Выступление на НПК по теме "Построение графиков сложных функций"

Исследовательская работа по теме:

«Построение графиков сложных функций»

Выполнила:

Ганиева Айгуль Азатовна

9 б класс

МБОУ СОШ №3

Руководитель: Гайнутдинова

Ольга Николаевна

Проблемный вопрос:

Как можно построить графики сложных функций?

Цели и задачи

þ Овладеть умением представлять сложную функцию в виде композиции двух функций

þ Освоить приём построения эскиза графика функции без применения производной

þ Показать возможность использования схемы построения графиков сложных функций вида  y=f(φ(x))

þ изучить области, в которых применяется функция и её свойства

Введение

Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения.

Построение графика сложной функции вида y = f(φ(x)) без использования производной можно осуществлять элементарными    способами по некоторой схеме.

Все указанные операции можно проводить непосредственно над графиками основных элементарных функций (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами), поскольку эти графики известны. Как правило, график функции y = f(φ(x)) трудно, а порой и просто невозможно построить, используя общую схему исследования функции.

Формула для задания сложной функции

             y=f(g(x)) –

     – сложная  функция

g(x) – внутренняя  функция

Пример.

  g(x) = х² - 4 – внутренняя функция

   f(t) =          – внешняя функция

f(t)  – внешняя функция

Мы предположили, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека. Сейчас мы попытаемся это доказать.

Основная часть

Схема построения графика сложной функции

Построение графиков функций вида

 

Построение графиков функций вида

 

Построение графиков функций вида

Схема построения графика сложной функции у = f(φ(x))

l  Найти область определения исследуемой сложной функции, а также граничные значения функции.

l  Построить график внешней и внутренней функции.

l  Построить график функции у₁ = φ(х). Отметить на этом графике характерные точки, т. е. нули и точки разрыва, найти граничные точки, одну - две промежуточные точки;

l  Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек.

l  Нанести полученные точки и предельные значения на рисунок, помещённый под графиком функции  у₁ = φ(х) так, чтобы у₁  была продолжением оси у.

l   Соединить полученные точки сплошной линией в тех промежутках, в которых функция непрерывна, и учесть (если она имеется)  симметрию графика относительно точки или прямой.

 

Построение графиков функций вида

 

Сначала надо построить график линейной функции (внутренней функции)

Найти точки пересечения графика с осью x и y.

Затем в той системе координат надо построить график внешней функции, используя точки пересечения первого графика.

 

Построение графиков функций вида

 

Применение функций в точных науках

l Графики зависимости физических величин,

l параболоиды,

l отображение звуковых волн с помощью периодической функции

Периодическая функция

F(x)=F(x±nT) 

Звук, колебания за просторами Земли.

Фазы звуковой волны

 Для описания относительных временных свойств двух звуковых волн (или разных частей одной волны) вводится понятие фазы звуковой волны.

Графики пословиц

«Посев хуже недосева», «Каши маслом не испортишь»,

«Чем дальше в лес, тем больше дров»,   «Горяч на почине, да скоро остыл»

Дни солнцестояния

l Почему в марте долгота дня меняется быстро, а в июне и декабре – медленно?

l С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта 

Основные результаты

l  Для построения графика функции любой сложности необходимо знать и применять свойства элементарных функций (область определения, нули функции, четность и нечетность, периодичность и  т. д.).

l  График сложной функции y = f(φ(x)) можно построить с помощью упрощенной схемы, если использовать операции над графиками (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами).

l  Я надеюсь, что мои исследования убедили Вас в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом.

l Эта работа может быть предложена в качестве развивающего компонента на уроках алгебры (демонстрация презентации при изучении темы «Исследование функции» и в рамках предметной недели).

Рене Декарта сказал:

“Прямая – есть кратчайшее расстояние между двумя точками”.

И следуя этому правилу, я призываю вас в своем развитии по восходящей линии, не страшась усталости, не обходя трудностей, идти по прямой от точки не знания к точке знания.

Список ресурсов:

ü  Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988

ü  Гурский И. П. Графики сложных функций

ü  Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности. Журнал «Математика в школе»

ü  Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1972

ü  Костюкова Н.К. Научно-исследовательская работа учащихся. – М.: Математика в школе №5, 1999

ü  Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа - Пресс,  1997

ü  Рывкин А.А. Справочник по математике – М.: Высшая школа, 1987

ü  Факультативный курс по математике - М.: Просвещение, 1991

ü  http://mathem.by.ru/index.html