Действия над комплексными числами

Тема: Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Цели урока:

• Образовательные – продолжить формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; 
• Развивающие – развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством выполнения тестовых заданий; способствовать формированию навыков  самостоятельной.
• Воспитательные – воспитывать у  учащихся способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя;  воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.

ПЛАН УРОКА

Этапы урока	Действие
1. Орг.момент	Готовность группы к уроку
2. Актуализация знаний	Повторение пройденного материала
3. Закрепление материала	Закрепление материала
4. Домашнее задание	Домашнее задание

Ход урока.

1.       Орг. Момент. Приветствие. Проверить готовность группы к уроку.

2.     Актуализация знаний

- Сегодня на уроке мы с вами продолжим знакомство с полем комплексных чисел. Тема нашего урока «Алгебраические действия над комплексными числами».

Давайте немного вспомним.

И так. –Какое число называется комплексным?

-Какая часть числа называется действительной, какая мнимой?

-Какие действия можно проводить над комплексными числами?

3. Закрепление материала

№1. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i .

Найти:
а)z₁ + z₂;    б) z₁ – z₂;    в) z₁z₂.

Решение.

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;

б) z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i² =  10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 +i

(здесь учтено, что i² = – 1).

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²,
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab ± b³.

№2. Выполнить действия:

а) (2 + 3i)²;    б) (3 – 5i)²;    в) (5 + 3i)³.

Решение.

а) (2 + 3i)² = 4 + 2×2×3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)² = 9 – 2×3×5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

в) (5 + 3i)³ = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i² + 27i³;

так как i² = – 1, а i³ = – i, то получим (5 + 3i)³ = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.

Рассмотрим теперь применение формулы
(a + b)(a – b) = a² – b².     (*)

№3. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i);  

б) (2 + 5i)(2 – 5i);

в) (1 + i)(1 – i).

Решение.

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5² – (3i)² = 25 – 9i² = 25 + 9 = 34;

б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2² – (5i)² = 4 + 25 = 29;

в) (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2.

№4. Выполнить деление:

Решение.

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i;

(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

№5. Решите уравнение:

а) x² – 6x + 13 = 0;    б) 9x² + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то 
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно, 
D = b² – 4ac =12² – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Тренировочные упражнения. Выполняются учащимися в парах за рабочими местами (задания формируются из предложенных ниже)

1-8. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

1) (3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 
3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) + (5 + i).
6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

9-16. Произведите умножение комплексных чисел:

9) (2 + 3i)(5 – 7i). 
10) (6 + 4i)(5 + 2i).
11) (3 – 2i)(7 – i). 
12) (– 2 + 3i)(3 + 5i).
13) (1 –i)(1 + i).
14) (3 + 2i)(1 + i).
15) (6 + 4i)3i.
16) (2 – 3i)(– 5i).

17-24. Выполните действия:

17) (3 + 5i)².
18) (2 – 7i)².
19) (6 + i)².
20) (1 – 5i)².
21) (3 + 2i)³.
22) (3 – 2i)³.
23) (4 + 2i)³.
24) (5 – i)³.

25-30. Выполните действия:

25) (3 + 2i)(3 – 2i). 
26) (5 + i)(5 – i). 
27) (1 – 3i)(1 + 3i). 
28) (7 – 6i)(7 + 6i).
29) (a + bi)(a – bi).
30) (m – ni)(m + ni).

31. Выполните деление:

32-35. Решите уравнения:

32) x² – 4x + 13 = 0.
33) x² + 3x + 4 = 0. 
34) 2,5x² + x + 1 = 0.
35) 4x² – 20x + 26 = 0.

4.     Подведение итогов урока. Домашнее задание:

На  «3» 1. Даны два комплексных числа z₁= (4 + 2i )  и  z₂=(1 – 3i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

На «4-5»:

1.Даны два комплексных числа z₁= (5 + 2i ) и  z₂=(2 – 5i ). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

2.Вычислить:         Ответ:a) 2 + i