Урок по теме "Решение логарифмических уравнений"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Бутовская средняя общеобразовательная школа № 1»

Открытый урок

Тема: Решение логарифмических уравнений

                            Урок обобщающего повторения (90 мин.)

2015 год

Дата проведения занятия: 21 января 2015г.

Место проведения: МБОУ «Бутовская СОШ № 1»

Участники образовательного процесса: учитель математики Овчинникова И.М., учащиеся 11 класса

Продолжительность: 2 урока

Цели урока:

• образовательная: сформировать знания о разных способах решения логарифмических уравнений, умение применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
• развивающая: развивать умение наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формировать навыки взаимоконтроля и самоконтроля;
• воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, внимательное восприятия материала, аккуратность ведения записей.

Тип урока:  овладение новыми знаниями и умениями

Оборудование: конспект занятия, мультимедиа проектор, слайды.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Организационный момент. Постановка цели урока(5 мин.)

       Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему занятия: «Методы решения логарифмических уравнений» Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Подготовка к восприятию нового материала (повторение и обобщение основных понятий и свойств логарифма, логарифмической функции и вычисления логарифма). (10 мин.)

Отрабатываются умения устно вычислять, читать график,  применять свойства, определение. Решение примеров из демонстрационных вариантов ЕГЭ.

Задание 1. Сформулируйте определение логарифма. Вспомните основное логарифмическое тождество. Вычислите и обоснуйте ответ:

Задание 2. Решите примеры, основываясь на свойства логарифмов. При ответе проговорите эти свойства.

Задание 3. Найдите области определения функций:

Задание 4. Перечислите свойства функций по заданным графикам.

На одном из рисунков изображен график функции у=log₂х. Укажите номер этого рисунка.

Задание 5. Найдите область определения функции у= log₂(5– 3x)?

III. Актуализация опорных знаний (10 мин.)

Работайте в парах. Продолжим подготовку  к восприятию нового материала. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать.

(Демонстрируется слайды с заданиями для устной работы).

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а)

б) 

в)

д)

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и  

б)  и

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

 

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

4 =

- 2 =

0,5 =

1 =

5) Вычислите:

IV. Ознакомление с новым материалом (25 мин.)

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log ax = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что аb является таким решением.

Рассмотрим  методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида .

 

 Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

Решение. , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим пример 2:

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение 1. ОДЗ:

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе:

Уравнение

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение  равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

Решение 3. . Сделаем проверку: неверно, так как не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

Вопрос: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим пример: .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение. ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

; .

Ответ: 27;

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение:.

Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

. Применим свойство логарифма степени:

(lg x + 3) lg x =

(lg x + 3) lg x = 4

Пусть lg x = y, тогда (у + 3)у = 4

, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lg x = -4,; lg x = 1, .

Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

Решите уравнение:

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

 или ;.

Ответ: 9.

6. Функционально-графический метод.

 Решить графически уравнение: = 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).

Посмотрите ваше решение на слайде.

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

Ответ: 2

V. Первичное закрепление (15 мин.)

Демонстрируется высказывание:

«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен

Предложите метод решения уравнений:

1) № 509(в).       

2) № 514 (в).

3) № 519 (в).

4) № 520 (в).

5) № 522 (а).

6) № 523(а).

VI. Проверка усвоения первичных знаний (20 мин.)

Самостоятельная  работа № 520 (а), 509 (б), 523 (в) с последующей проверкой.

VII. Домашнее задание (2 мин.)

П. 39 № 514 (б, г), № 520 (г).

VIII. Подведение итогов занятия ( 3 мин.)

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Выставление оценок.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2012.
2. Сборник задач и контрольных работ по алгебре и началам анализа 11 класс, А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский и др., 2009г.
3. Демонстрационные варианты ЕГЭ – 2013,2014.