Урок по теме "Площади четырехугольников"

Методическая разработка учебного занятия

Предмет:  Геометрия

Класс:  8

Тема урока:  "Площади четырехугольников"

Место и роль урока в изучаемой теме:   Данный урок является обобщающим в системе уроков по теме «Площадь», реально отражающий учебный план и оптимально соответствующий программе по учебнику Л. С. Атанасяна.

Тип урока:  Повторительно-обобщающий.

Цель урока:  Обобщение и систематизация знаний учащихся, формирование учебно-исследовательских навыков при решении практических задач  (из "реальной математики") на вычисление площади фигур.

Задачи урока:

Учебные: проверить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения учащихся применять формулы нахождения площадей четырехугольников при решении практических задач; совершенствовать навыки решения задач на вычисление площадей различных многоугольников;

Развивающие: развивать у учащихся самостоятельность и способность к самоорганизации; совершенствовать умения логически и творчески мыслить и выражать свои мысли вслух; формировать навык исследовательской деятельности и повышать уровень математической культуры учащихся.

 Воспитательные: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний ; воспитывать толерантность и умение работать в парах и группе.

Структура урока:

 1. Организационный момент. Сообщение темы урока. Постановка цели урока

     (2 мин.)

 2. Актуализация первичного субъективного опыта обучающихся (теоретический

     тест и самостоятельная работа с взаимопроверкой) (11 мин.)

 3. Решение задач (работа на готовых чертежах, задания  из ГИА-2015) (11 мин.)

 4. Психологическая разгрузка (4 мин)

 5. Решение задач прикладного характера (деловая игра) (13 мин.)

 6. Итог урока (3 мин).

 7. Домашнее задание(1мин).

Ход урока:                                                                                                                  

Блок 1.  Мотивация  (ролевой подход и  деловая игра.)

          Здравствуйте, ребята. Сегодня тема урока "Площадь четырехугольника".                 

Эпиграфом к нашему уроку являются слова известного математика-ученого А.Н. Колмогорова «Знания по геометрии или умение пользоваться формулами необходимы почти каждому мастеру или рабочему». 

          Какова взаимосвязь темы урока с высказыванием ученого? сформулируйте самостоятельно цель урока (ответ учащихся). Да, действительно, мы посвятим урок решению задач на вычисление площадей плоских фигур. Посмотрим практическое применение нашей темы в реальном мире (попробуем себя в роли столяра, поставщика, паркетчика), а также будем работать с заданиями, которые включены в ОГЭ по математике.

Блок 2. Содержательная часть (метод контрольных вопросов)

а) Актуализация первичного субъективного опыта обучающихся  (теоретический тест и самостоятельная работа с взаимопроверкой).

Начнем урок с повторения теоретического материала. Математическая разминка.

Для этого учащиеся отвечают на вопросы теста и заполняют таблицу. Работа проводится фронтально. Необходимо задействовать всех к разговору, к работе. Теоретический тест (листы у каждого ученика на парте, задания взяты с банка открытых заданий - подготовка к ГИА).

                                     Теоретический тест.

1.    Выберите верное утверждение:

a)    Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

b)   Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

c)    Площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.

2.    Закончите фразу: Площадь ромба равна половине произведения…

a)    его сторон.

b)    его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

c)    его диагоналей.

3.    По формуле S = a· h_a можно вычислить площадь:

a)    параллелограмма.

b)    треугольника.

c)    прямоугольника.

4.    Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле…

a)   S = AB: 2 · CD · DH.

b)   S = (AB + BC) : 2 · BH.

c)   S = (AB + CD) : 2 · BH.

5.    Закончите фразу: Площадь прямоугольного треугольника равна:

a)   половине произведения его стороны на какую-либо высоту.

b)   половине произведения его катетов.

c)    произведению его стороны на проведенную к ней высоту.

6.    По формуле S = ½ a ·h_a можно вычислить площадь:

a)    параллелограмма.

b)    квадрата.

c)    треугольника.

7.    Выберите верное утверждение:

a)   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

b)   Площадь прямоугольника равна произведению его противоположных сторон.

c)   Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

1	2	3	4	5	6	7
b	c	a	c	b	c	c

б) Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

   Записать формулы площадей фигур ( у каждого учащегося лист на котором фигуры

   с данными элементами). После взаимопроверки учащиеся сдают листы. Критерии

   оценок: нет ошибок - «5»,  1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», более 2 ошибок - «2».

   Если допущены ошибки, то на них остановиться, исправить, еще раз повторить формулы.

   (Приложение 1.)

в) Решение задач по теме (Прием усложняющихся задач)

1. В пря­мо­уголь­ни­ке одна сто­ро­на равна 96, а диа­го­наль равна 100. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

2)

 Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

3. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

4. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна , а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

5. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба (задача с лишними данными).

6. Как найти же найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? (учащихся высказывают свои предложения по решению, самостоятельно делают вывод: разобьём эту фигуру на части - фигуры, площади которых, мы уже умеем находить)

Блок 3. Психологическая разгрузка.

          а)"Историческая справка" 

В каком году впервые упоминается о правилах измерения площадей? (сообщение предварительно подготовила ученица класса).

Первой из сохранившихся рукописей, в которых излагаются правила измерения площадей, была «Книга сошного письма», самый древний экземпляр, который относится к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. В этой книге имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». В ней, к сожалению, содержится много ошибочного материала в способах измерения площадей. Возможно, они появились в результате искажений во время переписывания от руки. Приходится признать, что уровень знаний был невысоким, хотя не хочется считать россиян шестнадцатого и семнадцатого столетий менее грамотными, чем древние египтяне. Тем более ярким подтверждением тому служат исключительные по красоте архитектурные памятники того времени, такие, как собор Василия Блаженного, построенный в 1553-1560 г.г. при Иване Грозном русскими «мастерами каменных дел Постником, Яковлевым и Бармой  [5].           

б)Физкультминутка.    

Урок  довольно сложен, отдых нам сейчас положен, Руки тянем выше, выше, Спинку держим, ровно дышим. Два наклона, поворот вправо и наоборот.

Мы минутку отдохнем и квадрат числа найдем.

Блок 4. "За страницами учебника".                                                                                                  А знаете ли вы как определить площадь сложной фигуры, если она нарисована на клетчатой бумаге, и не вырождена - площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  - количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13. Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным цветом, и вычтем площади цветных треугольников:

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13. Нравится ли вам этот способ нахождения площади фигуры? Определите (с вашей точки зрения) плюсы и минусы этого способа (ребята высказывают свое мнение) [6].                                                                         

Блок 4. "Мозговой штурм" (Деловая игра «Строитель»)

Цель игры: закрепить знания, умения и навыки при решении практических (нестандартных) задач с использованием формул площадей параллелограмма, трапеции, треугольника.

Основная идея игры состоит в том, чтобы создать производ­ственную ситуацию, в которой учащиеся, поставив себя на место человека той или иной специальности, смогут увидеть и оценить значение математических знаний в производительном труде, само­стоятельно овладеть необходимым теоретическим материалом и при­менить полученные знания на практике [7].

        Строительное производство сегодня – это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Работает на различных станках (круглопильных, фуговальных, шипорезных и т.д.) Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения.

       Сейчас, ребята, вы будете выступать в роли строителей. Требуется произвести настилку паркетного пола в игровом зале строящегося детского сада.

Размер пола 5,75 * 8 м. Паркетные плитки имеют форму прямоугольных треугольников, параллелограммов, равнобедренных трапеций. Размеры плиток даны в сантиметрах.

Правила игры.

Класс делится на три группы (бригады).

Первая – столяры. (Вам нужно изготовить плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола не осталось лишних плиток и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограммов и трапеций – одинаковое количество.)

Вторая – поставщики. (Вам нужно доставит необходимое количество плиток на строительную площадку. Значит, вам также нужно просчитать.)

Третья – паркетчики. (Чтобы проконтролировать доставку, надо наперед знать, сколько и каких паркетных плиток понадобится для покрытия пола.)

Паркет укладывается в ряды так, что параллелограммы и трапеции чередуются, а треугольников в одном ряду всего два.

Решение.

Подсчеты показывают, что в одном ряду по ширине укладываются по два треугольника и по восемь параллелограммов и трапеций.

1. Найдем площадь полоски шириной 20см и длиной 575см

   S = 20 · 575 = 11 500см².

2. Найдем площадь одного треугольника

   S = ½ · 15 · 20 = 150см².

3. Найдем площадь одного параллелограмма

   S =35 · 20 = 700см².

4. Найдем площадь одной трапеции

   S = ½ · (50 + 20) · 20 = 700см².

5. Найдем. Сколько в эту полоску вмещается параллелограммов и трапеций:

   (11 500 – 2 · 150) : 700 = 16 . В полоску вмещается 8 параллелограммов и 8 трапеций.

6. Найдем, сколько таких полос в длине комнаты: 800: 20 = 40.

7. Найдем, сколько параллелограммов и трапеций в 40 полосках, т.е. во всей площади пола. Для этого 40 · 2 = 80.

Проверка:

1. Площадь всего пола:

    S = 800 · 575 = 460 000см².

2. Воспользуемся свойством площадей      

320 · 700 + 320 · 700 + 80 · 150 = 224 000 + 224 000+ 12 000 = 460 000см²

Задание данного уровня позволяют активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивать логику и мышление, воспитывать интерес к предмету, учит анализировать, обобщать и рассуждать, а также способствует развитию творческих способностей. Используются принцип содружества, .коммуникативности.

5. Блок 5. Резюме

Вот и подошел к концу наш урок. Давайте подведем итоги. Мы повторили – …. Мы умеем – …Мы узнали новое - ....Сделаем выводы – ….Как высчитаете, актуальны ли в наше время слова Андрея Николаевича Колмогорова: «Знания по геометрии или умение пользоваться формулами необходимы почти каждому мастеру

или рабочему»? (заслушиваются ответы учащихся).

   6.  Дифференцированное домашнее задание :

   1) Повторить вопросы 1-10 (с.129-130), № 485,  № 493

   2) Дополнительно:   Подсчитать какая сумма денег необходима для ремонта вашей комнаты (положить линолеум, поклеить обои). Данные для расчетов взять в магазине, Интернете, спросить у родителей и т.д.

Ссылки на источники

1. Утёмов В. В., Зиновкина М. М. Структура креативного урока по развитию творческой личности учащихся в педагогической системе НФТМ-ТРИЗ // Концепт. - 2013. - Современные научные исследования. Выпуск 1. - ART 53572. - URL: http://e-koncept.ru/2013/53572.htm. - Гос. рег. Эл No ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.(07/05/15)

2.http://krasnoyarsk.dk.ru/firms/98655954/event/trening-razvitiya-tvorchestva-i-kreativnosti-novyj-vzglyad-1033560                                                                       

3. Зиновкина М. М. Многоуровневое непрерывное креативное образование в школе // Концепт. – 2012. – № 9 (сентябрь). – ART 12116. – 1,0 п. л. – URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/12116.htm. – Гос. рег. Эл № ФС 77- 49965. – ISSN 2304-120X.(08/05/15)

[4]. https://open-lesson.net/1556/. 

5. http://www.bestreferat.ru/referat-253009.html

6. http://easy-physic.ru/ploshhadi-figur-po-formule-pika/

7. http://www.moeobrazovanie.ru/urok_delovaja_igra_stroitel.html

Приложение1.

 

После выполнения работы ученики выполняют взаимопроверку. Критерий оценок.

(0 ошибок - «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3»).

Если допущены ошибки, то на них остановиться, исправить, еще раз обговорить