Урок по теме "Определители"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ  РАЗРАБОТКА  ОТКРЫТОГО УРОКА

по дисциплине «Математика»

на тему: «Определители. Вычисление определителей»

для обучающихся специальности «Технология машиностроения»

Автор: Памурзина., преподаватель математики

                                               ГБПОУ «ПГК»

Самара, 2017 г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА МАТЕМАТИКИ

Памурзиной Маргариты Александровны

на тему: «Определители. Вычисление определителей»

для обучающихся 2 курса

 специальности 15.02.08 Технология машиностроения

Цели урока:

А. Учебные цели (для обучающихся):

1) формировать у обучающихся общие компетенции: ОК-4, 5;

2) формировать у обучающихся профессиональные компетенции: ПК 1.4;

3) познакомиться с характеристиками матрицы: определителем, минором элемента матрицы, алгебраическим дополнением элемента матрицы; научиться вычислять определители квадратных матриц различными способами;

3) развивать навыки использования полученных теоретических знаний на практике; развивать у обучающихся познавательный интерес и любознательность, формировать стремления к активной интеллектуальной деятельности; развитие логического мышления, памяти, внимания;

4) воспитывать математическую культуру, навыки коллективной деятельности, взаимопомощь, доброжелательность, активность.

Б. Методические цели (для преподавателя):

1) формировать у обучающихся общие компетенции: ОК-4, 5;

2) формировать у обучающихся профессиональные компетенции: ПК 1.4;

3) формировать представление о матрице и её характеристиках;

4) организовать самостоятельную работу учащихся;

5) учить сравнивать, обобщать, анализировать ответы товарищей.

Задачи урока:

А. Учебные задачи (для обучающихся):

1) сформировать умение применять формулы, определения;

2) развивать самостоятельность мышления, ответственность за выполненную работу;

3) воспитывать умение работать в команде, чувство ответственности за работу членов команды, за результат деятельности.

Б. Методические задачи (для преподавателя):    

1) применить активные и интерактивные формы и методы обучения студентов для достижения образовательных результатов;

2) развивать умения обучающихся работать как по образцу, так и самостоятельно, используя свойства определителей; делать выводы и обобщения, анализировать;

3) способствовать активному усвоению нового учебного материала студентами;

4) воспитывать интерес к учебной дисциплине «математика»,

5) формировать умение объективно оценивать свои знания (чужой ответ) и умение работать в группе;

5) формировать коммуникативную культуру, самостоятельность, способность войти в группу (коллектив) и внести свой вклад.

Тип урока: закрепление.

Форма проведения урока:  практическая работа.

Образовательные результаты урока, заявленные во ФГОС СПО:

1.   Знания:

1) основные математические методы решения прикладных задач;

2) основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

3) роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности

2.   Умения:

производить операции над матрицами и определителями.

3.   Общие компетенции:

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

 ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

4. Профессиональные компетенции:

     ПК 1.4. Разрабатывать и внедрять управляющие программы обработки деталей.

Средства обучения:

1) мультимедийный проектор – 1 шт.;

2) экран – 1 шт.;

3) доска для написания маркерами – 1 шт.;

4) персональный компьютер – 1 шт.;

5) Интернет ресурсы;

6) методические рекомендации к выполнению практического занятия - по количеству студентов;

7) таблица – задание  - по количеству студентов;

8) схема для вычисления определителей  - по количеству студентов;

9) ручки– по количеству студентов;

Педагогические технологии, используемые на уроке:

- проблемного обучения;

- компьютерного обучения;

- алгоритмизированного обучения;

- дифференцированного обучения;

- развивающего обучения;

- интерактивного обучения;

- модульного обучения;

- работы с опорной литературой  (МУ к ПЗ);

- эвристического обучения.

Методы обучения, реализуемые на уроке:

- объяснение;

- метод иллюстрации;

- метод демонстрации;

- работа с МУ к ПЗ;

- метод микро - упражнений;

- метод самостоятельной работы;

- показ образца;

- метод взаимообучения;

- метод обучающего рецензирования;

- взаимоконтроль;

- метод наблюдения;

- метод анализа конкретных ситуаций;

- метод действия по алгоритму.

Дидактические принципы, реализуемые на уроке: 

- принцип научности;

- принцип систематичности и последовательности;

- принцип связи теории с практикой;

- принцип доступности и посильности в обучении;

- принцип сознательности и активности в обучении;

- принцип прочности усвоения знаний, умений;

- принцип наглядности;

- принцип воспитания;

- принцип индивидуальности;

- принцип субъективности;

- принцип выбора;

-принцип творчества и успеха;

-принцип доверия и поддержки.

Приемы педагогической техники, используемые на уроке:

- вопрос-размышление;

- рассказ-эстафета;

- практичность теории;

- работа в группах;

- работа в парах;

- щадящий спрос;

- логические цепочки, схемы;

- повторение с контролем;

- взаимоконтроль;

- творческое задание.

Подходы к обучению, реализуемые на уроке:

- компетентностный;

- психологический;

- рефлексивный;

- деятельностный;

- личностно-ориентированный;

- коммуникативный.

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Постановка целей и задач урока -2 мин.

3. Актуализация опорных знаний – 10 мин.

4. Изучение нового материала – 23 мин.

5. Закрепление материала – 45 мин.

6. Итоги урока – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин.

ХОД УРОКА

Группа разделена на четыре подгруппы - команды. В каждой имеется капитан, который контролирует выполнение заданий всеми членами команды, оказывает и организует помощь отстающим, в конце практической работы анализирует работу каждого члена своей команды.

1. Организационный момент.

- приветствие,

- проверка посещаемости.

2. Постановка целей и задач урока.

- повторить понятие матрица;

- определение определителя квадратной матрицы первого, второго и третьего порядков;

- вычисление определителей различными методами;

- применение свойств определителей при их вычислении.

3. Актуализация опорных знаний.

Преподаватель. Ребята, на прошлом занятии Вы мне задали вопрос: «Кто придумал понятие «матрица» и где в жизни или профессиональной деятельности нам это понятие пригодится?». Ответить на него я попросила Вашего сокурсника.

Просмотр презентации, созданной студентом.

Преподаватель. Вы убедились, что с понятием матрица мы встречаемся достаточно часто. Кроме того, при решении многих задач применяется метод математического моделирования. Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если в задаче несколько параметров и связей между ними, то математическая модель  представляется системой линейных уравнений.

Существует несколько способов решения систем линейных уравнений, но в основе каждого из них лежат  понятия матрица и ее  основные характеристики: определитель квадратной матрицы, минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение элемента матрицы.   

4. Изучение нового материала.

Итак, Матрицей называется множество чисел, записанное в виде таблицы, где каждому числу (элементу матрицы) соответствует двойной индекс, первая часть которого означает номер строки, в которой расположено это число, а вторая – номер столбца. Эта таблица чисел заключается в круглые скобки.

Ребята, вспомните какая матрица называется квадратной? (Матрица называется квадратной, если количество ее строк равно количеству столбцов)

Например,

А=- матрица А размера 3 на 3. Её элемент, например, (3-я строка и 2-ой столбец).

Матрица размера  - это простое число. Определителем такой матрицы является само это число. Например, , тогда

Пусть  -квадратная матрица 2-го порядка.

Определитель матрицы второго порядка называется число

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример. Вычислить определитель

(Пример решает студент на доске)

Определитель матрицы третьего порядка называется число

Схематично это правило записывается так:

      и говорят, что определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, или по правилу Саррюса.

Пример. Вычислить определитель

( К доске вызываются два студента: неуспевающий и хорошо решающий примеры. Первый решает, второй ему помогает в случае затруднения)

Существует еще один способ вычисления определителей – разложением по строке или столбцу. Познакомимся сначала с характеристиками определителей: минором и алгебраическим дополнением.

Пусть   элемент матрицы определителя, стоящий в ой строке и м столбце

Минором элемента  назовем определитель го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием ой строки и го столбца. Обозначается этот минор

Пример: Вычислить минор элемента  матрицы

Решение:=

         Алгебраическим дополнением элемента  назовем его минор со знаком  Обозначается

Пример: Вычислить алгебраическое дополнение элемента  предыдущей матрицы.

Решение:

Разложение определителя по элементам ряда.

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

 - разложение по элементам первой строки,

 - разложение по элементам второй строки,

или 

  - разложение по элементам первого столбца,

 - разложение по элементам второго столбца,

  - разложение по элементам третьего столбца.

Пример. Вычислить определитель  разложением по элементам 1-го столбца

Решение.

( К доске вызываются два студента: неуспевающий и хорошо решающий примеры. Первый решает, второй ему помогает в случае затруднения)

Замечание: Можно разложить определитель матрицы по элементам любой строки или любого столбца, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, т.к. это поможет избежать лишних вычислений.

Быстро и легко можно вычислить некоторые определители, если знать их свойства. С ними нас познакомит студент вашей группы (презентация, подготовлена студентом)

Свойства определителей:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.

2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.

3. Определитель равен нулю, если имеет нулевую строку.

4. Определитель равен нулю, если имеет две равные строки (столбца):

5. Определитель равен нулю, если какая-либо строка является линейной комбинацией других строк:

6. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит только знак.

8. Определитель, у которого все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0, равен произведению диагональных элементов.

.

5. Закрепление материала.

1) Сегодня, ребята, Вам предстоит выполнить практическое занятие по данной теме. У каждого на столе лежит папка с краткими теоретическими материалами, заданиями, инструкцией по выполнению и образцом выполнения практического занятия (приложение 1).В помощь студентам, у которых вызовет затруднение выполнение задания по вычислению определителей методом Саррюса, дано приложение – расписанная схема методом треугольников (приложение 2).

2) Заполните, пожалуйста, таблицу на определение верности данных утверждений. Затем поменяйтесь вариантами с соседом и оцените правильно ли выполнено задание.

1 вариант

Выполнил:_______________________________________________________

№	Задания	Оценка	Оценка
1	Минором элемента  матрицы является число -3.
2	Алгебраическим дополнением элемента  матрицы является число 3.
3	.
4	При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.
5	- разложение по элементам третьего столбца.
6	Если поменять местами две строки определителя, то он изменит только знак.

Проверил:_________________________________________________________

2 вариант

Выполнил:________________________________________________________

№	Задания	Оценка	Оценка
1	Минором элемента  матрицы  является число 4.
2	Алгебраическим дополнением элемента  матрицы является число -4.
3	.
4	Если поменять местами две строки определителя, то он  не изменится.
5	- разложение по элементам второго столбца.
6	Определитель, у которого все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0, равен произведению диагональных элементов.

Проверил:_________________________________________________________

6. Итоги урока. Капитан каждой команды оценивает работу своих членов.

7. Домашнее задание. Составить синквейн к слову «матрица»

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Методические указания к практическому занятию

__________________________________________________________

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Практическое занятие

Вычисление определителей

Учебная цель: формировать умения вычислять определители 2-го и 3-го порядков различными способами.

Учебные задачи:

1) научиться вычислять определитель 2-го порядка;

2) научиться вычислять определители 3-го порядка;

3) научиться применять свойства при вычислении определителей.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- производить операции над матрицами и определителями;

знать:

- основные понятия и методы линейной алгебры.

Задачи практического занятия

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисления определителей различными способами: по определению, разложением по элементам  i-той строки и i-того столбца.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Задания для практического занятия

Задание 1. а) Вычислите определитель  двумя способами: по определению и разложением по i-той строке.

б) Найдите , если .

Задание 2. а) Вычислите определитель  по правилу Саррюса.

б) Вычислите определитель  разложением по -тому столбцу.

№ варианта
1	2	-4	7	1	1
2	3	-3	1	2	2
3	4	-2	4	1	3
4	5	-1	6	2	1
5	-2	5	3	1	2
6	-3	2	5	2	3

Задание 3. Вычислить определитель:

Вариант №1

а) ;              б) ;                  в) ;

г) ;                д) .

Вариант №2

а) ;               б) ;                в) ;

г) ;                д) .

Вариант №3

а) ;               б) ;                   в) ;

г) ;                д) .

Вариант №4

а) ;                  б) ;                в) ;

г) ;                д) .

Вариант №5

а) ;                           б) ;                       в) ;

г) ;                д) .

Вариант №6

а) ;                      б) ;                      в) ;

г) ;                д) .

Инструкция по выполнению заданий практического занятия

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. В первом задании сначала вычислите определитель второго порядка по определению :).

 Затем этот определитель вычислите методом разложения по элементам i-той строки:

 - разложение по элементам первой строки,

 - разложение по элементам второй строки

 В результате вычислений вы должны получить один и тот же ответ.

6. Во втором задании используйте сначала формулу и   схему

.

Для вычисления определителя разложением по элементам  j-того столбца необходимо воспользоваться формулами:

  - разложение по элементам первого столбца,

 - разложение по элементам второго столбца,

  - разложение по элементам третьего столбца.

 Результаты вычислений должны совпадать.

7. В третьем задании необходимо воспользоваться свойствами определителей.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление определителей.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию).

Образец отчета по практическому занятию

Практическое занятие

Вычисление определителей

Задание 1. Вычислить определитель  по определению и элементам второй строки.

Решение. По определению:

По элементам второй строки:

Вывод: во всех случаях определитель равен 21.

Задание 2. Вычислить определитель  двумя способами:, по правилу Саррюса, разложением по элементам 1-го столбца

Решение.

По правилу Саррюса:

По элементам 1-го столбца:

Вывод: во всех случаях определитель равен -66.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Схема вычисления определителей методом треугольников

__________________________________________________________

Пример: Вычислить определитель

Решение:

=

=

=

=

=

=

=378+(-60)+(-66)-(-84+297+(-60))=108

class=WordSection2>