Занятие по математике «Магические квадраты» для 6 класса

Интеллектуальный клуб «Сова».

Занятие по математике «Магические квадраты»

Цели: развитие логического мышления, сообразительности, интереса к предмету

Задачи:

·         Рассмотреть различные способы составления магических квадратов и области их применения.

·         Совершенствовать навыки устного счетаформировать умение использовать знания в нестандартной ситуации;

• формировать товарищеские доброжелательные отношения к членам команды и соперникам,

Ход проведения занятия:

 (При входе в аудиторию ребята получают по магическому квадрату красного, синего или желтого цвета)

1.      Вступительное слово учителя

Среди занимательных задач теории чисел в число интереснейших входят те, которые связаны с магическими (волшебными) квадратами. Учение о них занимало значительное место в древние времена.

Существует такое предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, однажды увидел на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире. (на доске рисунок черепахи)
Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

Если сложить числа первой строки, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки.
При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям: 4 + 5 + 6 = 15, 8 + 5 + 2 = 15.
Символ, изображенный на рисунке, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством,  с тех пор называют магическими квадратами.
Магические квадраты - это таблицы чисел, в которых суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей квадрата все равны между собой.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M

Из всякого магического квадрата путем различных перестановок составляющих его чисел можно получить множество новых магических квадратов, обладающих теми же свойствами.

Известно, что магических квадратов 2х2 не существует (может быть, кто-нибудь это докажет?). 

Магический квадрат 3х3 только один. 

Магических квадратов 4х4, как на картине Дюрера, составлено уже 800, а количество магических квадратов 5х5 близко к четверти миллиона!

{\displaystyle n^{2}}9

2.       Разминка

Впишите в пустые клетки вашего  квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим:

18		14		380					18
	15				230				14	12
		12		180		80		15	10

3.      Работа в группах

Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от {\displaystyle 1}1 до n².

Как  же составить нормальный магический квадрат, затрачивая минимальное время, если в квадрат не вписано ни одного числа?

 Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Я предлагаю вам, работая в группах разобраться с одним из способов построения магического квадрата и составить квадрат 5-го порядка. Группы создадим по цвету ваших квадратов. (Приложение)

По одному представителю от групп выходят для защиты получившегося квадрата.

4.      Коллективная работа.

Где же применяются магические квадраты. Например, при шифрование текстов.

На полу мелом изображен квадрат 5-го порядка с буквами. Вам нужно прочитать зашифрованное предложение.

е	т	г	и	с
у	и	р	е	с
я	ы	в	о	т
т	к	н	ы	я
а	н	м	р	с

Для этого я вам даю ключ. Ключом является нормальный магический квадрат 5-го порядка.

3	16	9	22	15
20	8	21	14	2
7	25	13	1	19
24	12	5	18	6
11	4	17	10	23

Зашифровано название мероприятия, которое пройдет сегодня в поселке – осенняя игра квест «Мы туристы»

5.      Итог занятия

Подведем итоги занятия.

Продолжите предложения, используя следующие шаблоны: Карточки с шаблонами прикреплены к доске магнитами. Ребята вписывают составленное продолжение предложения)

1. сегодня я узнал…
2. мне было интересно…
3. мне было трудно…
4. я выполнял задания…
5. я понял, что…
6. теперь я могу…
7. я почувствовал, что…
8. я приобрел…
9. я научился…
10. у меня получилось …
11. я смог…
12. я попробую…
13. меня удивило…
14. мне захотелось…

Озвучьте свои предложения и составьте из карточек на доске квадрат.

Спасибо за внимание!

Приложение

1 группа

Метод Террас

Рассмотрим удобный способ заполнения магического квадрата 3-го порядка. Наш квадрат разделен на 9 равных клеток. Необходимо расставить в этих клетках числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбике равнялась 15. 

    
Рис. 1.                    Рис. 2.                     Рис. 3.                    Рис. 4.                    Рис. 5.

1. Добавим «крылышки» в средний столбец и в среднюю строку. 
2. Выделим по диагоналям клетки, которые мы заполним числами. 
3. Запишем в выделенные клетки числа от 1 до 9. 
4. Перенесем числа из «крылышек» во внутреннюю часть квадрата, как показано на рисунках 3, 4,
   

2 группа

Шахматный подход.

Правила очень просты.

1.  Если порядок квадрата n не кратен 3, то число 1 вписывается в любую ячейку квадрата; если порядок квадрата n кратен 3, то число 1 вписывается в середину нижней строки.

2.  Последовательно вписываем числа в естественном порядке, двигаясь ходом шахматного коня вверх и направо. Как только число выходит за пределы квадрата, перенесём его в эквивалентную ячейку внутри квадрата.

3.  Если ячейка, в которую должно быть вписано число z+1, уже занята другим числом, то вписываем число z+1 в ячейку, расположенную в том же вертикальном ряду, что и ячейка с числом z, но находящуюся на четыре ячейки выше.

Проиллюстрирую построение магического квадрата 5-ого порядка методом Москопула (рис. 1).

			21
	6
	12	25	8	16	4
	18		14	22	10
11	24	7	20	3
17	5	13	21	9	17
23	6	19	2	15	23
4	12	25	8	16
10	18	1	14	22

Рис. 1

3  группа

Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел:

1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:

                 1    2    3

                 4    5    6

                 7    8    9

2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:

                 9    2    7

                 4    5    6

                 3    8    1

3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

                  4   9    2

                  3   5    7

                  8   1    6

Дополнительно

Как составить магический квадрат?
1) В квадрат  вписать числа:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80
таким образом, чтобы он стал магическим.
Впишем все эти числа в квадрат от наименьшего к наибольшему числу (шаг 1).
Теперь по диагональ вычеркнем все числа (шаг 2).
Наибольшее из вычеркнутых чисел вписывается в левый верхний угол и оставшиеся числа от него расставляются в порядке убывания (шаг 3).

5	10	15	20			10	15			80	10	15	65
25	30	35	40		25			40		25	55	50	40
45	50	55	60		45			60		45	35	30	60
65	70	75	80			70	75			20	70	75	5

Проверим, является ли получившийся квадрат магическим.
80 + 10 + 15 + 65 = 170;
80 + 55 + 30 + 5 = 170;