Урок "Решение тригонометрических уравнений методом оценки"

МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»

Бийского района Алтайского края

Конкурс «Методическая шкатулка учителя математики»

Номинация: Конспект урока

«Решение тригонометрических уравнений методом оценки»

Автор:

Деменева Алена Васильевна

учитель математики

МБОУ «Первомайская сош»

Бийского района Алтайского края

Контакты: [e-mail]

demenevaav.ucoz.ru

Математика

10 класс

с. Первомайское, 2014г

Пояснительная записка

Урок проводится в 10 классе одним из последних в блоке «Множество значений тригонометрических функций». В традиционных учебных пособиях данной теме практически не уделено внимание, но практика ЕГЭ показывает ежегодное использование темы в рамках тестовых заданий. В уроке использованы практические задания из сборников подготовки к ЕГЭ и авторские наработки.

Урок предшевствующий представленному необходимо посвятить обобщению по теме «Значения функций». Домашнее задание учащимся с предыдущего урока приведено в конспекте и в приложении 2 с готовыми ответами. Изучение материала идет с опорой на предыдущий урок и домашнее задание, поэтому актуализация знаний идет через проверку подготовки к уроку и включает тестовую самостоятельную работу со взаимопроверкой. Открытие нового знания проводится в технологии проблемно-диалогического обучения (автор Е. Л. Мельникова). Конспект урока составлен с учетом этапов соответствующих указанной технологии.

Для организации работы учащихся используется фронтальные, индивидуальные и групповые методы работы. Для представления материала использованы традиционные и компьютерные средства. Использование компьютерных средств: программа графопостроитель и презентации, позволяет:

• Существенно оптимизировать урок за счет уменьшения времени на записи (опорный конспект учащиеся не записывают. А получают после его составления в печатном виде) и построения графиков (используется программа графопостроитель), а также на организацию проверки домашнего задания (самопроверка по представленному образцу)

• Продуктивно развивать технические навыки учащихся по работе с тестами (диктант на уроке с автоматическим лимитом времени, домашний тест с инструкцией по записи ответов), что способствует психологической подготовки учащихся к ЕГЭ.

• Вводить новую информацию поэтапно в сжатом, эстетически оформленном виде, что способствует непринужденному освоению материала

• Своевременно представлять задания учащимся с учетом различий в скорости выполнения заданий (дифференциация обучения)

В уроке также задействованы традиционные средства обучения:

• Магнитная доска для размещения справочного материала, необходимого в течение всего урока, а следовательно его нецелесообразно вводить в электронный плакат

• Ученическая доска для записей изучаемых вопросов, т. к. вопросы во-первых формулируются учащимися и не могут быть стопроцентно предугаданы учителем, во-вторых «их присутствие» необходимо в течение всего урока. Доска используется для записи решений и служит средством самоконтроля на эткпе овладения навыками поиска корней уравнениq

Конспект урока

Комбинированный

Цель урока:

Создать условия для расширения знаний учащихся о методах решения уравнений

Задачи урока:

1. Формировать практические умения в решении уравнений, совершенствовать навыки оценки значений выражений

2. Развивать умения выделять смысловые опорные пункты, анализировать, обобщать и делать выводы, строить формулировки

3. Формировать активность, самостоятельность, самоконтроль, взаимопомощь, творческий подход к решению поставленных задач

Дидактические средства:

1. Конструктор «Множество значений функции» (приложение 1)

2. Презентация для актуализации (приложение 2)

3. Опорный плакат (приложение 3)

4. Файл для домашней работы (приложение 4)

Программное обеспечение:

1. Программа-графопостроитель Advanced Grapher

2. Пакет Microsoft Office

Оборудование:

компьютер, проектор, магнитная доска, закрытые доски

Характеристика дидактических материалов

1. Конструктор «Множество значений функций» состоит из разрезных карт, содержащих записи функций в общем виде и формульные записи для определения множества значений перечисленных функций. Для работы используются карточки и магнитная доска. На доске помещается карточка-функция, учащиеся напротив каждой функции размещают соответствующую карточку-множество значений. По ходу работы формируется справочная таблица, которая используется в течение урока.

2. Презентация для актуализации знаний состоит из двух слайдов: образец для самопроверки домашнего задания к уроку и задания для проведения теста. Тестовый слайд настроен в автоматическим режиме появления заданий, после выполнения для организации взаимопроверки щелчками выводятся на экран ответы к каждому заданию и бальная оценка заданий

3. Опорный плакат для фиксации основных теоретических выводов, изучаемых в ходе урока. Плакат содержит задания, предлагаемые учащимся для решения, по щелчку на плакат вносятся теоремы и выводы, полученные учащимися в ходе урока. Данный плакат предварительно распечатывается на каждого учащегося и выдается детям, после его полного появления на экране.

4. Файл для домашней работы. Электронный тест, содержащий задания и инструкции по записи ответов. В тесте предусмотрена возможность самоконтроля при верном выборе методов решения уравнений. Тест закрыт паролем, что исключает возможность поиска правильного ответов внутри файла

Предметные умения:

Отрабатывать навыки оценки значений выражений

Учиться практическому использованию метода оценки для решения тригонометрических уравнений

Организационные умения:

Определять и формулировать цели деятельности
Составлять план по решению проблемы
Действовать согласно намеченному плану
Соотносить результат своей деятельности с поставленной целью
Организовывать самостоятельную деятельность по выбору способов решения задач

Интеллектуальные умения:

Ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания
Выдвигать гипотезы решения проблемы

Коммуникативные умения:

Отрабатывать приемы монологической и диалогической речи

Оценочные умения:

Сравнивать самостоятельно полученные результаты с предъявленным образцом

Обязательный минимум содержания:

Понятия, правила, закономерности:

Теорема (оценка частей уравнения) и ее следствия, алгоритм использования метода оценки для решения уравнений

Характеристики уравнений, решаемых методом оценки

Предметные умения:

Оценивать значения выражений

Строить графические модели уравнений

Решать тригонометрические уравнение методом оценки

Практические задания:

Домашнее задание к уроку:

Оцените значения выражений:

Математический диктант:

Найдите множество значений функции y = sin x – 7

1. (-; +); 2) ; 3) ; 4)

2. Укажите наименьшее целое значение функции

1. 0; 2) -21; 3) 1; 4) -22

3. Найдите множество значений функции

1. ); 2) (0; +); 3) (0; 4); 4) (4; + )

4. Найдите наименьшее значение функции

5. Сколько натуральных чисел содержит множество значений функции

Задания для изучения нового материала:

Домашнее задание по итогам урока:

Определить оптимальные методы решения уравнений и решить их:

Подготовить мышление учащихся к восприятию нового для них метода, проверить уровень сформированности навыка определения множества значений функции

12 минут

Действия учителя (содержание диалога)

Ученики (ожидаемые действия)

Средства обучения

На прошлом уроке мы с вами рассматривали вопросы, связанные с множеством значений функции и оцениванием границ выражений. Сегодня мы продолжим работу над этой темой. И чтобы уверенно двигаться дальше, проверим, насколько успешно вы справились с домашним заданием, рассмотрим возникшие вопросы.

На доске вы видите некоторые функции, записанные в общем виде, оцените, пожалуйста, их значения.

Откройте тетради и проверьте, правильно ли вы выполнили домашнюю работу

Теперь, когда все вопросы разрешены, поработаем самостоятельно: выполним тест на определение значений выражений. Я предложу вам, последователь друг за другом 5 заданий, задания будут написаны на экране и каждое следующее появится через 30-50 секунд после предыдущего. В первых трех необходимо выбрать номер правильного ответа и записать его, в двух последних записать числовой ответ. Ответы запишите в тетрадь, как последовательность чисел, разделяя их запятыми, если не определились с ответом, ставьте 0.

(Предложить учащимся повторить задание, чтобы убедиться, что не возникло непонимания в технологии его выполнения)

В ходе фронтального опроса учащиеся собирают справочную таблицу

Выполняют самопроверку по готовому образцу, уточняют возникшие вопросы

Выполняют задание на заранее приготовленных листочках, согласно инструкции. Проводят взаимопроверку по представленному учителем образцу, выясняют возникшие затруднения, сдают работы

Конструктор «Множество значений функции»

Презентация (приложение 1) слайд 1

Презентация (приложение 1) слайд 2

Задания добавляются автоматически, вывод ответов для самопроверки по щелчку

УУД:

Предметные: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация; использование знаково-символических средств; подведение под понятие;

Регулятивные: фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии;

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью; разрешение конфликтов

Личностные: следование в поведении моральным нормам и этическим требованиям; самоконтроль

Изучение нового материала

Цель:

Учить определять затруднения и выстраивать проект их преодоления, развивать умения анализировать, обобщать и делать логически сформулированные выводы

10 минут

Действия учителя (содержание диалога)

Ученики (ожидаемые действия)

Средства обучения

Создание проблемной ситуации

Сегодня мы с вами продолжим знакомиться с методами решения уравнений. Я вам предлагаю решить следующее уравнение . Какой метод решения вы можете предложить

Хорошо, решим это уравнение графическим методом, и чтобы ускорить работу воспользуемся компьютерным графопостроителем

- Итак, уравнение имеет один корень х = 2.

метод оценок с учащимися ранее не рассматривался, поэтому вероятнее всего они предложат использовать для решения графический метод

один учащийся по желанию строит график, используя программу Advanced Grapher, учащиеся схематично переносят чертеж в тетрадь, записывают корень

Программа графопостроитель Advanced Grapher,

Формулирование

проблемы

(темы и целей урока)

Интересно, а можно ли было решить это уравнение, не прибегая к построению графиков, т.е. алгебраическим методом?

Посмотрите внимательно на графики функций, что вы можете сказать об их областях значений? Каковы они, имеют ли общее значение, сколько общих значений имеют?

- Правильно, а можно ли было определить алгебраически области значений функций?

На использовании множества значений функций при решении уравнений основан алгебраический метод оценки. С ним мы сегодня и познакомимся. Записываем тему, формулируем интересующие нас вопросы, учитель фиксирует вопросы на боковой доске (они должны быть пред глазами учащихся в течение всего урока)

Замечают, что среди известных им алгебраических методов решения тригонометрических уравнений ничего подходящего нет, но возможно есть способ, которого они еще не знают

Отвечают на вопросы, используя график

Да, используя оценку выражений

Формулируют возможные вопросы:

Каковы теоретические основы метода?

Каков алгоритм использования метода для решения уравнений?

Для решения уравнений какого вида применим метод?

Каковы достоинства и недостатки метода?

Связан ли метод оценки с оцениванием границ выражений?

Доска с формулировкой темы и основными вопросами

Открытие нового знания

Что на ваш взгляд необходимо оценить при решении уравнения и как использовать результат проведенной оценки

Учащиеся приходят к выводу, что если оценить области значений левой и правой части, то тем самым мы определим границы, и если совпадут верхняя граница одного выражения и нижняя граница другого, то решение уравнения может быть только на этой границе

Демонстрация графической картинки к решенному уравнению

Формулирование

нового знания

Наш с вами вывод соответствует следующей теореме:

Если f(x) A и g(x) A, то

Используя то, что вы узнали о теоретической основе метода, сформулируйте алгоритм использования метода

Работаем в парах, результат работы представляет одна пара, одна-две пары комментируют предложенный порядок действий

Презентация (приложение 2)

УУД:

Предметные: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия; подведение под понятие; определение основной и второстепенной информации; постановка и формулирование проблемы; структурирование знаний; осознанное и произвольное построение речевого высказывания ;

Регулятивные: волевая саморегуляция в ситуации затруднения;

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью; аргументация своего мнения и позиции в коммуникации; учет разных мнений, координирование в сотрудничестве разных позиций; использование критериев для обоснования своего суждения; планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; разрешение конфликтов.

Закрепление нового материала

Цель:

Развивать умения работать с алгоритмом в стандартной и нестандартной ситуации, отрабатывать навык решения уравнений методом оценки

14 минут

Действия учителя (содержание диалога)

Ученики (ожидаемые действия)

Средства обучения

Первичное применение нового знания

(ответ: 0)

Уравнение прорешивает на доске учитель, обсуждая ход решения с детьми, обращает внимание на записи

- Как вы думаете, в каких случаях решения уравнений уместно использование метода оценки

Признаком того, что для решения следует применить метод оценки, является наличие в уравнении функций разной природы.

(ответ: решений нет)

(ответ: решений нет)

- Как вы думаете, возможно, отсутствие корней в двух последних уравнениях не является случайностью? Попробуйте объяснить данный факт

Делаем вывод:

Если для любого х Є А выполнимы неравенства f(x) > M и g(x)<M, то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней на множестве А - это утверждение является следствием из рассмотренной нами теоремы

- А сейчас я хочу предложить вам еще одно уравнение, причем в выборе метода вы не ограничены, но свой выбор необходимо аргументировать.

(ответ: π+2πn, nЄZ)

Возможные выводы:

Если f(x) 0 и g(x) 0,

то

Учащиеся выдвигают свои предположения

Решение с контролем у доски, правильное решение отмечается накопительными +

Обсуждение вопроса в парах

Решают уравнение, по желанию у доски, предлагают аргументы по выбранному способу решения

Уравнения представлены на плакате (приложение 2)

Появление по щелчку

Плакат дополняется выводами после их проговаривания

Составленный опорный конспект в конце урока в распечатанном виде выдается учащимся

Самостоятельная работа

А теперь проверьте свои силы и поработайте самостоятельно над следующим уравнением:

(ответ: 0)

двое учащихся независимо работают на закрытых досках, по решениям класс выполняет проверку, вопросы, комментарии

Опорный плакат

УУД:

Предметные: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация; извлечение из математических текстов необходимой информации; подведение под понятие; установление причинно-следственных связей; выполнение действий по алгоритму; построение логической цепи рассуждений; выбор наиболее эффективных способов решения задач; планирование; прогнозирование

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью; формулирование и аргументация своего мнения в коммуникации

Личностные: самоопределение; смыслообразование

Итог урока

Цель:

Соотнести поставленные цели и полученный результат, провести самооценку уровня овладения новым знанием

4 минуты

Действия учителя (содержание диалога)

Ученики (ожидаемые действия)

Средства обучения

рефлексия

Какие вопросы вы ставили пред собой на данном уроке?

Какие из вопросов решили?

На какие вопросы вам не удалось ответить?

Метод оценки имеет второе название – метод МИНИМАКСА. Выскажите свои предположения для обоснования данного названия, насколько точно оно выражает основу метода?

Анализируют деятельность на уроке

«Минумум одной части уравнения совпадает с максимумом другой части»

Доска с перечнем вопросов, + отмечаем разобранные вопросы, - вопросы, оставшиеся без ответа

Записываем на доске второе название метода

Домашнее задание:

Обязательное задание: Я предлагаю вам 5 уравнений. Решите уравнения, выбирая для каждого оптимальный метод. Электронную тестовую форму для выполнения задания возьмете на сайте школы

Дополнительное задание (для желающих): составьте уравнение для решения которого необходимо использовать метод МИНИМАКСА

Просматривают предлагаемое задание на экране

(Приложение 4) Электронная форма для выполнения задания, размещенная на сайте учителя или школы

УУД:

Предметные: рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

Личностные: самооценка на основе критерия успешности; адекватное понимание причин успеха / неуспеха в учебной деятельности;

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью; формулирование и аргументация своего мнения, учет разных мнений

9

• 1 слайд

  Метод оценки Признаком того, что для решения следует применить метод оценки, является наличие в уравнении функций разной природы. Если для любого х Є А выполнимы неравенства f(x) > M и g(x)<M, то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней на множестве А

• 1 слайд

  Проверяем выполнение домашнего задания

• 2 слайд

  Найдите множество значений функции y = sin x – 7 (- ∞; + ∞); 2) [ - 1; 1]; 3) [ - 8; - 6]; 4) [ - 7; - 6] баллы 1 2 2 2 3 ответы 3 2 4 -2 3 1. 2. 3. 4 5.