"А можно и графически..."(задачи с параметром ( 8-11 класс ))

А можно и графически…

  Как научить (научиться) решать задачи? 

А, если, к тому же, эта задача с параметром? Вопрос достаточно сложный, и не только этот вопрос. 

Когда начинать учить (учиться) решать такие задачи? Какими методами решать? Ответы на эти вопросы каждый может найти сам, с учетом индивидуальных особенностей и наставника, и обучающегося.   

Задача 1.  Для каждого значения параметра  a  решите уравнение  ^{x2 8x7} _0. xa

                                                                                                                  Решение.

                                                              x2 8x7     0   <=>   x2 8x 7  0   <=>   x1; x 7



                                                                    xa                            _xa 0                            _xa

Дальнейший поиск ответа на поставленный вопрос можно осуществить,  проведя соответствующие аналитическими рассуждения, которые могут быть верными или неверными, полными или неполными.

 А можно ответ «увидеть» («прочитать»), изобразив множество точек 

(в параметрической системе координат), координаты которых удовлетворяют  

x1; x 7

                            системе                     .

_xa

                             

Ответ: 1)  x1, если  a7

2)      x7, если  a1

3)      x1; x7, если  a1иa7

Задача 2.  Для каждого значения параметра  a  решите уравнение  x₂ ^x_8x^a_70.

                                                                                                                  Решение.

 

Ответ:   1) xa, если  a1иa7

                  2) нет корней, если a1илиa7

Задачи для самостоятельного решения.

Для каждого значения параметра  a  решите уравнения:  

1)     x1 0; 4) (xa)(x6) 0;            7)  x2 (3a2)x6a 0; xa     x7

2)     xa 0; 5) (x4)(x2) 0;            8)   x5 xa

3)     a(xa) 0; 6) xa 0.            9)  2 x 6  0. x3 (x4)(x2) x (3a  2)x  6a

Задача 3.  Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

x2 (3b²13)xx24b2 2 0 имеет единственный корень. x 

Решение.

x2 (3b²13)xx24b2 2 0   <=>  xxx24(,13.b1)x 2b2  2  0, <=>  xxx _ 2_4b,1. 2; x  b 1 x 

                                   

Ответ: уравнение имеет единственный корень при b_ или b = –2.

Задача 4.  При каких значениях a  уравнение (x – 1)(x – a) = 0 имеет только один корень?

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

( x1)(xa)  0 <=>   x 1 0; x  a  0 <=>  x 1; x  a

                                                                                                                 _x  0                                     x  0

 

Ответ: уравнение имеет единственный корень при  a0 или a1.

Задача 5.  Определите количество корней уравнения |x – a| + 2|x + 1| = 3  в зависимости от значений параметра a.

Решение.

Построим график уравнения в параметрической системе координат  Оха.

x  a  2 x 1  3

.Для построения графика уравнения воспользуемся  методом областей.

Нули модулей: xa;   x1

(границы областей)

Найдем общие точки графика уравнения с границами областей

                        xa                                                                                             x  1

            1)                                                                               2)       

                       _2a1  3                                                                                     _a 1  3

                       xa                                                                                             x  1

                                                                                                                                         

                       _a1  3/2                                                                                   _a  2; a  4

x  a

                                                                                                                     С (-1; 2) ;  D (-1; -4)

_a 1/2; a  5/ 2

          А (1/2; 1/2);  В (-5/2; -5/2)                                                         

 

Ответ: 1) нет корней, если  a < –4 ; a > 2;               2) один корень, если   a = –4 ; a = 2;                3) два корня, если  –4 < a < 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6.  При каких значениях параметра a уравнение | 2|x| – 1 | = x – a имеет три корня?

Ответ: a = _ или a = –1.

Задача 7.  При каких значениях параметра a уравнение 

(a + 4x – x² – 3)(a – 1 – | x – 2 | ) = 0 имеет три корня?

Ответ: a = 1.

Задача 8.  При каких значениях параметра a модуль разности корней уравнения x² – 6x + 12 + a² – 4a = 0 принимает наибольшее значение?

Ответ: при  a = 2.

Задача 9.  При каких значениях параметра a множеством решений неравенства | x – 3 | + | a – 2 |  4 является числовой отрезок, длина которого не больше 4?

Ответ:  при  2a0;  4a6.

Замечание. Рассмотренные задания можно решать на уроках (факультативных занятиях) в 8-9 классах.

Рассмотрим решение более сложных заданий уровня  №18 (С5)  при подготовке к ЕГЭ в 10-11 классах.

Уравнения.

Задача №10.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 

( x3  xa)² 6( x3  xa)5a(65a)  0

имеет ровно два решения.

Решение.

(x3 xa)² 6(x3 xa)925a² 30a9

 

   или    

(зеленый)                                    (бордовый)

Для построения графиков уравнений воспользуемся методом областей

Нули модулей: x3;   xa

(границы областей)

Найдем общие точки графиков уравнений с границами областей

      x  3                                                                                             x  3

1)                                                                               4)       

       _3 a  5^a                                                                                     _a 3  65a

       x3                                                                                               x3

                                                                                           65a 0                                               

        ^{3a 5a                                                                                           }a3 65a; a35a6

x3

    ^_a 0                                                                                               ^_^{x  3}      С (-3; 1/2)

        a35a; a35a                                                                         a 1/ 2



     x  3                                                                                                xa

                             А (-3; 3/4)                                                          5)  

      _a  3/4                                                                                               _a365a

xa

       xa                                                                                                  _

2)                                                                                            65a 0       

        ^{a3 5a                                                                                           }a3 65a; a35a6

xa

    ^_a 0                                                                                               ^_^{x 1/ 2}       D (1/2; 1/2)

       ^a35a; a35a                                                                        ^{a 1/ 2}

x  3/ 4

                           В (3/4; 3/4)                                                          6)   Дополнительные точки  

_a  3/ 4

3)    Дополнительные точки                                                                                М(-4;1/6)   ;    N(2; -1/4)

x	-4	2
a	5/4	7/6

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с построенным множеством ровно две общие точки.

Ответ:  a1/2;a 3/4

Задача №11.

 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 

2a² (x 3)a  x² 3x

² 9         0 x 

имеет ровно один корней.

Решение.

2a² (x 3)a  x² 3x

² 9         0 x 

2a2 (x3)a x2 3x  0  2         9  0    (2) x  a  3 x ;a  x                      2	(1)               (1)    Рассмотрим уравнение как квадратное                относительно параметра   а


                            x  3                       (*)                                            D 9(x1)²

^x  3



                                                                                     a₁  3^x ;   a₂  x

2

                                                                                  А(1;1)     точка пересечения прямых

                                                                     (2)   x² 9    (Запись   x3 считаю ошибочной)

x3

                                                                                                         

_x 3

Построим множество точек в параметрической системе координат  Оах, координаты которых удовлетворяют системе (*)

График уравнения  (1)

 

Построим множество точек в параметрической системе координат  Оах, координаты которых удовлетворяют системе (*)

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с построенным множеством ровно одну общую точку.

Ответ:  a3;  a0; a1

Дополнительные вопросы.

1.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

2.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно два

корня.

3.    Найдите количество корней уравнения в зависимости от параметра а.

Задача №12.

            Найдите все значения параметра а                                                             

2( x 2  x)² 3(a 2)(2 x  x)  a² 3a  0 имеет не менее трёх различных корней.

Решение.

Пусть  x2  x  t , тогда           2t² 3(a2)t a² 3a  0

D  (a6)² t₁  a/2  ;   t₂  a 3

                                        x  2  x  a/2      или     x  2  x  a 3                                      a  2 x  2  2 x                       a  x 2  x 3

Строим графики функций в параметрической системе координат  Оах (используем метод опорных точек)

x	-1	0	2	3		x	-1	0	2	3
a	8	4	4	8		a	7	5	5	7

   (зеленая линия)                                           (бордовая                                                        линия)

Если x1/2, то a(1/2)  6

Если x 5/2, то a(5/2)  6

Найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с построенным множеством не менее трех (три и более) различных  общих точек.

                         

Ответ:  a 4;  5a 6; a 6

Дополнительные вопросы.

1.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

2.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно два корня.

3.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет менее трёх различных корней.

4.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно четыре различных корня.

5.    Найдите количество корней уравнения в зависимости от параметра а.

Задача №13. (Вариант 413 (2016 г.) реальное ЕГЭ)

            Найдите все значения параметра а                                                             

x⁴ 4x² a²  x² 2xa имеет ровно три различных корня.

Решение.

x⁴ 4x² a²  x² 2xa 

Данное уравнение равносильно системе

x⁴ 4x² a²  (x² 2xa)²

^ ² 2xa 0 x 

Найдём все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно три различных решения.

2x³ (4a)x² 2ax 0

                                                                                           _ax2 2x                    

x(x2)(2xa)  0

                                                                                                  _ax2 2x             

x  0; x  2; x  a/2 a (x 1)2 1   (*)

                                                                                                       

Построим множество точек в параметрической системе координат  Оах, координаты которых

удовлетворяют системе (*)

 

Искомое множество точек зелёного цвета:

 

        Найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀)  будут иметь с построенным множеством три различные общие точки:  при a 4; 4 a 0

Ответ:  a 4; 4 a 0

Дополнительные вопросы.

1.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

2.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно два корня.

3.    Найдите количество корней уравнения в зависимости от параметра а.

4.    Решить уравнение с параметром.

Задача 14.

            Найдите все значения параметра а                                                             

(4x  2a 3)(x  2a 3)log₄ x  0

имеет ровно два корня.

Решение.

(4x2a3)(x2a3)log₄ x 0

4x  2a 3  0; x  2a  3  0

                                                                                   или      log₄ x  0

_x  0

                                                                                         x1 

                                                                               (корень исходного уравнения при любом а )

                ^^a2x_ ³2 (1)

^

                   a_ 1 x_ 3    (2)

                   ^    2       2



                       _x0                 (3)

Строим графики функций (1) и (2)  в параметрической системе координат  Оах,  учитывая условие  (3), и прямую  x1(синяя линия)

x	0	1
a	3/2	-1/2

(1)        a  2x             (зеленая линия)   

x	0	1
a	3/2	2

(2)        a  x               (бордовая линия)

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с построенным множеством ровно две общие точки.

                  Ответ:   a1/2; 1/2a3/2;           3/2a2;      a 2

Дополнительные вопросы.

1.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

(a  3/2)

2.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

                                                                                                     (a 1/2;    a  2)

3.    Найдите количество корней уравнения в зависимости от параметра а.

4.    Решите уравнение с параметром.

Задача 15.

            Найдите все значения параметра а                                                             

2

                                                                              xx 1   2a x211 a2 0,25  0

                                                                                   2       1        x 



имеет ровно три различных действительных корня.

Решение.

2

 xx 1  2a x211 a2 0,25  0

                                                                                   2     1           x 

                                                                                     

2

 xx₂11a 0,25  0

^ xx²11^a_ 12___ xx211_a_ 12__{ } 0

                            x 1          1                                                                                              x 1          1

                              ²          1a  2  0                                      или                                        x² 1a  2  0

x 

(1)   a  xx₂^1₁ ¹₂                                                                                       (2)    a  _x^x₂^_¹₁ ¹₂  0

_

Строим графики функций (1) и (2)  в параметрической системе координат  Оах, исследуя их свойства с помощью производной

 (в том числе найдя уравнения асимптот).

Объединение графиков этих функций даст график исходного уравнения.

 

                                                              2                      2

Ответ:   a1/2; a1; a

                                                             2                      2

Задача 16

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  x2 5x10a19 x2

имеет ровно два корня на отрезке  -1; 2,5.

Решение.

           ^x² 5x10  ^{a 19} (x2)             a  x³ 3x² 1    (1)

_

                               x 2                                                              

       _1_ x _ 2,5                                    1 x  2,5    (2)

Строим график функции (1) в параметрической системе координат  Оах,

 учитывая условие  (2)

(1)  a  x³ 3x² 1   

 Исследование свойств функции можно провести с помощью производной. a(x)  (x³ 3x² 1)  3x² 6x  3x(x  2)

Стационарные точки:  x1  0 (точка максимума⁾

                                                                           x₂  2    (точка минтмума)

 

a(0) 1     (максимум функции);    a(2) 3  (минимум функции)

Значения функции на концах отрезка  -1; 2,5:

                                                                             a(1) 3;     a(5/2) 17/8

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с графиком функции (1)  ровно две общие точки на отрезке  -1; 2,5.

Ответ:  уравнение имеет ровно два корня на отрезке  -1; 2,5  при a 3; 17/8a1.

Задача 17.

Для каждого значения параметра  а  решить уравнение x3 ax1  4.

При каких значениях параметра а это уравнение имеет два решения?

Решение.

(1)  Проверка:  x1 корень уравнения при любом действительном значении параметра а.

(2)  Если   x1, то   a

                  Построим график функции  a                  в параметрической системе координат  Оах, перейдя к

«кусочному» заданию функции, используя метод промежутков.

1) D(a) = (; 1)(1; +)

                                                                             1x           x1           x1                    a1

a1  уравнение горизонтальной асимптоты,  А (1;1)  центр симметрии гиперболы,

x	-3	-7
a	-1	0

б) если  3x1, то  a x^3^4  x^1 1,

                                                                                    1x         1x

в) если  x1, то  a  x^3^4  x^1 1,

                                                                         x1         x1

^1 x⁸1, если x3



Вывод:   a1, если 3x1

^1, если x1





 

Объединив построенный график с прямой x1, получим график исходного уравнения.

 

Ответ на основной вопрос «читаем» по графику уравнения:

1)    единственный корень: x1, если  a 1;a 1.

2)    два корня:  x₁ 1; x₂  a ^7 , если  1a1. a 1

3)    3x1,  если  a1.

4)    x1, если a1.

Ответ на дополнительный вопрос:

уравнение имеет два решения при 1a1.

Неравенства.

Задача 18. Найдите все значения параметра  а, при каждом из которых множеством решений неравенства    3 x  xa  2  является отрезок.

Решение.

3x xa  2 xa  2 3x

3 x 2 xa  2 3 x

3 x 2 x  a  2 x 3 x

3x  x2  a  2 x 3x

a  2 x  3 x



a  x  3 x  2

1)          ax 3x2

Графиком функции   ax 3x2  является кривая (1) зелёного цвета.

2)          a2x 3x

Графиком функции   a2x 3x  является кривая (2) бордового цвета.

 Замечание.  Исследование свойств функций можно провести с помощью производной.

 

  Ответ на вопрос задачи читаем используя систему координат Оха.

Ответ:  1a1; a5.

Задача 19 .  Найдите все значения, которые может принимать сумма   х+а,  при условии 

2x42a x2a3.

Решение.

2x42a x2a3

Для построения множества точек плоскости Оxa , координаты которых удовлетворяют неравенству воспользуемся методом областей

Нули модулей 

(границы областей)

ax2;   a2x

        Построив график уравнения          2x42a x2a3   (контур зеленого цвета), 

выделяем, согласно неравенству, внутреннюю область четырехугольника. 

 

1,5  x 1,5



        0,5  a  3,5    

____________

1 x a  5

        Ответ:   1;5.

Задача 20.  

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства   xa  x3a  x² a² содержит ровно четыре целых значения х.

Решение.

xa  x3a  x² a²

Для построения множества точек плоскости Оxa , координаты которых удовлетворяют неравенству воспользуемся методом областей

Нули модулей: xa;   x3a

               (ax/3)

(границы областей:  M, N, F, E)

 

1)     Область M.

M(1;0) - пробная точка:   xa x3a  x² a²;           (x1)² (a1)² 2

                                        O₁(1;1) – центр круга; r 2 – радиус круга.

2)     Область N.

N(0;1) - пробная точка:   ax x3a  x² a²;                   x² (a2)²  4

                                   O₃(0;2) – центр круга; r2– радиус круга.

3)     Область F.

F(-1;0) - пробная точка:   axx3a  x² a² ;                (x1)² (a1)² 2

                                                                                          O₄(-1;-1) – центр круга; r     2 – радиус круга.

4)     Область E.

E(0;-2) - пробная точка:   xax3a  x² a² ;                   x² (a2)² 4

                                   O₂(0;-2) – центр круга; r2– радиус круга.

Замечание: Решая соответствующие уравнения, можно найти координаты 

A, B, C, D точек. 

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (aa₀ )  будут иметь с построенным множеством ровно четыре общие точки с целочисленными абсциссами.

                                                                                    Это выполняется при 2a 0;        0a  2.

                            Ответ:   2a 0;        0a  2

Системы.

Задача 21.  

При каких значения параметра  а  система уравнений 

2x  a  3  2y  a  4

_      имеет ровно два решения?

(x  y  3)(x  y  6)  0

Решение.

2x  a  3  2y  a  4



_(x  y  3)(x  y  6)  0

                                                  2xa32ya4                                                               2xa32ya4

_                        или                     _

                                               _xy30                                                                            _xy60

                                                  2xa32ya4                                                               2xa32ya 4

                                                    

                                             _x3 y                                                                                _x y6

                                                2ya2ya 4                                                                    2y6a32ya 4

   _{                                                          }

                                            _x3^y                                                                                 _xy6

                                           2y  2a  2y  a  4    (1)                                                2y  2a  6  2y  a  4    (2)

                                                            

                                          _x  3  ^y                                                                            _x  y  6

Найдем все значения параметра а, при которых совокупность уравнений  (1)  и  (2) имела  два решения.

(1)      2y2a  2ya  4                                                       (2)      2y2a6  2ya  4                           

Пусть  2y t , тогда

 (1)       t 2a  t a  4                                                              (2)      t2a6  t a  4

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе Оta , используя  метод областей и метод опорных точек

Нули модулей   t 2a;        t a                                                                                    t 2a6;        t a

                       t  2a                                    t  a                                t  2a  6                                t  a

а)                              б) _                          в)                           г)                  

                        _3a  4                                   _3a  4                                _3a  6  4                            _3a  6  4

        a  4/3         a  4/3     a  4/3          a  4/3        a  10/3        a  2/3     a  10/3 a  2/3

                     или                 ;                 или                                         или                ;                    или 

        _t  8/3          _t  8/3      _t  4/3         _t  4/3            _t  2/3           _t 14/3       _t 10/³      _t  2/3

А(8/3; 4/3);  B(-8/3; -4/3);   С(-4/3; 4/3);  D(4/3; -4/3)     М(-2/3; -10/3); N(14/3; -2/3);  P(10/3; -10/3); K(2/3; -2/3)

 

Используя результат построения,    

найдем все значения параметра а, при которых горизонтальные прямые (a  a₀ )  будут иметь с графиками уравнений (1) и (2)  ровно две общие точки.  Это выполняется при 10/3a4/3; 2/3a4/3.

Ответ:  система уравнений имеет ровно два решения при 10/3a4/3; 2/3a4/3.

Задачи для самостоятельного решения.

№	Задача
1.	Решите неравенство:	1)  xx1  a;     2)  xa  x ;      a 3)  x2 1  x ;     4)  x     ;  5) x2  x a 0 x 6)     2x2  xa 9  x2 2x2a 4;     7)     x2 2x2a4  2x2 xa8 .
2.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство  имеет:  1)                  хотя бы одно положительное решение;    2)                  хотя бы одно отрицательное решение; 3) хотя бы одно решение.	1) x2  xa 1;    2) 3 a  x  x2; 3) 2  x2  xa .
3.	Решите неравенство:	(x 1)      a)(x  2a)  0;   2)          x3a           0;                 (x 3a)                        (xa)(x2a) 3) 2a2 x2  x ;    4) xax2;     5) ax x1;    6) xa  a x .    7)    x2  x  a  x .

II. Системы.

№	Задача
1.	Для каждого значения  параметра а решите систему неравенств:	x a  1           xa 1 1)   ;     2)      .         x 3 3a 1            x3  3a1
2.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение системы.	  xx22 (a52a42)x4a2 2a  0    . 
3.	При каких значениях  параметра а   система x2 a2  4 неравенств  xa  0 выполняется при всех  х  из отрезка   2; 3?

Турков А.Ф.

Заслуженный учитель РФ, учитель математики МАОУ «Лицей № 38», 

г. Нижний Новгород

Краткое описание документа:

В публикации рассматривается возможность решения задач (уравнений, неравенств, систем) с параметром в параметрической системе координат. Предлагается оформление достаточно большого количества задач и набор заданий для самостоятельного решения.

Публикация может оказаться полезной не только учащимся 8-11 классов.