Зачеты по геометрии в 10 классе

Зачет № 2 по геометрии 10 класс

Тема: Перпендикулярность в пространстве

 

 

Билет № 1

1.     Дайте определение перпендикулярных прямых.

2.     Сформулируйте и докажите свойство перпендикулярных прямых

3.     Задача.  Через точку А в пространстве проведены две различные перпендикулярные прямые к прямой а. Каково взаимное расположение точки А и прямой а? Ответ объясните.

4.     Задача. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ через произвольную точку М на ребре АА₁ проведена плоскость α параллельно основанию АВСD, пересекающая отрезки ВВ₁, СС₁ и DD₁ соответственно в точках  N, P, Q. Докажите, что прямые МР и NQ взаимно перпендикулярны.

Билет № 2

1.     Дайте определение перпендикулярных прямой и плоскости.

2.     Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3.     Задача. Через вершину прямоугольника АВСD проведена прямая ВК, перпендикулярная его плоскости. Как расположены прямая АВ и плоскость (КВС)?

4.     Задача. Прямая АК перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD. Найдите КС, если КВ = 12см, КД = 13 см, ВD= см.

Билет  № 3

1.     Дайте определение перпендикулярных прямой и плоскости.

2.     Сформулируйте и докажите свойство 1 перпендикулярных прямой и плоскости.

3.     Задача. В одном полупространстве от плоскости α проведены к ней два перпендикулярных отрезка АС и ВD. Расстояние между точками С и D, принадлежащими α , равно 12 см. Чему равно расстояние между точками А и В, если АС = 5 см и ВD = 9 см.   

4.     Задача. Точка  D – середина стороны АС правильного ∆ АВС, прямая ВК перпендикулярна  плоскости треугольника.  Докажите, что прямая АС перпендикулярна  плоскости (ВКD)

 

Билет  № 4

1.     Дайте определение перпендикулярных прямой и плоскости.

2.     Сформулируйте и докажите свойство2 перпендикулярных прямой и плоскости.

3.     Задача. Докажите ,что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

4.     Задача. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а разность длин его катетов равна 2 см. Точка, удаленная от плоскости треугольника на 12 см, равноудалена от его вершин. Найдите расстояние от данной точки до вершин треугольника.

 

 

Билет № 5

1. Дайте определение перпендикуляра, проведенного из точки К плоскости, нак-

   лонной к плоскости и ее проекции.

2. Сформулируйте и докажите теорему о трех перпендикулярах (ТТП).

3. Задача  . Из точки В к плоскости α проведены две наклонные ВА = 23 см и ВС = 33 см. Проекции этих наклонных на плоскость α относятся как 2 : 3. Найдите расстояние от точки В до плоскости α.                                       

4. Задача . Из точки М к плоскости ромба АВСD проведен перпендикуляр АМ = 8 см. Известно, что расстояние от М до прямой ВС равно 10 см, ÐВ =120⁰. Найдите расстояние от М до прямой ВD.

Билет № 6

1.     Дайте  определение перпендикулярных плоскостей.

2.     Сформулируйте и докажите признак  перпендикулярности плоскостей.

3.     Задача. Через вершину В прямоугольного треугольника проведена прямая МВ(АВС). Докажите перпендикулярность плоскостей (МСD) и (МВС).

4.Задача. Сумма расстояний от концов отрезка до данных плоскостей равна 22 см, а его проекции на плоскости равны 20 см и 24 см. Найдите длину отрезка.

 

 

Билет № 7

1. Что такое расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями? Что такое расстояние между скрещивающимися прямыми?

2. Сформулируйте и докажите теорему о скрещивающихся прямых.

3. Задача. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. В плоскости α проведена прямая а || с, в плоскости β –прямая в || с.Найдите расстояние между прямыми а и в, если расстояние между прямыми а и с – 8 см.

4. Задача . Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите расстояние между его ребрами AS и ВС.

Зачет № 1 по геометрии 10 класс

Тема: Параллельность в пространстве

Билет № 1

1.     Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2.     Сформулируйте и докажите теорему № 1(о прямой и точке).

3.     Задача.  Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А ? Ответ объясните.

4.     Задача. Вершина С плоского четырехуголиника АВСD лежит в плоскости L,а точки А, В и D не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АD пересекают плоскость L в точках В₁ и D₁  соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В₁ и D₁? Ответ объясните.

Билет № 2

1.     Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2.     Сформулируйте и докажите теорему № 2 (о прямой и плоскости).

3.     Задача. Прямые а в и с попарно пересекаются. Верно ли, что данные лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

4.     Задача. Точка D не лежит в плоскости L. Прямые а и в проходят через точку D и пересекают плоскость L  в точках А и В соответственно. Прямая l не проходит через точку D, пересекается с а и в и пересекает L в точке М. Каково взаимное расположение точек А , В и М? Ответ объясните.

Билет  № 3

1.     Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2.     Сформулируйте и докажите теорему № 3 (о трех точках).

3.     Задача. Через точки А, В и С можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение точек А, В и С? Ответ объясните.

4.     Задача. Пусть точки А,В,С,D не лежат в одной плоскости, точки К и М –середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что прямые:

1)    АD и КМ, 2) АС  и DК – не пересекаются.

Билет  № 4

1.     Дайте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

2.     Сформулируйте и докажите свойство параллельности прямых.

3.     Задача. Прямая с пересекает параллельные прямые а и в. Докажите,что прямые а, в и с лежат в одной плоскости.

4.     Задача. Дан параллелограмм АВСD плоскость L, не пересекающая его. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость L в точках А₁ , В₁ , С₁ , D₁. Найдите DD₁ , если АА₁ = 12 см, ВВ₁ = 7 см, СС₁ = 6 см.

 

 

Билет № 5

1. Дайте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

2. Сформулируйте и докажите свойство параллельности прямых.

3. Задача.  ∆ АВС  и квадрат АЕFC не лежат                              В

 в одной плоскости. Точки К и М –середины                      К              М

отрезков АВ и ВС соответственно.

Докажите, что КМ ||ЕF.                                        А                                С

 

                                                                                                   Е                            F

4. Задача . Отрезок АВ пересекает плоскость L в точке О. Через концы отрезка и его середины М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А₁ , В₁ и М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если АА₁=8,3 см , ВВ₁ = 4,1 см.

Билет № 6

1.     Дайте  определение параллельных прямой и плоскости .

2.     Сформулируйте и докажите признак  параллельности прямой и плоскости.

3.     Задача. Докажите, что если через две параллельные прямые проходят пересекающие плоскости, то линия их пересечения параллельна каждой из двух данных прямых или совпадает с одной из них.

4.Задача. Плоскость L пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N cоответственно, причем АМ : МВ = 3:4 , CN : DC = 3:7. Найдите АС, если MN = 16 см?

Билет № 7

1. Дайте определение параллельных прямой и плоскости..

2. Сформулируйте и докажите свойство параллельных прямой и плоскости.

3. Задача. Через середины К и М сторон треугольника  АВС (К є АВ ,М є ВС) проведена плоскость. Какое положение занимает проведенная плоскость относительно стороны АС ? Ответ объясните.

4. Задача  Дан треугольник АВС. Плоскость L, параллельная прямой АВ, пересекает стону АС этого треугольника в точке А₁, а сторону ВС в точке В₁; плоскость β, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке А₂ , а сторону ВС в точке В₂ . На какие фигуры делится треугольник АВС плоскостями L и β ? Вычислите периметры этих фигур, если АВ=ВС=АС=18 см и СВ₁=В₁В₂=В₂В.

Билет № 8

1.     Дайте определение параллельных плоскостей.

2.     Сформулируйте и докажите признак параллельности плоскостей.

3. Задача. Параллелограммы АВСD и А₁В₁СD не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей (ВСС₁ ) и (АDD₁).

4.Задача. Постройте сечение куба плоскостью параллельной плоскости (ВА₁С₁) и содержащей точку К. Вычислите площадь построенного сечения, если ВС=а, КВ=КВ₁.

                                                                              D₁                        С₁

 

                                                                     А₁                             

 

 

                                                                                                          С

 

                                                                      А                         В

 

 

Билет № 9

1.     Дайте определение параллельных плоскостей.

2.     Сформулируйте и докажите теорему о существовании плоскости, параллельной данной..

3.     Задача.  Постройте сечение куба АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ВС и А₁В₁ и параллельной диагональному сечению АА₁С₁С. Вычислите площадь полученного сечения, если АВ=12.

                                                             D₁                                    С₁

                                                    А₁                                   

                                                                                       С

                                                   А                            В

4.     Задача.   Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁, стоящий на плоскости L. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости L и (А₁КС₁). Найдите площадь сечения куба плоскостью (А₁КС₁), если АВ=15 и ВК:ВВ₁=1:4.

                                                                   D₁                                  С₁

                                                      А₁

                                                                                            С

                                                     А                        В

 

 

 

Билет № 10

1.     Дайте определение параллельных плоскостей.

2.     Сформулируйте свойства параллельных плоскостей и докажите одно из них по выбору.

3.     Задача. Даны две параллельные плоскости. Через точки М и N одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения с другой плоскость в точках М₁ и N₁. Чему равен периметр четырехугольника МNN₁M₁, если MN=MN₁=8см?

4.     Задача. Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей L и β, поведены три луча, пересекающие плоскости  L и β соответственно в точках А,В,С и А₁,В₁,С_1,  причем ОА < ОА₁. Найдите периметр ∆ А₁В₁С₁, если ОА=m, AA₁=n, AB=c, AC=в, ВС=а.

Краткое описание документа:

Разработка содержит два зачета по основным темам геометрии в 10 классе для обучающихся по учебнику А.В. Погорелова: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ и ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. Каждый зачет содержат теоретические вопросы и две задачи.

Автор считает, что для более глубокого усвоения и понимания геометрии нельзя отказываться от доказательства теорем на уроках. Автору известно, что в связи с введением в школах ОГЭ и ЕГЭ, многие учителят не уделяют должного внимания теоретическим вопросам в курсе геометрии, заменяя их решением задач. Но геометрия по сути - это и есть доказательства тех или иных умозаключений, а вычислительные действия - это суть арифметика в геометрии.