

NK  MNK         MK  CC₁ – по определению прямой перпендикулярной к плоскости).

CC₁  MNK      ).

- Что мы сейчас с вами построили? (треугольник MNK – сечение призмы).

- Как мы строили это сечение? (Данное сечение перпендикулярно боковым ребрам).

- Итак, такое сечение призмы называется перпендикулярным. Давайте еще раз сформулируем, какое же сечение призмы называется перпендикулярным? (Перпендикулярным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам).

-  Как расположены секущая плоскость и плоскость основания? (Эти плоскости параллельны по признаку параллельности двух плоскостей, так как AC || MN, CB || MK – по построению).

- Сравните треугольник ABC, который лежит в основании призмы и треугольник MNK, получившийся в сечении данной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру? (Треугольник ABC равен треугольнику MNK, например, по третьему признаку).

 - Таким образом, как по-другому можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы? ().

- Что необходимо знать в призме, вычисляя площадь боковой поверхности по этой формуле? (периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра). 

- Попробуйте сформулировать словами, чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? (площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).

Мотивация

- Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы? (Ученики затрудняются сразу ответить на этот вопрос).

Планирование

- Что необходимо сделать, чтобы ответить на этот вопрос? (попробовать выполнить все те же построения, провести подобные рассуждения, после чего сделать вывод).

Содержательная часть

- Строим в тетрадях, а я на доске изображение наклонной призмы.  

      A₁                                             B₁

N                 C₁                 

                                  K                 

                                       

     A               ● M        B

                           C

- Что делаем первым шагом? (Выбираем некоторую точку M на боковом ребре СС₁ призмы и строим сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно выбранному ребру).

-Итак, треугольник MNK – сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку M и перпендикулярно ребру СС₁.

 - Как можно вычислить площадь боковой поверхности любой призмы? (площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней).

- Примените эту формулу к данной призме. ().

- Преобразуйте данное выражение. (После преобразования ученики приходят к формуле ).

- Сформулируйте, чему же равна площадь боковой поверхности наклонной призмы? (площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).

- На какой вопрос мы хотели получить ответ? (Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы?).

- Какой вывод отсюда можно сделать? (Формула, для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы, через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро, так же верна и для наклонной призмы).

 - Справедлива ли эта формула для n-угольной призмы? (Да, так как в качестве перпендикулярного сечения будет выступать n-угольник)

 - Мы с вами получили новую формулу нахождения боковой поверхности наклонной призмы и одновременно решили задачу №236. Эту формулу необходимо запомнить, так как она очень часто применяется при решении задач.

На дом ученикам задается задача №238.

Рефлексивно-оценочная часть

         - Прямая призма по отношению к наклонной является частным случаем, а наклонная – относительно прямой призмы? (Общим случаем)

- Как мы получили эту формулу? (Сначала получили эту формулу для прямой призмы, а затем доказали справедливость ее для наклонной)

          - Метод, с помощью которого получили формулу, является методом обобщения.

          - Этот  метод мы ранее использовали при открытии формулы площади треугольника через 2 стороны и угол между ними. Как мы это сделали? (Установили справедливость формулы для прямоугольного треугольника – частного случая, затем обобщили ее на треугольник общего вида).

***

Приведем еще один возможный способ «открытия» формулы площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

2 способ

 Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

- Чему равна  прямой призмы?

  ( = Р*L, L-боковое ребро)

Мотивация

- Нам известна формула для вычисления  наклонной призмы?

  (Нет.)

- Предложите, как можно найти  наклонной призмы?

( наклонной призмы можно вычислить как сумму площадей ее боковых        граней)

- Оцените этот способ для n-угольной призмы.

 (Если дана такая призма, то необходимо знать длины n сторон основания и  n высот боковых граней).

- Как вы строили высоты?

(Из вершин верхнего основания к прямым, содержащим стороны нижнего основания)

                           

                                                                                                               

                                                                           C

                               M    A                                  K

                                                            N     B

- Какой вывод можно сделать из наших рассуждений?

(Этот способ не рационален для n-угольной наклонной призмы)

Постановка УЗ

- Какая задача встает сейчас перед нами?

 (Открыть более рациональный способ вычисления  n-угольной наклонной призмы).

Планирование

- Как можно найти  произвольной призмы? (Сумма площадей боковых граней многогранника).

- Выясним, что проводить высоты в боковых гранях из вершин верхнего основания, к прямым, содержащим стороны нижнего основания. Как еще можно провести высоты в этих боковых гранях. ( Из вершины верхнего или нижнего основания к боковому ребру).

Это учителем демонстрируется на рис.( из любой точки верхнего основания, к прямой, содержащей нижнее основание).

- Сколько элементов необходимо знать в данном случае? (n+1 элемента, в случае n-угольной призмы): общее боковое ребро.

- Какое построение высот рационально используется(2 случай) с боковым ребром.

Содержательная часть

Рассмотрим треугольную призму.

                А₁                                     В₁

                                                        K

 M                      С₁

                                                     N

                            A                                B

                                                          C

Далее учителем проводится конструктивный диктант.

-Постройте высоту в грани С из любой точки. ребра .

(MN)

-Каково взаимное расположение   и MN?

  MN    MN  (по лемме)

 -Постройте из точки   N высоту в грани .

 ( NK)

-Каково взаимное расположение NK и ?

        NK - (по лемме).

  NK

-Соедините M и K. Каково взаимное расположение прямых MK и ?

 MNK( по признаку.)      MK (по определению прямой

  MKMNK                                                   перпендикулярной к плоскости).

-Чем является   MNK для данной призмы?  (Сечением).

-Каким свойством оно обладает?

 ( Сечение перпендикулярно ребрам данной призмы).

-Итак, мы построили сечение призмы, которое перпендикулярно к ребрам призмы. Такое сечение называется перпендикулярным. Сформируйте, определение перпендикулярного сечения призмы?

(Сечение, перпендикулярное ребрам призмы, называется перпендикулярным сечением).

-Попытайтесь найти  наклонной призмы?

(Пусть L-это длина бокового ребра, тогда =L*MN+L*NK+L*MK=L*(MN+NK+MK)=L*, где - периметр перпендикулярного сечения).

-Эта формула получена для треугольной призмы. Докажите ее справедливость для n-угольной призмы.

(=L*,где перпендикулярным сечением будет соответствующий n-угольник).

-Эту формулу необходимо запомнить, т.к. ей будем пользоваться в данной теме и в последующих.

-Сравните формулы для  вычисления  наклонной и прямой призм.

 (Для наклонной призмы = *L, =* L ,т. к. призма прямая , то= )

-Какой вывод можно сделать  об этих формулах ( произвольной призмы  является частным случаем  наклонной призмы).

Рефлексивно-оценочная часть

          -Итак, что нового узнали на уроке. Мы узнали, что такое перпендикулярное сечение, формулу вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

Список используемой литературы

1.                          Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук; Рос. акад. образования,  Издательство «Просвещение»: - 2 – е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 319 с.: ил.

2.                                         Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики /  А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. – М.: Просвещение,1999. –238с.

3.                                         В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению стереометрических задач на доказательство и вычисление). – Горький, 1984.

4.                                         Выпуклые многогранники. – Горький: Изд-во ГПИ им. М.Горького, 1990, 43с.

5.                                         Геометрия, 10 – 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутусов, С.Б.Кадомцев и др. – 10 –е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 206 с.: ил.

6.                                         Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н., Пыжьянова А.Н. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Часть 2. 4 – е изд. – Н.Новгород: НГПУ, 2004, - 101 с.

7.                                         Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике. / Гусев В.А., Литвененко В.И., Мордкович А.Г. – М: Просвещение, 1992.

8.                                         Гусев В.А., и др. Методика обучения геометрии. Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений (В.А.Гусев, и др; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия». – 368с.

9.                                         Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1984, 97с.

10.                                     Пидоу, Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979, 334с.

11.                                     Правильные многогранники. Методические рекомендации. – Н.Новгород: НГПИ им. М.Горького, 1991, 48с.

12.                                     Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии./ Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф./ - М.: Наука, 1989, 288с.

13.                               Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5 – 11 кл./Сост.Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк.- М., 2002.