Внеаудиторная практическая работа по математике "Применение производной и определенного интеграла"

ВНЕАУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1

Применение производной и определенного интеграла.

Цель

Решить задачи.

Выполнение работы.

Методические указания.

Работа содержит 30 вариантов. Номер примера соответствует варианту. Вариант совпадает с порядковым номером в списке.

Работа оформляется так же как и практические работы.

Критерий оценки

3 задачи + выводы – «3»

4 задачи + выводы «4»

5 задач + выводы – «5».

На выполнение работы дается 2 недели,  работы, сданные позднее указанного срока оцениваются строже.

Задача 1. Точка движется прямолинейно по закону: . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t =6 сек.

Решение: Скорость – это производная пути по времени..

.

.

Ускорение – это производная от скорости: .

.

.

Ответ:;  .

Задача 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , у=0.

Решение: построим график функции:

 

S=

Задача 3. Вычислите объем тела, которое получается в результате фигуры, ограниченной линиями.

Решение

1)                      Нужно построить графики всех зависимостей, указанные в задаче

2)                      Фигуру ограниченную указанными линиями вращаем, получаем объемное тело

3)                     

Задача 4. Два тела начинают движение со скоростями v₁  и  v₂. Найдите расстояние между телами через t секунд.

а.                       Тела движутся из одной точки в разные стороны.

б.                      Тела движутся в одном направлении.

в.                       Тела движутся на встречу друг другу, на начало движения расстояние между ними N.

 Где путь, пройденный телом  определяем по формуле: .

Например, два тела начинают движение из одной точки в разные стороны со скоростями  и ,  определите, какое расстояние будет между ними через 8 секунд.

  

 

 

Ответ: Расстояние между телами 1232метра.

 Задача 5. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.

Решение.

Теорема: Функция возрастает на промежутке I, если на этом промежутке ее производная положительна, и убывает, если производная отрицательна.

1)                      Находим производную, приравниваем ее к нулю, решаем уравнение

2)                      Расставляем знаки, подставляя значения в производную

3)                      Пользуясь теоремой, определяем промежутки возрастания и убывания функции.

4)                      Определяем точки максимума и минимума, максимум и минимум функции.

1)                       

  

Х₁=1, Х₂=1

2)                        Вся числовая прямая разбивается на промежутки.  1)  2)   3)  на первом  и третьем промежутке производная меньше нуля, на втором – больше нуля.

3)                      Таким образом функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутках   и  

4)                      В точке 0 убывание сменяется возрастанием, следовательно – это точка минимума, и 1 это точка максимума, так как в этой точке возрастание сменяется убыванием

Найдем максимум и минимум функции  ,   

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

1)            Найдите скорость и ускорение тела, через одну секунду после начала движения, если оно движется по закону: , где

2)            Определите момент времени, когда тело остановиться, если оно движется по закону: .

3)            Тело движется по закону: , определите его скорость и ускорение в момент времени .

4)            Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек.

5)            Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановиться

6)            Определите ускорение материальной точки в момент времени сек., если ее скорость изменяется по закону .

7)            Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановиться.

8)            Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек. (е3).

9)            Найдите ускорение тела, которое движется со скоростью , при .

10)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановится.

11)        Тело движется по закону: . Определите его скорость, и ускорение при  сек

12)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда скорость тела будет 3м/с.

13)        Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек

14)        Тело движется по закону: . Определите его скорость, и ускорение при  сек

15)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановится.

16)        Скорость тела задана формулой , вычислите ускорение тела в момент времени

17)        Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек. (е3).

18)        Найдите ускорение тела, которое движется со скоростью , при .

19)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановится.

20)        Тело движется по закону: . Определите его скорость, и ускорение при  сек

21)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда скорость тела будет 3м/с.

22)        Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек

23)        Определите момент времени, когда тело остановиться, если оно движется по закону: .

24)        Тело движется по закону: , определите его скорость и ускорение в момент времени .

25)        Тело движется по закону: . Определите его скорость и ускорение при  сек.

26)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановиться

27)        Определите ускорение материальной точки в момент времени сек., если ее скорость изменяется по закону .

28)        Тело движется по закону: . Определите момент времени, когда тело остановиться.

29)        Тело движется по закону: . Определите его скорость, и ускорение при  сек

30)        Определите момент времени, когда тело остановиться, если оно движется по закону: .

Задача 2.  Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)       , у=0, х=0, х=1.

2)       , у=4х, х=0, х=2.

3)      , у=4х, х=0, х=1.

4)      , у=0.

5)      , у=0.

6)      , у=х, х=3.

7)      , у=0, х=2,  х=3.

8)      , у=3х.

9)      , х=1, у=0.

10)  , у=0, х=0.

11)  , у=0.

12)  ,  х=2, у=0.

13)  , , х=1, х=2

14)  , х=0, х=2, у=0

15)  , у=0, х=1, х=3.

16)  , у=0, х=2, х=3

17)  , у=0, х=0, х=3

18)  , у=0, х=-2, х=0. 

19)  ,  х=-1,  х=2, у=0

20)  , у=0, х=2, х=5

21)  , у=0.

22)  , у=0, х=0, х=2.

23)  , у=0, х=-4,х=-1.

24)  ,  у=х+2,  х=-2,  х=1

25)  , у=0, х=2, х=3

26)  , у=0, х=0, х=3

27)  , у=0, х=-2, х=0. 

28)  ,  х=-1,  х=2, у=0

29)  , у=0, х=2, х=5

30)  , у=0.

Задача 3. Вычислите объем тела, которое получится в результате вращения фигуры, ограниченной линиями.

1)      , х=2, у=0.

2)      , х=2, у=0.

3)      ,  х=1,х=2, у=0.

4)      , х=2,х=4, у=0.

5)      , х=2,х=4, у=0.

6)      , х=0,х=-1, у=0.

7)      , х=1, у=0

8)      , х=1, у=0

9)      , х=1, у=0

10)  , х=1,х=2, у=0

11)  , х=0 у=0.

12)  , х=-2, у=0

13)  , у=0, х=3

14)  , х=5, у=0

15)  , х=4, у=0

16)  , х=0,х=-2, у=0

17)  , х=-1, у=0.

18)  , х=2, у=0.

19)  , х=0, у=0

20)  ,  у=0, х =2.

21)  ,  у=0, х =5.

22)  ,  у=0, х =2

23)  , х=2, у=0.

24)  , х=2, у=0.

25)  ,  х=1,х=2, у=0.

26)  , х=2,х=4, у=0.

27)  , х=2,х=4, у=0.

28)  , х=0,х=-1, у=0.

29)  , х=1, у=0

30)  , х=1, у=0

Задание 4. Решите задачу.

1)   Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды, если не начало движения расстояние между ними было 200м.

2)   Два тела начинают движение из одной точки в разные  стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения

3)   Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды после начала движения.

4)   Два тела движутся навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 5 секунд, если на начало движения расстояние между ними было 300м.

5)   Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения.

6)   Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды после начала движения.

7)   Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 6 секунд после начала движения

8)   Два тела начинают движение из одной точки в разные стороны (движение происходит по прямой) со скоростями v = 2t и v = 8t³+2t. На каком расстоянии друг от друга будут тела, через 6 секунд после начала движения

9)   Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 6 секунд после начала движения

10)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 6 секунд, если не начало движения расстояние между ними было 1000м.

11)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 4 секунды после начала движения

12)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды после начала движения

13)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями:  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды, если на начало движения расстояние между ними было 100м

14)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите,  какое расстояние будет между ними через 6 секунд после начала движения.

15)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 4 секунды после начала движения, если на начало движения расстояние между ними было 120м.

16)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения.

17)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные  стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 4 секунды после начала движения.

18)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные  стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения

19)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды после начала движения.

20)                  Два тела движутся навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 5 секунд, если на начало движения расстояние между ними было 300м.

21)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения.

22)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды после начала движения

23)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями:  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды, если на начало движения расстояние между ними было 100м

24)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите,  какое расстояние будет между ними через 6 секунд после начала движения.

25)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 4 секунды после начала движения, если на начало движения расстояние между ними было 120м.

26)                  Два тела начинают движение из одной точки в одну   сторону со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 3 секунды после начала движения.

27)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные стороны (движение происходит по прямой) со скоростями v = 2t и v = 8t³+2t. На каком расстоянии друг от друга будут тела, через 6 секунд после начала движения

28)                  Два тела начинают движение из одной точки в разные    стороны со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 6 секунд после начала движения

29)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 6 секунд, если не начало движения расстояние между ними было 1000м.

30)                  Два тела начинают движение навстречу друг другу со скоростями,  и . Определите, какое расстояние будет между ними через 2 секунды, если не начало движения расстояние между ними было 200м.

Задание 5.  Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10) 

11) 

12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 

21) 

22) 

23) 

24) 

25) 

26) 

27) 

28) 

29) 

30) 

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

1.      В чем заключается физический смысл производной.

2.      Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

3.      При решении каких задач применяется определенный интеграл?

4.      Как используя производную определить промежутки возрастания и убывания функции?

5.      Как ведет себя производная в точках экстремума?