ВЕКТОРНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛОВ В СТЕРЕОМЕТРИИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 27

ВЕКТОРНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛОВ

Цель: 

            - сформировать навыки вычисления углов между векторами и между вектором и осью;

            - развить умение определять величину угла по найденной тригонометрической функции;

            - закрепить знания о действиях над векторами в координатной форме;

Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы; таблицы значений тригонометрических функций.

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1.     Изучить краткие теоретические сведения;

2.     Выполнить задания;

3.     Сделать вывод по работе;

4.     Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.  

 Краткие теоретические сведения:

          Угол между двумя векторами  вычисляется по формуле:

Пример 1.  Найти угол между векторами  

Решение.

1. Определим координаты векторов: .

2. Найдём угол между векторами по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:

 =

3. Определим величину искомого угла  по таблице значений тригонометрических функций или с помощью калькулятора:

Итак, угол между векторами  найден: .

Пример 2. Найдите угол АСВ в треугольнике АВС, если, В(-2;0;7) и С(-3;-2;5).

Решение. 1. Угол АСВ в треугольнике АВС находится между векторами

 и Определим координаты векторов:.

2. Найдём угол между векторами  и  по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:

3. Определим величину искомого угла  по таблице значений тригонометрических функций или с помощью калькулятора:

Итак, угол между векторами  и  найден: .

Пример 3. Найти углы, составляемые вектором  с координатными осями, если

Решение.

1. Найдём координаты вектора:

2.Вычислим длину вектора:

3. Определим углы, составляемые вектором с координатными осями:

с осью ОХ :

с осью ОY :

с осью ОZ :

Итак, углы, составляемые вектором с координатными осями, равны

,,

Задания для самостоятельного выполнения:

1.   Найти угол между векторами  .

2.     Найдите угол АСВ в треугольнике АВС.

3.   Найти углы, составляемые вектором   с координатными осями.

Вариант 1.

1.
2. А(2; -3;4); В(-2;3;7) и С(1;-2;-5).

3.  и В(9; -1;4).

Вариант 2.

1.
2. А(6;-1;2); В(8;-2;4) и С(-3;9;0).

3.  и В(-2;3;5).

Вариант 3.

1.
2. А(9; -2;0); В(12;-3;5) и С(1;-2;6).

3.  и В (-8; -2;3).

Вариант 4.

1.
2. А(7; -3;1); В(5;4;-2) и С(0;1;-5).

3.  и В (4; -1;2).

Вариант 5.

1.
2. А(8;0; -3); В(-2;9;-7) и С(-3;-2;4).

3.  и В (2;4; -1).

Вариант 6.

1.
2. А(2; -3;5); В(0;1;7) и С(4;-3;6).

3.  и В (-3; -1;4).

Вариант 7.

1.
2. А(11; -1;5); В(10;0;4) и С(3;6;9).

3.  и В (-6; -2;4).

Вариант 8.

1.
2. А(-4; -3;0); В(-11;2;-5) и С(0;-2;3).

3.  и В(5;9;2).

Вариант 9.

1.
2. А(0;1;2); В(-2; 0;-1) и С(-3;-2;5).

3.  и В(-3;5;8).

Вариант 10.

1.
2. А(2; -3;4); В(-2;0;7) и С(-3;-2;5).

3.  и В(1;6;0).

Вариант 11.

1.
2. А(2; -3;4); В(3;4;5) и С(-1;-2;0).

3.  и В(5;0;10).

Вариант 12.

1.
2. А(9; -8;6); В(-2;0;7) и С(0;-2;6).

3.  и В(8;4;0).

Вариант 13.

1.
2. А(6; -4;2); В(-3;0;9) и С(-8;4;5).

3.  и В (-1; -9;5).

Вариант 14.

1.
2. А(5; -3;7); В(2;4;6) и С(3;0;-2).

3.  и В (2; -3;0).

Вариант 15.

1.
2. А(6;4;2); В(1;3;5) и С(0; -2;-4).

3.  и В(-5;0;3).

Вопросы для самоконтроля:

1.   Дайте определение углу между векторами.

2.   Запишите формулу его вычисления.

3.   Как найти угол между вектором и осью?