Внеклассное мероприятие по математике "День знакомства с комбинаторикой

День знакомства с комбинаторикой

Цели мероприятия:

- познакомить учащихся с методами решения задач по комбинаторике;

- развивать интерес к изучению математики;

- развивать творческие способности учащихся;

- формировать умение работать в команде

 1. Введение (Выступление учащихся)

В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне:

“Вперед поедешь – голову сложишь,

 направо поедешь – коня потеряешь,

 налево поедешь – меча лишишься”.

 А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора.

Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку.

Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации.

И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы:

сколько всего есть комбинаций в том или ином случае?

как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую?

Люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач,

а, следовательно, обладают хорошей логикой,

 умением рассуждать,

перебирать различные варианты решений,

очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций.

Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации.

Но и в жизни эти умения очень часто помогают человеку. Вот один случай умелого решения комбинаторной задачи.

Бесплатный обед (инсценировка)

10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д.

Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, ни мало, ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10 тысяч лет! Это покажется на первый взгляд невероятным, но так оно и есть!

2. Что такое комбинаторика. (Объяснение учителя)

Ну, а мы сегодня рассмотрим с вами многие задачи этой части математической науки, которая, еще раз вам напомню, называется комбинаторикой. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач - задач, наиболее часто встречающихся в нашей жизни, задач, над решением которых мы задумываемся каждый день. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, дерево выбора (дерево возможных вариантов), и правило умножения.

Итак, комбинаторика - это раздел математики, отвечающий на вопросы сколькими способами можно выбрать элементы определенного множества, если выборка удовлетворяет некоторым свойствам.

Или, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

3. Решение задач учителем с помощью метода перебора и дерева выбора

Сколько различных флагов можно составить из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов?

(Решение на доске с иллюстрированием.)

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

114	141	171
417	447	474
711	744	777

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Однако существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернемся к задаче о количестве флагов и составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для их решения можно построить специальные схемы.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Впоследствии, мы рассмотрим, как построение дерева помогает решить самые разные комбинаторные задачи.

4. Решение аналогичных задач учащимися.

1.  Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

2. Сколько существует флагов, составленных из трех горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов – белого, зеленого, красного и синего? Есть ли среди них флаг РФ? (ответ: 24)

3. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

4. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла, репа  и капуста?

5. Решение задачи учителем с помощью правила умножения          

В спортивном лагере “Орленок” собирались проводить первенство по футболу. Незадолго до начала соревнований к начальнику лагеря пришел вожатый, который должен был судить встречи, и сказал: “Иван Владимирович! У нас на складе есть трусы и майки только трех цветов: белого, черного и синего. А команд у нас восемь. Как быть?” – “Да совсем просто, Леня! – ответил тот.– Ведь необязательно, чтобы майки и трусы были одного цвета. Можно одну команду одеть в синие майки и белые трусы, а другую – в белые майки и синие трусы. Вот игроки и увидят, где свой, а где соперник”. – “А хватит ли таких комбинаций на восемь команд?” – "Не только хватит, еще одна останется про запас".

Посмотрим на табличку.

ббч	бчс	бсб
чбс	ччб	чсч
сбб	счч	ссс

Здесь первая буква показывает цвет майки, а вторая – цвет трусов. Можно видеть, что получилось девять различных комбинаций, так что все в порядке.

Составляя такие таблицы, можно найти число комбинаций и в случае, когда, например, есть майки различных пяти цветов, а трусы – четырех цветов. В этом случае в таблице будет пять строк и четыре столбца, а потому общее число комбинаций окажется равным 4 x 5, то есть 20. Вообще, если имеются майки т различных цветов и трусы п различных цветов, то общее число комбинаций для составления формы играющих команд равно т x п.

Полученный результат верен и тогда, когда комбинируются не майки с трусами, а, например, ложки с вилками. Он гласит:

Если надо выбрать пару вещей, причем первую вещь можно выбрать m способами, а вторую n способами, то пару можно выбрать m? n способами.

Бывает, что надо выбрать не две, а три или четыре вещи. Тогда число комбинаций ищут похожим образом: смотрят, сколькими способами можно выбрать каждую вещь, и перемножают полученные числа. Поэтому правило называют правилом произведения (или правило умножения).

6. Задача для учащихся

 В том же спортивном лагере повар умел готовить четыре различных супа: щи, борщ, молочный суп с лапшой и фасолевый суп. Мясных блюд он умел делать пять: котлеты, зразы, шницели, биточки и суфле. При этом, к каждому мясному блюду он умел делать три гарнира: гречневую кашу, макароны и картофельное пюре. А на сладкое он готовил тоже три блюда: компот, кисель или печеные яблоки. Сколько различных обедов умел готовить этот повар?

(Если ребята разобрались в правиле произведения, то ответ найдут сразу: повар умел готовить 4 x 5 x 3 x 3, то есть 180 различных обедов. Так что он мог ни разу не повторить обеда за три смены.)

7. Знакомство с понятием «Факториал»

Катание на карусели. Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели. На ней было 6 сидений. Одно изображало льва, другое - тигра, третье - слона, четвертое - оленя, пятое - медведя и шестое - жирафа. Ребята заспорили, кому на какого зверя садиться. Поэтому они решили перепробовать все способы. Сколько раз пришлось им прокатиться на карусели?

Чтобы решить эту задачу, будем сажать ребят в порядке алфавита. Первым выбирал Андрей. Он мог сесть на любого из шести зверей, так что у него было 6 возможностей выбора. Но когда он занял свое место. Боре остались лишь 5 возможностей – одно место было уже занято. Точно так же Вите остались 4 варианта выбора, Грише – 3, Диме – 2, а когда садился на карусель Женя, ему оставалось только одно свободное место.

А теперь по правилу произведения находим, сколькими способами могли сесть за карусель ребята: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. В математике такое произведение обозначают 6! и называют “6-факториал”. Перемножая эти числа, получаем ответ 720. Так что, если даже они катались в день по 20 раз, то им пришлось бы больше месяца ходить каждый день в парк.

Если бы и ребят, и мест на карусели было не 6, а 8, то пришлось бы перемножать числа от 1 до 8. Это произведение равно уже 40 320. А для десятиместной карусели и десяти ребят получается более 3 миллионов вариантов.

В другой раз на ту же карусель пришли только четверо ребят: Андрей, Боря, Витя и Гриша. Узнаем, сколькими способами могут они сесть на нее. По правилу произведения надо перемножить лишь четыре числа: 6, 5, 4 и 3. Получится ответ 360. А если бы трое ребят решили перебрать все способы катания на десятиместной карусели, то умножать пришлось бы только три числа: 10, 9 и 8.

Задачи по комбинаторике для заинтересовавшихся учащихся для решения дома

1. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все возможные варианты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке.

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

2. В турнире по настольному теннису участвовали 5 человек.

а) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии?

Ответьте на вопрос, используя способ кодирования, обозначив участников турнира цифрами 1, 2, ....

3. В шестом классе изучается 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все разные?

Подсказка: на первом уроке можно провести любой из 8 предметов, на втором уроке – любой из оставшихся 7 предметов, на третьем уроке …

4. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколько вариантов покупки имеется у покупателя, который хочет приобрести две подушки?

Решите задачу, построив  дерево возможных вариантов.

5. Выпишите все трехзначные числа, используя при записи каждого числа цифры 1, 2, 3, причем каждую из них только один раз.

6.  В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

7. Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?

8. В буфете есть четыре сорта пирожков. Сколькими способами ученик может себе купить два пирожка? два разных пирожка?

9. Сколько существует шестизначных чисел, у которых:

а) третья цифра – 3;

б) последняя цифра – четная;

в) на нечетных местах стоят нечетные цифры;

г) на нечетных местах стоят четные цифры?

10. Четыре друга купили билеты на один и тот же поезд. При этом оказалось, что два билета в один вагон, а два в другой. Из скольких вариантов посадки в два вагона им придется выбирать?

11. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вар антов расписания можно составить на этот день?

12. В палатке имеется три сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо. Наташа и Данила решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки?

13. Проводится олимпиада по биологии. Для подарков участникам приготовили различные растения: кактусы, фикусы, лимоны, герань. Сколько различных призов можно из них составить, если каждому победителю решено давать по два любых растения? Как изменится решение задачи, если призы можно составлять только из двух разных растений?

14. Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 2, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?

15. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

16. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем.

17. Наташа, Данила, Андрей и Маша – лучшие литераторы в классе. На школьную олимпиаду "Знатоки литературы" нужно выставить команду из двух человек. Можно ли составить 5 различных команд? Сколько различных команд, составленных из одной девочки и одного мальчика, может выставить данный класс?

18. В клетке сидят 7 мартышек. Служитель зоопарка должен дать каждой из них по два любых плода. При этом надо учесть, что капризные мартышки не любят получать одинаковые наборы. Сможет служитель угостить всех мартышек, если у него есть только бананы, яблоки и персики? Сколько еще других сортов фруктов надо иметь служителю, чтобы угостить всех мартышек?

19. В студии современного танца лучше всех танцуют четыре девочки – Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика – Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на конкурс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Из скольких вариантов он должен выбирать?

20. Данила идет на день рождения к Наташе и хочет подарить два букета – один Наташе, один ее маме. Сколькими способами он может выбрать два букета, если в магазине есть букеты гвоздик, тюльпанов и сирени?

21. Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.