Задачи,
приводящие к понятию определенного интеграла,
интегрируемость функции
1.
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определение. Криволинейной
трапецией называется плоская фигура, ограниченная
кривой у=f(x),
осью Ох и прямыми х=а и х=b.
Отрезок [а, b]
принято называть основанием криволинейной трапеции.
Поставим задачу о вычислении площади
криволинейной трапеции при условии, что f(x)³0.
Для решения этой задачи разобьем отрезок [а, b]
на n
частей точками а= х0<
х1< х2<
...< хn=n.
(1)
Обозначим длину частичного отрезка [хк-1,
хк] через Dхк,
а Dхк=l.
Будем называть l мелкостью разбиения Т
= отрезка [а,
b].
y
O a
x1
x2
xk-1x
xk
b
x
Выберем на каждом частичном отрезке [хк-1,
хк] (к=1, 2, ..., n)
произвольную
|
точку
xк
Î [хк-1, хк].
Вычислим в этих точках значения функции f(xк)
и составим сумму
s
=f(xк)
D
хк (2)
С
геометрической точки зрения сумма (2) представляет собой сумму площадей
прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки [хк-1,
хк], а длины высот
|
равны
значениям функции f(xк).
Определим теперь площадь криволинейной трапеции как предел суммы s
при стремлении l к нулю, если этот предел
существует и не зависит от способа разбиения отрезка (1) на части, ни от выбора
точек (xк)
на каждом частичном отрезке.
Таким образом, площадь криволинейной
трапеции
S
= f(xк)Dхк (3)
Следовательно, задача
об отыскании площади криволинейной трапеции сводится к отысканию предела (3).
2. Задача
о вычислении работы переменной силы.
Пусть материальная
точка движется по прямой, совпадающей с осью Ох. Если это движение
совершается под действием постоянной силы F направленной вдоль
той же прямой, то работа, совершаемая силой F по перемещению
материальной точки на расстояние s, вычисляется по формуле W=F×s.
Пусть теперь движение материальной точки совершается под действием переменной
силы
F=f(x)
направленной вдоль той же прямой, где f(x) есть непрерывная функция х – абсциссы движущейся
точки. Рассмотрим работу силы F при передвижении точки от а до b.
Разобьем отрезок [а,
b]
точками (1) на n частей. Выберем на каждом частичном отрезке [хк-1,
хк] (к=1, 2, ..., n)
по произвольной точке (xк)Î[хк-1,
хк]. Вычислим в этих точках значения функции f(xк).
Обозначим . Считая силу F
постоянной на отрезке [хк-1, хк]
и равной f(xк), мы найдем работу, совершенную на отрезке [хк-1,
хк], по формуле DWk=f(xк)Dхк.
Тогда суммарная работа на отрезке [а, b]
Wn
= f(xк)Dхк
В силу непрерывности
функции f(x) произведение f(xк)Dхк близко к истинной работе на отрезке [хк-1,
хк], если Dхк достаточно мало. Поэтому работа силы F=f(x)
при передвижении точки от а до b может быть определена равенством W=f(xк)Dхк
Таким образом, задача
о вычислении работы переменной силы F=f(x) также сводится к отысканию предела (3). Рассмотренные
две задачи приводят к необходимости изучения конструкции, в которой требуется
находить предел суммы произведений значений функции на длины некоторых отрезков
при условии, что максимальные длины отрезков стремятся к нулю.
Интегрируемость функции и определенный интеграл.
Пусть функция f(x)
задана на отрезке [а, b], а< b. Разобьем отрезок [а, b] на
n
частичных отрезов точками а = х0< х1< х2< ... < хn= b
(4)
Длину k-го частичного отрезка [хк-1,
хк] (k
= 1, 2, ..., n)
обозначим Dхк=хк-хк-1.
В каждом k-том частичном отрезке
выберем произвольную точку xкÎ[хк-1,
хк].
Определение 1. Число
s = f(xк)Dхк (5)
называется интегральной суммой функции f(x),
соответствующей данному разбиению отрезка (1) и данному выбору точек xк на частичных отрезках. Обозначим и
назовем мелкостью разбиения отрезка [а, b].
Определение 2. Число
J
называется пределом интегральных сумм s
при l® 0, если "e > 0 $ d > 0 "xкÎ[хк-1, хк],
(l < d Þ½d - J½ < e).
Принято обозначение J=f(xк)Dхк (6)
Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [а,
b],
если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при l®0. Этот предел J называют
определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]
и обозначают J=dx (7)
Возвращаясь к задаче
о площади криволинейной трапеции, можем сказать, что с геометрической точки
зрения определенный интеграл от неотрицательной функции f(x)
представляет собой площадь криволинейно трапеции, основанием которой является
отрезок [а, b].
Аналогично, задача о
работе переменной силы F=f(x) позволяет утверждать, что с точки зрения механики
определенный интеграл (7) представляет собой работу, совершенную переменной
силой f(x) по перемещению материальной точки от а до b.
Простым примером
интегрируемой на любом конечном отрезке [а, b]
функции является функция f(x) = c = const. Действительно, при любом разбиении отрезка [а, b] на
части интегральная сумма для этой функции
s =с×Dхк
= сDхк
= с(b-а)
и, следовательно, J
= s
= с(b-а)
Легко показать, что
неограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) не интегрируема по Риману на этом отрезке. В самом
деле, если функция f(x) не ограничена на [а, b],
то она не ограничена на некотором k-ом отрезке [хк-1,
хк] данного разбиения (4). Поэтому слагаемое в интегральной
сумме f(xк)Dхк, соответствующей разбиению (4), может быть сделано как угодно большим
по модулю за счет выбора точки x к . Отсюда вытекает, что интегральные суммы (5), соответствующие разбиению
(4), не ограничены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.
Но не всякая
ограниченная функция интегрируема по Риману. Соответствующим примером может
служить известная функция Дирихле.
D(х)
=
Для этой функции при
любом разбиении отрезка [а, b] на части, выбирая точки xк рациональными, получим s
=D(xк)Dхк =1×Dхк = b - а, а
выбирая точки xк иррациональными, получим s
=D(xк)Dхк =0×Dхк = 0.
Поэтому для функции
Дирихле не существует предела интегральных сумм, и, следовательно, она не
интегрируема по Риману.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.