Занятие по теме «Применение производной к исследованию функции и построение ее графика»

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Государственное автономное образовательное учреждение среднего

Профессионального образования Свердловской области

“Уральский политехнический колледж”

Занятие по теме «Применение производной к исследованию функции и построение ее графика»

Для специальности

230115 «Право и основы социального обеспечения»

1 курс

Разработал преподаватель математики 1 категории

Лазарева Надежда Петровна

Екатеринбург 2015

Цели урока:

Образовательные:

•         систематизировать пройденный материал по производным и функциям;

•         научить учащихся исследовать функцию с помощью производной и строить её график;

•         развивать вычислительные навыки.

Развивающие:

•         умение применять полученные знания при изучении нового материала;

•         развитие элементов творческой деятельности;

•         развитие целеустремлённости в достижении поставленной цели.

Воспитательные:

•         воспитывать самостоятельность и ответственное отношение к своему делу;

•         воспитывать умение выстраивать отношения в диалоге с товарищами и учителем, чувства взаимопомощи;

•         воспитание интереса к математике.

Оборудование:

•         Справочный материал для библиотеки;

•         Карточки для индивидуальной работы;

•         Карточки для групп при составлении плана;

•         Бейджики с указанием специалистов на данный урок(научный сотрудник, менеджер, профессор, академик, журналист)

•         Компьютер,(желательно)

Форма работы: групповая, одноуровневая.

Форма занятия: Лекция, деловая игра с применением элементов проектно-исследовательской технологии. 

Средства обучения: наглядность,учебник,дидактический материал

Форма контроля:  Листы самооценки, выставление оценок

Поощрение учащихся: Дипломы за участие, благодарности.

План урока:

1.Организационный момент.

2.Актуализация опорных знаний.

а) письменная работа индивидуальная б) устная работа

3.Постановка проблемы.

4.Постановка цели урока исходя из проблемы.

5.Мотивация к достижению цели (примеры из жизни)

6.Опорные знания для достижения цели.

7.Выявление темы урока учащимися.

8.Запись в тетрадях темы урока.

9. Применение производной к исследованию функции и построению ее графика:

А) На монотонность

Б) Точек экстремума

В) Экстремумы функции

10.Работа с карточками (согласно плана пункта 9.)составление плана исследования функции. Работа с учебником. Работа с библиотекой (справочным материалом).

12.Решение проблемы по плану исследования.

13.Формулировка Теоремы Ферма и понятие стационарной точки, информация об ученом П.Ферма.

14. Вывод: Работа с карточками (оформление образца пунктов исследования с помощью числовой прямой).

15. План построения графика функции с помощью первой производной.

16. Практическая работа в группах: построение графика функции с помощью первой производной.

17. Заполнение «Таблицы Исследований»

18. Достижение цели.

19.Самостоятельная Оценка выполнения работы: Оценка заполнения таблицы и построения графика.

20. Вручение Дипломов за участие, благодарностей.

21.Задание на дом.

Ход урока:

1.Анализ практической работы по теме «Вычисление производной».

2. Повторение основных формул вычисления производной и правил.

3.  Актуализация опорных знаний.

а) письменная работа индивидуальная дифференцированная (приложение 1)

Научным сотрудникам задания:

Найти область определения.

у = 4х² + 2х – 5

 Задания для  менеджеров №2

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= 6х³ – 8х

Задания для академиков №3

Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

У= х² - 9

Задания для профессоров №4

Проверить четность или нечетность функции.

У= 3х⁴ – 9х²

4.Постановка проблемы. Назвать графики известных функций.

5. Выявление темы урока учащимися

Учащиеся объединяют цель (в начале) урока и понятие производной, и формулируют тему урока.

Тема: “Применение производной к исследованию функции и построение её графика”.

6. Запись в тетрадях темы урока.

 Работа с учебником. Работа с библиотекой (справочным материалом).

А) достаточные условия возрастания и убывания функции

Б)определение точек экстремума . Как найти точки экстремумов функции? Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называютсякритическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум)

(Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с

 «-» на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти стационарные точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и стационарные точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

По алгоритму нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.

Находим  промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

(приложение1)

 Задания для  сотрудников №1

1.Найти критические точки. И промежутки монотонности

У = х⁴ - 8х²

Задания для менеджеров. №2

1.Найти критические точки.

У = х³ - 6х²

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 8х² – 12х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = 2х³ + 4х

Задания для академиков. №3

1.Найти критические точки.

У = х⁵ - 2х⁴

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 10х² – 30х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = -4х³ - 6х

Задания для профессоров. №4

1.Найти критические точки.

У = х⁶ - х⁴

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = -4х² – 24х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = 4х³ - 36х

Задания для домашней работы №5

1.Найти критические точки.

У = х⁴ + 6х²

2.Найти промежутки возрастания, убывания

У = 5х² – 10х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = х³ - 4х

•         исследовать функцию: y=х² +8х+12 у = х⁴ -2х² -3

•         Вопрос учителя: Какие свойства необходимы знать для построения графика функции? (ответы учащихся, перечисляют)

•         Учитель: Найти ответы для нахождения критических точек, промежутков возрастания, убывания поможет... (учащиеся должны ответить что - производная).

7. Составление плана исследования функции и построения графика.

Из набора слов составляем план в алгоритмическом порядке. Выслушиваем учащихся, корректируем. Записываем в тетрадь.

 План исследования.(приложение3)

•         Найти область определения.

•         Область значений (если возможно найти)

•         Исследовать на чётность и нечётность, периодичность (для тригонометрических) функцию.

•         Найти точки пересечения графика с осями координат (с осью Ох и осью Оу)

•         Найти стационарные точки.

•         Найти промежутки монотонности (возрастания и убывания).

•         Найти точки экстремума и экстремум функции(х_max, x_min, y_max, y_min)

•         Построить график.

•         Если необходимо вычислить дополнительные точки.

8.Практическое заданиеИсследоватьфункцую и построить график.

у= 3х - х³ (для научных сотрудников)

У= х³ – 3х(академ)

у = 4х² - х⁴  (менеджеров)

у = х² - 8х+12  (для профессоров)

9. Достижение цели.

 Работают в группах и обсуждают до первого победителя, кто построит правильно график. Проверка. (по готовому рисунку)

10. Задание на дом. Индивидуально-дифференцированная работа. (по карточкам)

Стр. 147 – 148 всем.

№296 (в) – научным сотрудникам

№297(а) – академикам и профессорам

11. Самооценка(приложение №4)

12. Подведение итогов Вручение Дипломов и благодарностей.

Приложение1

Задания для сотрудников №1

1.Найти область определения функции:

У = 4х² + 2х - 5

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= 2х³ – 4х + 1

3.Найти точки пересечения с осями координат.

У= 8х² – 32

Задания для  менеджеров №2

1.Найти область определения функции:

У = 2х² + 3х - 6

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= 6х³ – 8х

3.Найти точки пересечения с осями координат.

У= 4х² - 12

Задания для академиков №3

1.Найти область определения функции:

У = -5х² + 4х - 8

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= х³ – 2х

3.Найти точки пересечения с осями координат.

У= х² - 9

Задания для профессоров №4

1.Найти область определения функции:

У = -х² + 2х - 9

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= 3х⁴ – 9х²

3.Найти точки пересечения с осями координат.

У= 3х² - 15

Задания для домашней работы №5

1.Найти область определения функции:

У = х² - 3х + 6

2.Проверить четность или нечетность функции.

У= 7х⁴ - 14х²

3.Найти точки пересечения с осями координат.

У= 3х² - 27

Приложение2

Задания для  сотрудников №1

1.Найти критические точки.

У = х⁴ - 8х²

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 12х² – 14х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = 3х³ + 6х

Задания для профессоров. №2

1.Найти критические точки.

У = х³ - 6х²

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 8х² – 12х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = 2х³ + 4х

Задания для академиков. №3

1.Найти критические точки.

У = х⁵ - 2х⁴

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 10х² – 30х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = -4х³ - 6х

Задания для профессоров. №4

1.Найти критические точки.

У = х⁶ - х⁴

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = -4х² – 24х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = 4х³ + 36х

Задания для домашней работы №5

1.Найти критические точки.

У = х⁴ + 6х²

2.Найти промежутки возрастания,  убывания

У = 5х² – 10х

3.Найти точки экстремума и экстремум функции.

У = х³ - 4х

План исследования функции

Найти область определения

Исследовать на четность и нечетность, периодичность (для тригонометрических) функцию.

Найти точки пересечения графика с осями координат(осью Ох   (х;0) и осью Оу   (0;у)

Найти критические точки.

Найти промежутки монотонности(возрастания и убывания)

Найти точки экстремума и экстремум функции(хmax, xmin, ymax, ymin)

Используя свои вычисления заполнить таблицу

Построить график.

Если необходимо вычислить дополнительные точки.

Практическое задание Исследовать функцую и построить график.

у= 3х - х³ (для научных сотрудников)

У= х³ – 3х(академиков)

у = 4х² - х⁴   (менеджеров)

у = 4х² + 2х – 5  (для профессо

Исследовать на четность и нечетность, периодичность (для тригонометрических) функцию.

Найти точки пересечения графика с осями координат(осью Ох   (х;0) и осью Оу   (0;у)

Найти критические точки.

Найти промежутки монотонности(возрастания и убывания)

Найти точки экстремума и экстремум функции(хmax, xmin, ymax, ymin)

Используя свои вычисления заполнить таблицу

Построить график.

Если необходимо вычислить дополнительные точки.

Практическое задание Исследоватьфункцую и построить график.

у= 3х - х³ (для научных сотрудников)

У= х³ – 3х(академиков)

у = 4х² - х⁴   (менеджеров)

у = 4х² + 2х – 5  (для профессоров

Приложение №4

Самооценка. Фамилия, имя_______________________________________________

Участие моё в работе группы  На (2,3,4,5)	Участие  моё в составлении плана На (2,3,4,5)	Понятен ли план исследования по алгоритму На (2,3,4,5)	Усвоил тему (хорошо, не очень, плохо)	Интересно ли было на уроке (да,  не очень, нет)	Итоговая оценка моей работы на уроке

Самооценка. Фамилия, имя_______________________________________________

Участие моё в работе группы  На (2,3,4,5)	Участие  моё в составлении плана На (2,3,4,5)	Понятен ли план исследования по алгоритму На (2,3,4,5)	Усвоил тему (хорошо, не очень, плохо)	Интересно ли было на уроке (да,  не очень, нет)	Итоговая оценка моей работы на уроке