Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика СтатьиЗадачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

библиотека
материалов

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла,

интегрируемость функции

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Отрезок [а, b] принято называть основанием криволинейной трапеции.

Поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции при условии, что f(x)0. Для решения этой задачи разобьем отрезок [а, b] на n частей точками а= х0х1х2 ... хn=n. (1)

Обозначим длину частичного отрезка [хк-1, хк] через хк, а хк=. Будем называть мелкостью разбиения Т = отрезка [а, b].

y









O a x1 x2 xk-1 xk b x Выберем на каждом частичном отрезке [хк-1, хк] (к=1, 2, ..., n) произвольную

точку к  [хк-1, хк]. Вычислим в этих точках значения функции f(к) и составим сумму

=f(к) хк (2)

С геометрической точки зрения сумма (2) представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки [хк-1, хк], а длины высот

равны значениям функции f(к). Определим теперь площадь криволинейной трапеции как предел суммы при стремлении к нулю, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка (1) на части, ни от выбора точек (к) на каждом частичном отрезке.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции

S = f(к)хк (3)

Следовательно, задача об отыскании площади криволинейной трапеции сводится к отысканию предела (3).

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

Пусть материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью Ох. Если это движение совершается под действием постоянной силы F направленной вдоль той же прямой, то работа, совершаемая силой F по перемещению материальной точки на расстояние s, вычисляется по формуле W=Fs. Пусть теперь движение материальной точки совершается под действием переменной силы

F=f(x) направленной вдоль той же прямой, где f(x) есть непрерывная функция х – абсциссы движущейся точки. Рассмотрим работу силы F при передвижении точки от а до b.

Разобьем отрезок [а, b] точками (1) на n частей. Выберем на каждом частичном отрезке [хк-1, хк] (к=1, 2, ..., n) по произвольной точке (к)[хк-1, хк]. Вычислим в этих точках значения функции f(к). Обозначим . Считая силу F постоянной на отрезке [хк-1, хк] и равной f(к), мы найдем работу, совершенную на отрезке [хк-1, хк], по формуле Wk=f(к)хк. Тогда суммарная работа на отрезке [а, b] Wn = f(к)хк

В силу непрерывности функции f(x) произведение f(к)хк близко к истинной работе на отрезке [хк-1, хк], если хк достаточно мало. Поэтому работа силы F=f(x) при передвижении точки от а до b может быть определена равенством W=f(к)хк

Таким образом, задача о вычислении работы переменной силы F=f(x) также сводится к отысканию предела (3). Рассмотренные две задачи приводят к необходимости изучения конструкции, в которой требуется находить предел суммы произведений значений функции на длины некоторых отрезков при условии, что максимальные длины отрезков стремятся к нулю.

Интегрируемость функции и определенный интеграл.

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b], аb. Разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезов точками а = х0х1х2 ...  хn= b (4)

Длину k-го частичного отрезка [хк-1, хк] (k = 1, 2, ..., n) обозначим хк=хк-хк-1. В каждом k-том частичном отрезке выберем произвольную точку к[хк-1, хк].

Определение 1. Число  = f(к)хк (5)

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению отрезка (1) и данному выбору точек к на частичных отрезках. Обозначим и назовем мелкостью разбиения отрезка [а, b].

Определение 2. Число J называется пределом интегральных сумм  при  0, если  0  0 к[хк-1, хк], (   - J ).

Принято обозначение J=f(к)хк (6)

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, b], если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при 0. Этот предел J называют определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b] и обозначают J=dx (7)

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, можем сказать, что с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции f(x) представляет собой площадь криволинейно трапеции, основанием которой является отрезок [а, b].

Аналогично, задача о работе переменной силы F=f(x) позволяет утверждать, что с точки зрения механики определенный интеграл (7) представляет собой работу, совершенную переменной силой f(x) по перемещению материальной точки от а до b.

Простым примером интегрируемой на любом конечном отрезке [а, b] функции является функция f(x) = c = const. Действительно, при любом разбиении отрезка [а, b] на части интегральная сумма для этой функции

=схк = схк = с(b) и, следовательно, J = = с(b-а)

Легко показать, что неограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) не интегрируема по Риману на этом отрезке. В самом деле, если функция f(x) не ограничена на [а, b], то она не ограничена на некотором k-ом отрезке [хк-1, хк] данного разбиения (4). Поэтому слагаемое в интегральной сумме f(к)хк, соответствующей разбиению (4), может быть сделано как угодно большим по модулю за счет выбора точки к . Отсюда вытекает, что интегральные суммы (5), соответствующие разбиению (4), не ограничены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.

Но не всякая ограниченная функция интегрируема по Риману. Соответствующим примером может служить известная функция Дирихле.

D(х) =

Для этой функции при любом разбиении отрезка [а, b] на части, выбирая точки к рациональными, получим =D(к)хк =1хк = b - а, а выбирая точки к иррациональными, получим =D(к)хк =0хк = 0.

Поэтому для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, и, следовательно, она не интегрируема по Риману.



4

Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.