Задачи на построение сечений параллелепипеда

Урок по теме «Задачи на построение сечений параллелепипеда»

Цели урока:

1. Рассмотреть различные виды сечений параллелепипеда

2. Установить взаимосвязь между видом сечения и расположением точек на ребрах параллелепипеда

3. Выработать навыки построения сечений.

4. Развивать умение сравнивать, анализировать, делать выводы.

Оборудование: мультимедийный проектор, комплекс учебных интерактивных наглядных пособия «Наглядная  математика»

Структура урока:

1. Организационный момент                               

2. Повторение изученного материала.                 

3. Поисковая деятельность.       

4. Закрепление изученного материала.               

5. Самостоятельная работа (2 варианта)               

6. Домашнее задание                                               

7. Итог урока

Ход урока:

1. Актуализация знаний.

Повторим формулировки аксиом А1 А2 , А3

(А1 Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит  плоскость и притом только одна.  А2. Если  две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они  пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.)

Давайте вспомним еще некоторые вопросы теории.

Что значит построить сечение многогранника?

Построить  сечение  многогранника  плоскостью – это  значит  указать  точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Что такое секущая плоскость?

Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры

Как можно задать секущую плоскость?

3 точками,  прямой и не лежащей на ней точкой, 2 параллельными прямыми, 2 пересекающимися прямыми)

На самом деле при пересечении секущей плоскости и многогранни ка могут получаться различные фигуры: точка, отрезок, пустая фигура.

Если  при  пересечении  секущей  плоскости  и  многогранника  получается многоугольник,  то  этот  многоугольник  называется  сечением  многогранника плоскостью

2. Повторение свойств параллелепипеда

Рассмотрим параллелепипед АВСDА1B1C1D1. Вспомним его свойства.

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы АВСD и А1B1C1D1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A1D1 = B1C1

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD1 и B1D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

3. Задача 1 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью А1В1М, где .

Решение (см. рис. 1)

1 способ

Соединим точки А1 и М. Эти точки лежат одновременно в плоскости AA1D1 и в секущей плоскости. Значит, А1М – линия пересечения этих плоскостей.

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую MN параллельно А1В1, . Соединим точки В1 и N. A1B1NM - искомое сечение. Заметим, что A1B1NM – параллелограмм. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда, нужно найти площадь полученного параллелограмма.

2 способ

Соединим точки А1 и М.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую B1N параллельно А1M, . Соединим точки M и N. A1B1NM - искомое сечение.

4. Задача 2 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью Р1Р2Р3, где P1 принадлежит AA1, P2 принадлежит BB1, P3 - СС1   (рис. 2).

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным. И соответственно, площадь сечения параллелепипеда нужно было бы считать по разным формулам.

Решение:

Соединим точки Р1и Р2 и получим прямую Р1Р2 – линию пересечения плоскости АВВ1 и секущей плоскости.

Соединим точки Р3и Р2 и получим прямую Р3Р2 – линию пересечения плоскости СВВ1 и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую Р1S1 параллельно Р3Р2, S1 принадлежит AD.

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую P3S2 параллельно P1P2,  S2 принадлежит DC.

Соединим точки S1 и S1. Пятиугольник Р1Р2Р3S2S1- искомое сечение.

5. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой.

1. Построить  сечение  параллелепипеда,  проходящее  через  3  точки. (Рис.3)

2. Построить  сечение  параллелепипеда,  проходящее  через  3  точки. (Рис.4 )

Итог урока:

Построить  сечение  многогранника  плоскостью – это  значит  указать  точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками,  принадлежащими  граням  многогранника.

Наибольшее  число  сторон многоугольника  полученного  в  сечении  многогранника плоскостью, равно  числу граней многогранника.

Если секущая плоскость пересекает 2 противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то это отрезки параллельны.

Домашнее задание

Построить сечения параллелепипеда, ABCDA1B1C1D1

а) через точки MNP, M принадлежит ребру BB1, N принадлежит ребру B1C1 и P - ребру CC1

б) через точки MB1C, M принадлежит ребру AA1