Зачеты по геометрии 9 класс

Зачет № 2.  9 класс

Тема: Решение треугольников

Билет № 1

1.     Запишите основное тригонометрическое тождество и формулу, связывающую синус, косинус, тангенс одного угла.

2.     Докажите теорему о площади треугольника через синус угла.

3.     Задача.  Две стороны треугольника равны 20 см  и 14 см , а косинус угла между ними равен – 4/5. Найдите площадь этого треугольника.

Билет № 2

1.     Определение тангенса острого угла. Значение tg 30 ⁰ ; tg 45 ⁰ ; tg 60 ⁰ (без вывода).

2.     Докажите теорему о площади параллелограмма через синус угла.

3.     Задача. Угол параллелограмма равен 120 ⁰ , большая диагональ 14 см, а одна из сторон 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет  № 3

1.     Определение синуса острого угла. Значение  Sin 30 ⁰ ; Sin 45 ⁰ ; Sin 60 ⁰ .

2.     Докажите теорему синусов. Сформулируйте замечание из этой теоремы.

3.     Задача.. Наименьшая сторона треугольника равна  7 √2 см , а два угла тре-

     угольника равны 105 ⁰ и 45 ⁰ . Найдите среднюю сторону этого треугольника.

Билет  № 4

1.     Определение косинуса острого угла. Значение    Cos 30 ⁰ ; Cos 45 ⁰ ; Cos 60 ⁰ .

2.     Докажите теорему косинусов. Сформулируйте следствие из этой теоремы.

3.     Задача. В параллелограмме биссектриса тупого угла, равного 120 ⁰ , делит

     сторону параллелограмма на отрезки 15 см  и 10 см , начиная от вершины

     острого угла. Найдите биссектрису и большую диагональ параллелограмма.

Билет № 5

1.     Определение тангенса острого угла. Значение tg 120 ⁰ ; tg 135 ⁰ ; tg 150 ⁰ (без вывода).

2.     Расскажите о решении треугольника по двум сторонам и углу между ними..

3. Задача .  Дано:  ∆ АВС  АВ = 7√3 см , ВС = 1 см , ÐВ  = 150 ⁰ . Решите треугольник.

Билет № 6

1.     Определение синуса острого угла. Значение  Sin 120 ⁰ ; Sin 135 ⁰ ; Sin 150 ⁰ .

2. Расскажите о решении треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

3.     Задача. Дано:  ∆ АВС, АС = 4 см , ÐВ =20 ⁰ , ÐС = 105 ⁰. Решите треугольник.

Билет № 7

1. Определение косинуса острого угла. Значение    Cos 120 ⁰ ; Cos 135 ⁰ ; Cos 150 ⁰ .

2. Расскажите о решении треугольника по трем сторонам.

3. Задача. Дано:  ∆ АВС, АВ = 4 см , ВС = 5 см , АС = 7 см . Решите треугольник.

Билет № 8

1.     Определение угла между двумя векторами. Определение перпендикулярных векторов.

2.     Докажите признак и свойство перпендикулярности двух векторов. Чему равен скалярный квадрат вектора?

3. Задача. Вычислите | 2 а  -  в  | , если известно, что  | а  | = 1 ,  |  в  | = 3√3 см ,

                     а  ^  в  = 150 ⁰.                           

 

Билет № 9

1.     Определение скалярного произведения двух векторов.

2.     Докажите теорему о скалярном произведении двух векторов.

3.     Задача..  Даны точки А (0 , 0), В (2 ; 2), С (5 ,-1). Найдите скалярное произведение   АС ·  СВ. Докажите, что  ∆ АВС – прямоугольный.

Зачет № 1.

по геометрии в 9 классе

Тема: Векторы

Билет № 1

1.     Дайте определение вектора, длины вектора. Выведите формулу длины вектора через его координаты.

2.     Задача. Даны векторы  а    (-5;1) ; в  (0;-3) ; с  (4;-2). Найдите длину вектора:

 

1)    т  =  а  -  3  в  +  2 с

 

                                         2) п   =  - 2  а  +  в  - ½ с

Билет № 2

1.     Дайте определение коллинеарных векторов. Докажите теорему о коллинеарных векторах.

2.     Задача. Даны векторы   а (х ; -2) ,  в  (2 ; -4) ,  с  (-3 ; 6). При каком значении х векторы  а   и  т  = 3 (  а   - в  ) + с  коллинеарны?

Билет  № 3

1.     Дайте определение равных и противоположных векторов. Расскажите о правилах сложения векторов (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника).

2.     Задача. В равностороннем  ∆ АВС  АD – биссектриса. Найдите

 

     | СВ  +  DС  - DА |  , если АВ = √3 см.

Билет  № 4

1.     Дайте определение нулевого и единичного векторов. Расскажите о построении разности двух векторов.

2.     Задача. В ∆ АВС  М – точка пересечения медиан,  МА  = а  ,  МС  = с  .

 

Выразите векторы  ВА ,СВ , АС  через а  и  с .                                                   

Билет № 5

1.     Дайте определение умножения вектора на число. Как найти координаты суммы двух векторов? (Докажите правило 1).

2.     Задача. Начертите два неколлинеарных вектора а   и  в  и постройте вектор

 т = ½ ( 3 а  + 2  в  -  3  в ). Найдите координаты  вектора  т  , если  а (-2 ; 4) ,

 в (8 ; -4).

Билет № 6

1.     Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

2.     Задача. Дано: АВСD – параллелограмм.                            В                     N          С

 

ОС  = а  ;  ОD  = в  , АМ=МВ

     ВN : NC = 2 : 1 ,  АК : КD =  1 : 2                                М                                   L

Выразите векторы МN  и  КВ через векторы

а   и   в . 

                                                                                          А          К                     D

 

 

Билет № 7

1.     Дайте определение координатных векторов. Как найти координаты разности двух векторов?( Докажите правило 2).

2.     Задача. Разложите вектор d (3 : -6) по векторам  в (2 ; - 4) и  с (-3 ; 6). Постройте вектор d в системе координат. 

Билет № 8

1.     Дайте определение координат вектора. Как найти координаты произведения вектора на число? (Докажите правило 3). Сформулируйте следствие из этого правила.

2.     Задача. Запишите разложение вектора п = - а + ½ в – в  по координатным

     векторам и постройте вектор п в системе координат, если  а (-; -)

     и  в (4√3 ; √2).

 

 

Билет № 9

1.     Дайте определение радиус – вектора.. Выведите формулу для нахождения

    координат вектора через координаты его конца и начала.

2. Задача..  Даны точки А (2 , 3), В (-2 ; 0), С (2 ,-3). Разложите вектор ВО по векторам АВ и СВ. Здесь точка О – начало координат.

Билет № 10

1.     Как найти расстояние между двумя точками, если известны координаты этих точек? Выведите формулу для вычисления координат середины отрезка.

2.     Задача. В ∆АВС , МN - средняя линия, М Є АВ , N Є BC , O – пересечение

     медиан. Найдите координаты вершин треугольника, если М (0 ;-3), N (-2;3),

    O (-1;2).Чему равны длины медиан  AN и СМ ?

Билет № 11

1.     Выведите уравнение окружности.

2.     Задача. Начертите окружность, заданную уравнением х² – 4х +у² +6у +8=0 и найдите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

Билет № 12

1.     Выведите уравнение прямой.

2.     Задача. Даны точки А (-2 ;3) , В (2 ; 0) , С (-2 ;-3). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ  ∆ АВС и постройте эту прямую в системе координат.

Краткое описание документа:

Разработка содержит два зачета по основным темам геометрии в 9 классе для обучающихся по учебнику Л.С. Атанасяна:ВЕКТОРЫ, МЕТОД КООРДИНАТ и РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Каждый зачет содержат теоретические вопросы и задачу.

Автор считает, что для более глубокого усвоения и понимания геометрии нельзя отказываться от доказательства теорем на уроках. Автору известно, что в связи с введением в школах ОГЭ и ЕГЭ, многие учителят не уделяют должного внимания на теоретические вопросы в курсе геометрии, заменяя их решением задач. Но геометрия по сути - это и есть доказательства тех или иных умозаключений, а вычислительные действия - это суть арифметика в геометрии.