Элективный курс "Решение уравнений и неравенств с параметрами"

Пояснительная записка

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно ориентированным и предназначен для учащихся 10 класса общеобразовательной школы для расширения их теоретических и практических навыков.

Практика работы в школе показывает, что задачи с параметрами представляют для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и техническом плане.   Задачи с параметрами – это задачи, в которых проверяется техника владения знаниями элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, уровень логического мышления учащихся.

   Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» знакомит учащихся с методами решения алгебраических задач с параметрами.  К сожалению, в школьной программе для общеобразовательных классов этому типу заданий уделяется очень мало времени, не реализован системный подход в данной методической лини, поэтому содержание курса призвано восполнить данный пробел. Одновременно элективный курс позволяет не только дополнить и углубить знания учащихся, но и развивать их исследовательские умения, логическое мышление. Решение задач с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и задачах смежных предметных областей. Элективный курс рассчитан на 17 аудиторных часов для учащихся 10 классов общеобразовательных школ.

Цели элективного курса:

·      Формирование у учащихся целостного представления о методах решения задач с модулями и параметрами.

·       Развитие творческих способностей школьников при конструировании способов решения задач высокого уровня сложности.

Задачи курса:

• Обобщение и систематизация знаний школьников об уравнениях, неравенствах и способах их решения.
• Расширение и углубление знаний учащихся о методах и приемах решения задач с параметрами;
• Формирование у школьников умения применять знания из разных разделов курса математики для конструирования способа решения задачи в нестандартной ситуации.
• Развитие математического и логического мышления учащихся.

Основные формы проведения занятий: лекция, эвристическая беседа, практикум по решению задач. В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал.  Для получения эффективных результатов имеет смысл использовать компьютер и интерактивную доску, которые помогут как в визуализации результатов работы с данными, так и при решении задач.

       Курс завершается итоговым зачетом. Работа оценивается отметкой «зачтено», если учащийся правильно решил любые три задачи (Приложение 1).  Выполнение №4 и №5 заданий соответствует повышенному уровню освоения содержания курса.

Для обеспечения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметром» используются: 1.      Программа по курсу «Решение уравнений и неравенств с параметром». 2.      Календарно-тематическое планирование курса. 3.      Учебные пособия: ·        Д.А. Айвазян Математика. Решение уравнений и неравенств с параметрами. /авт.сост.Д.А, Айвазян.-Волгоград: Учитель. 2009г. ·        Е.А, Полякова Уравнения и неравенства с параметрами. -М.: Илекса, 2010. -96с. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач. -М: Илекса, 2007 ·        Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение. ·        Севрюков, П.Ф. Школа решения задач с параметрами: учебно-методическое пособие. -М.: Илекса, Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола,2005. -112с ·        Шахмейстер А. Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ.  – СПб. М.: «Петроглиф», 2004. 4.      Технические средства обучения
·        Портативная ПЭВМ (RAYbookSi152)
·        Многофункциональный принтер XeroxSupport:0830-1700hrs
·        Мультимедийный проектор (EPSON)
·        Акустическая система AD-05
·        Экран (навесной)
5.      Учебно-практическое и учебно-лабораторное оборудование
·        Аудиторная доска с магнитной поверхностью
·        Комплект чертежных инструментов (классных): линейка, транспортир, угольник (300, 600,900), циркуль.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны

знать:

·         понятие параметра;

·         что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;

·         основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);

·         алгоритмы решений задач с параметрами;

·         зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

·         свойства функций в задачах с параметрами.

 уметь:

·         определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

·         выполнять равносильные преобразования;

·         применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

·         осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

·         использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;

·         выбирать и записывать ответ;

·        решать линейные, квадратные уравнения и неравенства

Содержание тем курса

Тема 1. Линейные уравнения с параметром. 3часа.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b.. решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений, приводимых к линейным.   Решение линейных неравенств.

Тема 2. Линейные неравенства с параметром. 2 часа

Линейные неравенства с параметрами. Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами. Область допустимых значений параметра в линейных неравенствах. Решение линейных неравенств с параметрами. Зависимость решений от коэффициентов а и в. Решение неравенств приводимых к линейным.

Тема3. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. 5 часов

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений при дополнительных условиях к корням уравнений. Расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа, второго типа.

Тема3. Квадратные неравенства с параметром. 2часа.

Понятие квадратного неравенства с параметром. Алгоритм решения. Зависимость решения от коэффициента а и дискриминанта.  Решение неравенств методом интервалов. Решение неравенств с параметрами, приводимых к квадратным.

Тема 4. Функционально-графические методы решения задач с параметрами. 3часа

           Графический метод решения линейных и квадратных неравенств с параметрами. Решение задач с параметром с помощью: фазовой плоскости; «пучка прямых на плоскости». Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

Итоговый зачет по курсу 1ч.

Решение линейных  и квадратных уравнений с параметрами,

Решение линейных  и квадратных неравенств с параметрами.

Приложение

Задания к итоговому зачету по курсу

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

Вариант 1.	Вариант 2.
1.      Решите уравнение: 2а(а-2)х=а-2.	1.  Решите уравнение: (а2-2а+1)х= а2+2а-3.
2.      Решите неравенство: a(3-x)≥3x+a.	2.  Решите неравенство: a(2x-1)<ax+5.
3.      При каких значениях m корни уравнения  х2-2mx+m2-1=0  принадлежат промежутку (-2;4)?	3.  При каких значениях m корни уравнения  х2+4mx+1-2m+4m2=0  меньше -1?
4.      Решите неравенство: (х+3) (х-а)<0.	4.  Решите неравенство: (5-х)(х-а)>0.
5.    Найдите все значения параметра а, при котором уравнение /х2-5ч=6/=ах имеет ровно три решения?	5.   При каких значениях параметра  а уравнение х/х-4/+а=0 имеет ровно три корня?

Календарно-тематическое планирование

элективного курса  «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 10А  класс

№ п/п	Наименование разделов и тем	Дата проведения				Содержание	Формы, методы, виды деятельности	Оборудование, контрольно-измерительные материалы
		Планируемые			Фактические
	Линейные уравнения с параметром 3ч.
1	Понятие уравнения с параметром Линейные уравнения с параметрами					Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b.	Лекция с элементами эвристической беседы Ф, И	Мультимедийная презентация «Уравнения и неравенства с параметрами»
2	Линейные уравнения с параметрами с дополнительными условиями для корней					Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов a и b. Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий (ограничений) к корням уравнений	Практикум Ф, И, П
3	Уравнения с параметром, приводимые к линейным					Решение уравнений, приводимых к линейным.	Практикум Ф, И, П
	Линейные неравенства с параметром 2ч.
4	Линейные неравенства с параметрами и неравенства приводимые к линейным.					Решение линейных неравенств с параметрами. Алгоритм решения неравенства с параметрами, приводимого к линейному неравенству.	Лекция с элементами эвристической беседы. Ф, И	Мультимедийная презентация «Уравнения и неравенства с параметрами»
5	Линейные неравенства с параметрами и неравенства приводимые к линейным.					Решение линейных неравенств с параметрами,  приводимого к линейному .	Практикум Ф, И, П
	Квадратные уравнения с параметром 5ч.
6	Квадратные уравнения с параметром. Уравнения приводимые к квадратным					Понятие квадратного уравнения с параметром. Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта.	Эвристический Ф, И	Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»
7	Квадратные уравнения с параметром. Уравнения приводимые к квадратным					Решение квадратных уравнений при дополнительных условиях к корням	Практикум Ф, И, П
8	Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета					Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром.	Практикум Ф, И
9	Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена					Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки.	Эвристический, наглядно-иллюстративный, Ф, И	Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»
10	Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена					Решение задач на использование теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки.	Практикум Ф, И
	Квадратные неравенства с параметрами 3ч.
11	Квадратные неравенства с параметром					Решение квадратных неравенств с параметром (первого типа)	Практикум Ф, И	Мультимедийная презентация «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»
12	Решение квадратных неравенств методом интервалов					Решение квадратных неравенств с параметром (второго типа) методом интервалов.	Практикум Ф, И
13	Решение квадратных неравенств					Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства	Практикум Ф, И
	Функционально- графический метод решения задач с параметрами 3ч.
14	Графический метод решения задач с параметрами.					Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Анализ задач, решаемых графическим методом.	Практикум Ф, И		Мультимедийная презентация «Графический метод решения задач с параметрами»
15	Решения задач с параметрами с помощью фазовой плоскости					Использование понятия «фазовая плоскость»	Практикум Ф, И
16	Решения задач с параметрами с использованием «пучка прямых»					Использование понятия «пучок прямых на плоскости»	Практикум Ф, И
17	Итоговый зачет.					Выполнение заданий для зачета	Контролирующий		Раздаточный материал для проведения итогового зачета по курсу. Приложение 1

Ф - ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС

И - ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА

П - РАБОТА В ПАРАХ

Г – РАБОТА В ГРУППЕ

Список литературы

Для учащихся

1.  Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа 10-11 класс. / А.КГ Мордкович, Л.О Денищева, - М.: Мнемозина, 2009 год.
2. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ 2010. Тематические тесты» (В1-В12, С1-С6). Ростов-на-Дону, 2009г.
3. Цыганов, Ш Квадратные трехчлены и параметры. / Ш.Цыганов. Математика. -1999. -№5. с 4-9.
4.  Шарыгин,И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класс средней школы. / И.Ф. Шарыгин- м.: Просвещение,989. -252с.

Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege.edu.ru

http://eqworld.ipmnet.ru

http://graphfunk.narod.ru

http://www.uztest.ru

Для учителя

1. А.П.Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. – М.: Илекса, 2007г.
2. Айвазян, Д.Ф. Математика 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами. / авт.сост.Д.А. Айвазян. - Волгоград: Учитель, 2009. -204с.
3. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами/ В.В. Амелькин, В.Л.Рабцевич. -М.: Асар,1996,504с.
4. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
5. Полякова, Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 11 классе. / Е.А. Полякова. - М.: ИЛЕКСА, 2010. -96с.
6. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ, 2008.2009,2010. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-на-Дону, издательство «Легион-М» 2010г.
7. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.

Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege.edu.ru

http://eqworld.ipmnet.ru

http://graphfunk.narod.ru

http://www.uztest.ru

http://www.it-n.ru

http://www.ed.vseved.ru

http://mat.1september.ru