РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТОДОМ КРАМЕРА

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ 3 ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

        Цель:

             - развить умение преобразования матриц;

             - сформировать навыки решения системы 3 линейных уравнений с тремя переменными методом  Крамера;

            - закрепить знания о  свойствах определителей  2 и 3 порядка;

        Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1.     Изучить краткие теоретические сведения;

2.     Выполнить задания;

3.     Сделать вывод по работе;

4.     Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.  

 Краткие теоретические сведения:

       Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица, заполненная числами. Эти числа называются элементами матрицы.

      Элементы матрицы, расположенные по горизонталям, образуют строки матрицы. Элементы матрицы, расположенные по вертикалям, образуют столбцы матрицы.

      Строки нумеруются слева направо, начиная с номера 1, столбцы нумеруются сверху вниз, начиная с номера 1.

       Матрица A , имеющая m строк  и  n столбцов, называется матрицей размера m на n и обозначается А _m∙n . Элемент a_{i j} матрицы A = {a_ij} стоит на пересечении i - ой строки и j- го столбца.

А =

      Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

       Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

       Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k – число, то k ∙ A ={k ∙ a_ij }.  

Матрицы одного и того же размера A_{m ∙n}  и  B_{m∙ n}  можно складывать, причем  A_{m ∙n}  +  B_{m∙ n} = {a_ij  + b_{i j}}.

       Операция сложения матриц обладает свойствами A + B = B + A,  A +(B + C) = (A + B) + C .

Пример 1. Выполнив действия над матрицами, найдите матрицу С= 2A - B, где  , .

Решение.

Вычислим матрицу 2A размерности 3x3:

       

Вычислим матрицу С = 2A - В размерности 3x3:

C = 2A - B .

       Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое равенством:

.

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

 

                                Рис.1.1.                                                                 Рис.1.2.

       Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из рисунка (1.1.), а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из рисунка (1.2).

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка по правилу Сарруса:

Решение:

Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка  методом разложения по элементам первой строки:

;

Решение:

Используем формулу:    

 = 3 -2  +2 = 3(-5 + 16) – 2( 1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Рассмотрим основные свойства определителей:

·        Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

·        Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какое-либо число, то определитель матрицы умножится на это число.

·        Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

·        Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы.

·        Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

·        Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.

Свойства матриц и определителей широко применяют при решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

,

где х₁, х₂, х₃ – переменные, а₁₁, а₁₂,…, а₃₃ - числовые коэффициенты. Следует помнить, что при решении системы возможен один из трёх вариантов ответа:

1) система имеет единственное решение – (х₁; х₂; х₃);

2) система имеет бесконечно много решений (не определена);

3) система не имеет решений (несовместна).

    Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, который  позволяет найти единственное решение системы, опираясь на умение вычислять определители третьего порядка:

  

.

 Пример 3. Найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам  Крамера:

     Решение. Находим определители третьего порядка, используя правило Сарруса или разложение по элементам первой строки:

   

 

Находим решение системы по формулам:  

  

Ответ: (- 152; 270; -254)

     Задания для самостоятельного выполнения:

I.  Найти матрицу преобразования.

II. Вычислить определитель III порядка.

III. Решить систему методом Крамера.   

Вариант 1.

1.  C =A+3B, если , .      2.  .

3.  

Вариант 2.

1.  C =2A- B,если , .          2. .

3.

Вариант 3.

1.  C = 3A+B, если , .       2. .

3. 

Вариант 4.

1.  C = A - 4B, если , .       2.  .

3.

Вариант 5.

1.  C = 4A - B, если , .       2. .

3.  

Вариант 6.

1.  C = A+2B, если , .       2.  .

3.

Вариант 7.

1.  C =2A+B, если , .        2.  .

3.  

Вариант 8.

1.  C =3A - B, если , .       2.  .

3.  

Вариант 9.

1.  C =A - 3B, если , .       2. .

3.  

Вариант 10.

1.  C =A - 2B, если , .       2.  .

3.  

Вариант 11.

1.  C =A+4B, если , .       2.  .

3.  

Вариант 12.

1.  C =4A+B, если , .       2.  .

3.   

Вариант 13.

1.  C =A+3B, если , .      2.  .

3.  

Вариант 14.

1.  C =2A - B, если , .      2.  .

3.  

Вариант 15.

1.  C =3A +B, если , .      2.  .

3.  

Вопросы для самоконтроля:

1.     Что называется матрицей?

2.     Правила вычисления определителей третьего порядка?

3.     Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.