Урок по теме Площади фигур

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г. Изобильного Ставропольского края

Геометрия

9 класс

Урок-обобщение

по теме  «Площади фигур»

Учитель математики

Щербакова Н.М.

Урок-обобщение

по теме  «Площади фигур»

« Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение»

                                                                                                                (В. Произволов)

Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные геометрические фигуры.

                                                                                                              Г.Галилей.

Все в природе подлежит измерению, все может быть сочтено.

                                                                                                              Н.И.Лобачевский.

Величие человека – в его способности мыслить.

                                                                                                               Б.Паскаль.

Цель: способствовать

- обобщению, систематизации и расширению знаний о площадях фигур на    плоскости;

- повторению и закреплению формул посредством решения задач;

- развитию познавательного интереса, воображения, самостоятельности и

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока:

1.Актуализация знаний учащихся:

а) Слабые учащиеся работают с таблицами «Найти соответствие»  Приложение 1  (1-3    2-7   3-2  

4-5    5-8    6-1    7-4  )

б) Два ученика работают над заданием «Найди соответствие между многоугольником и  соответствующей формулой площади фигуры» у доски;

в) Фронтальная работа с учащимися по вопросам теории.

Проверка работы на доске.

Некоторые формулы оказались без соответствующей фигуры. Как вы думаете, к каким фигурам их можно отнести? Почему? Кто может это доказать?  (Провести доказательство на доске).

Вопросы  к классу:

1.     Равны ли диагонали прямоугольника?

2.     Верно ли, что в параллелограмме сумма противоположных углов 180 ?

3.     Формула площади прямоугольника.

4.     В каком ромбе сторона равна его высоте?

5.     Сколько вершин у четырехугольника?

6.     Верно ли, что прямоугольник – это параллелограмм, это у которого один угол прямой?

7.     Формула площади ромба.

8.     Какая трапеция называется равнобедренной?

9.     Существует ли параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны?

10. Сколько диагоналей можно провести в треугольнике?

11. Можно ли утверждать, что если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то это параллелограмм?

12. Сколько пар равных сторон у прямоугольника?

13. Может ли квадрат иметь диагонали разной длины?

14. Верно ли, что площадь квадрата равна произведению его противоположных сторон?

15. Можно ли, зная длины смежных сторон  параллелограмм, найти его площадь?

16. Могут ли фигуры быть равны и равновелики одновременно?

17. Сколько высот разной длины можно провести в параллелограмме?

18. Что можно сказать о треугольнике, в котором квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других?

2. Выполнение теоретического теста

(Самопроверка, выставление оценок) Приложение 2

1 вариант     а 3, б 3,в 1,г 1,д 3

2 вариант     а 2,б 3,в 1,г 2,д 3

 3. Устная работа по готовым чертежам. Найти площади данных фигур.

4. Решение задач ГИА. Самостоятельная работа по вариантам. Приложение 3

Ответы:

Вариант 1

1	2	3	4	5
2	3	2	3	2

Вариант 2

Ответы:

1	2	3	4	5
1	2	3	1	4

5.Физминутка.

Давайте вместе построим дом. Фундамент имеет форму прямоугольника. Стены - ?  Крыша-?

Окна- ? Двери -?  Нарисуйте руками то, что вы сейчас назвали.

6. Экскурсия в прошлое.

Вычисление площадей в древности.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 – 5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. 5000 тыс. лет назад древние египтяне умели определять площади. Узкая полоса земли между Нилом и пустыней была плодородна. С каждой единицы ее площади люди платили налог. Но ежегодно эта полоска затоплялась Нилом. После спада воды надо было восстанавливать границы. Необходимость быстро и правильно определять площадь была одной из причин раннего развития геометрии как науки об измерении земли.

7.Выполнение практической части урока.

Учитель: сегодняшний урок мы посвящаем решению задач на вычисление площадей плоских фигур. Но задачи, которые мы будем решать дальше отличаются от ранее рассмотренных, так как они встречаются в окружающей нас действительности,  решать их нас «заставляет» сама жизнь. Они встречаются в различных областях человеческой деятельности, их решают люди различных профессий. На уроке мы увидим, что знания геометрии необходимы современному человеку, без геометрических знаний не может обойтись ни архитектор, ни дизайнер, ни художник, ни строитель. Формулы площадей плоских фигур нам приходится повторять на протяжении всей жизни.

Вопрос класс :

Назовите профессии, связанные с понятием площади, измерениями площадей.

Познакомимся поближе с некоторыми  специальностями. Каждый уважающий себя человек должен уметь выполнять простейшие вычисления. Особенно, если мы говорим  о ремонте дома, квартиры. Приблизительную стоимость  затрат на ремонт я предлагаю сегодня рассчитать на уроке.

Работа в группах.

Группа 1. Паркетчики.  Набор паркетных плиток:  равнобедренная трапеция, параллелограмм, прямоугольный треугольник. Размеры даны  на моделях. Рассчитать, какое количество плиток необходимо для комнаты, размеры которой 575 см х 800 см.

Решение.      S_треуг.=150 см²,  S_пар..=700 см²,  S_трапг.=700 см²,  800см : 20см=40 полос,

20см х 575см=1500 см²,  (1500-300):700 =16,  8 параллелограммов и 8 трапеций, 2 треугольника в одной полосе. Т.к. полос 40, то требуется 320 параллелограммов и 320 трапеций, 80 треугольников.

Группа 2.   Украсим окна витражами. Самый простой оконный или дверной витраж – это стеклянная цветная мозаика.  Ваша задача рассчитать, сколько какого стекла необходимо для оконного витража.

Группа 3. Вам предстоит заменить крышу дома. Рассчитайте, какое количество материала необходимо для ремонта.

Группа 4. Вам предстоит самая интересная работа. Искусство мерить шагами. Знание длины своего шага позволяет выполнить ряд интересных геометрических упражнений. Во-первых, вы всегда можете развлечь своих друзей, вызвав их на спор, если имеете хороший глазомер. Например, сколько шагов до дерева, ближайшего столба. Задание: рассчитать, сколько нужно линолеума, для  покрытия коридора второго этажа восточной пристройки, используя только длину своего шага. Вынести результаты на доску.

Подведение итогов в группах. Один ученик сообщает результаты работы.

Итог урока. РЕФЛЕКСИЯ

С учащимися обсуждаются  следующие вопросы:

·        какие измерения  вызвали наибольшее затруднение,

·        трудно ли работать в команде,

·        какие задания понравились больше всего,

·        стоит ли проводить подобные уроки в будущем.

 Домашнее задание  «СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ  -  ОДИН ОТРЕЖЬ»   

                                           ЗАДАНИЯ:

1.     Разрезать трапецию по одной линии так, чтобы из получившихся частей можно было составить треугольник.

2.     Треугольник разрезать на 2 треугольника так, чтобы площадь одного из них была вдвое больше площади другого.

3.     Разрезать параллелограмм на 3 треугольника так, чтобы площадь одного из них была равна сумме площадей двух других.

4.     Разрезать параллелограмм по одной линии так, чтобы из получившихся частей можно было составить прямоугольник.

Творческое домашнее задание

«Поскольку по определению плоская фигура называется простой, если она разбивается на конечное число треугольников, то не лучше ли площадь каждой фигуры получить через площадь треугольника?». Предложение: «Измените изложение темы «Площади фигур», приняв за основу формулу площади треугольника». Результаты творческой работы учащихся представьте на следующем  уроке.

Домашнее задание  «СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ  -  ОДИН ОТРЕЖЬ»   

                                           ЗАДАНИЯ:

1.     Разрезать трапецию по одной линии так, чтобы из получившихся частей можно было составить треугольник.

2.     Треугольник разрезать на 2 треугольника так, чтобы площадь одного из них была вдвое больше площади другого.

3.     Разрезать параллелограмм на 3 треугольника так, чтобы площадь одного из них была равна сумме площадей двух других.

4.     Разрезать параллелограмм по одной линии так, чтобы из получившихся частей можно было составить прямоугольник.

Творческое домашнее задание

«Поскольку по определению плоская фигура называется простой, если она разбивается на конечное число треугольников, то не лучше ли площадь каждой фигуры получить через площадь треугольника?». Предложение: «Измените изложение темы «Площади фигур», приняв за основу формулу площади треугольника». Результаты творческой работы учащихся представьте на следующем  уроке.

Приложение 1

Задание: составить соответствие  и заполнить таблицу

Фигуры	Составьте соответствие	Формулы для вычисления площади	Плоские фигуры Составьте соответствие
Квадрат Прямоугольник Параллелограмм Трапеция Прямоугольный треугольник Произвольный треугольник Ромб		1.       2.       S = ah 3.       S = a² 4.       5.       6.       7.       S=ab 8.

Приложение 2

Тест по теме «Площади».

Вариант 1.

Выбери верные утверждения:

а) Площадь параллелограмма равна:

1) произведению его сторон;

2) произведению его высот;

3) произведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

б) Площадь квадрата со стороной 3 см равна:

1) 6 см²;

2) 8 см;

3) 9 см².

в) Закончите предложение: “Площадь ромба равна…

1) произведению его сторон;

2) половине произведения его диагоналей;

3) произведению его стороны и высоты.

г) По формуле S=  можно вычислить:

1) площадь треугольника;

2) площадь прямоугольника;

3) площадь параллелограмма.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД и высотой ВО вычисляется по формуле:

1) S=CDBO   

2) S=   

 3) S=

Вариант 2.

Выберите верные утверждения:

а) Площадь квадрата равна:

1) произведению его сторон;

2) квадрату его стороны;

3) произведению его сторон на высоту.

б) Площадь параллелограмма равна:

1) произведению его смежных сторон;

2) произведению его высоты на сторону;

3) произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию.

в) По формуле S=   можно вычислить площадь:

1) ромба;

2) треугольника;

3) параллелограмма.

г) Площадь треугольника равна половине произведения:

1) оснований;

2) основания на высоту, проведенную к данному основанию;

3) его высот.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями ВС и АД и высотой ВН равна

1) S=     

2) S=     

   3) S=

Учащиеся ставят знак + в выбранном ответе. По таблице ответов проводят взаимоконтроль в парах.

Приложение 3

 Самостоятельная работа по вариантам

Вариант 1

1. Площадь прямоугольника 20см ², одна из сторон – 5см. Найти другую сторону.

         1) 15см                2) 4см                  3) 5см                  4) 100см

2. В параллелограмме одна из сторон 7см, высота, опущенная на нее 3см. Найти площадь.

         1) 21см                2) 10см²               3) 21см²               4) 10,5см²

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 10см,  равна 6см. Найти площадь.

         1) 60см²               2) 30см²               3) 16см²               4) 8см²

4. Радиус круга 3дм. Найти площадь.

         1) 3π дм²              2) 9 дм²                3) 9π дм²              4) 9π² дм²

5. Площадь квадрата 4 м². Найти периметр квадрата.

         1) 1 м          2) 8 м          3) 2 м          4) 16 м

Вариант 2

1. Площадь прямоугольника 40см ², одна из сторон – 10см. Найти другую сторону.

         1) 4см                  2) 2см                  3) 30см                4) 200см

2. В параллелограмме одна из сторон 8см, высота, опущенная на нее 5см. Найти площадь.

         1) 13см                2) 40см²               3) 40см                4) 26см²

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 9см, равна 4см. Найти площадь.

         1) 35см²               2) 13см²               3) 18см²               4) 72см²

4. Радиус круга 4дм. Найти площадь.

         1) 16π дм²            2) 4π дм²              3) 16π² дм²           4) 16 дм²

5. Площадь квадрата 16 м². Найти периметр квадрата.

         1) 4 м          2) 64 м                 3) 8 м          4) 16 м

Отметка: «5» - нет ошибок, «4» - 1 ошибка, «3» - 2 ошибки, более двух неверных ответов – выучи формулу, упражняйся в устном счете.

Приложение 5

Решение задач из ГИА

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 120⁰.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

№3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна √13, а высота равна 2.

Ответы к задачам ГИА

№1.

Решение:  S = ab sinα,        2^. √3 ^. 5 ^. √3/2 = 15,     Ответ: 15.

№2

.Решение:  S = ½ ab,      b = 2S/a,      b = 2 ^. 96/16 = 12,      с = √256 + 144 = 20       Ответ: 20.

№3.

Решение:  S_трап. = S_прям.  = ab,      a = √13 – 4 = 3,     S_трап. = 3 ^. 2 = 6,       Ответ: 6.

Исторические сведения. Древний мир и площади фигур.

1)     Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 – 5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. 5000 тыс. лет назад древние египтяне умели определять площади. Узкая полоса земли между Нилом и пустыней была плодородна. С каждой единицы ее площади люди платили налог. Но ежегодно эта полоска затоплялась Нилом. После спада воды надо было восстанавливать границы. Необходимость быстро и правильно определять площадь была одной из причин раннего развития геометрии как науки об измерении земли.

2)     Измерение площадей в древней Греции.

Евклид – древнегреческий ученый, живший в III веке до нашей эры. В своих «Началах» Евклид не употребляет слово «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. При этом Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади.

      3) Архимед – древнегреческий ученый, математик и механик. Развил метод нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Архимед вычислил площади эллипса, сегмента, а так же различных тел вращения. Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны (которую мы называем формулой Герона). В своем произведении «Об измерении круга», Архимед на основе строгих теоретических рассуждений вычислил отношение длины окружности к своему диаметру и нашел приближенное значение числа π, которое называется числом Архимеда.

     4)  Одним из поздних греческих математиков был Герон Александрийский. О жизни Герона дошли лишь обрывочные сведения. Известно, что он был выдающимся ученым-механиком. Он много внимания уделял практическому применению геометрии. Одна из книг Герона «Геометрика» является сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников, треугольников, круга, а также сегмента и сектора круга. В своем наиболее важном произведении «Метрика» Герон излагает доказательство формулы для площади треугольника, которую мы называем формулой Герона. Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.

6) Решение тестовых заданий

Вариант 1

1. Площадь прямоугольника 20см ², одна из сторон – 5см. Найти другую сторону.

            1) 15см                     2) 4см                       3) 5см                       4) 100см

2. В параллелограмме одна из сторон 7см, высота, опущенная на нее 3см. Найти площадь.

            1) 21см                     2) 10см²                   3) 21см²                   4) 10,5см²

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 10см,  равна 6см. Найти площадь.

            1) 60см²                   2) 30см²                   3) 16см²                   4) 8см²

4. Радиус круга 3дм. Найти площадь.

            1) 3π дм²                 2) 9 дм²                    3) 9π дм²                 4) 9π² дм²

5. Площадь квадрата 4 м². Найти периметр квадрата.

            1) 1 м            2) 8 м            3) 2 м            4) 16 м

Ответы:

1	2	3	4	5

6) Решение тестовых заданий

Вариант 2

1. Площадь прямоугольника 40см ², одна из сторон – 10см. Найти другую сторону.

            1) 4см                       2) 2см                       3) 30см                     4) 200см

2. В параллелограмме одна из сторон 8см, высота, опущенная на нее 5см. Найти площадь.

            1) 13см                     2) 40см²                   3) 40см                     4) 26см²

3. В треугольнике высота, опущенная к стороне с длиной 9см, равна 4см. Найти площадь.

            1) 35см²                   2) 13см²                   3) 18см²                   4) 72см²

4. Радиус круга 4дм. Найти площадь.

            1) 16π дм²               2) 4π дм²                 3) 16π² дм²             4) 16 дм²

5. Площадь квадрата 16 м. Найти периметр квадрата.

            1) 4 м            2) 64 м                      3) 8 м            4) 16 м

Ответы:

1	2	3	4	5

5) Решение задач из ГИА

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 120⁰.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

№3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна √13, а высота равна 2.

5) Решение задач из ГИА

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 120⁰.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

№3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна √13, а высота равна 2.

5) Решение задач из ГИА

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 120⁰.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

№3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна √13, а высота равна 2.

5) Решение задач из ГИА

№1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 2√3 и 5, а один из углов равен 120⁰.

№2. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, а один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу данного треугольника.

№3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна √13, а высота равна 2.