Электронное пособие по отделению корней и методам численного решения уравнений

Отделение корней.

Для алгебраических уравнений задача отделения корней может быть решена с помощью теоремы Декарта[1] (Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения) и теоремы Штурма[2] (Число действительных корней уравнения (1) на отрезке [а; b], равно разности между числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х=а и числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х=b). Для трансцендентных уравнений сколько-нибудь общего алгоритма отделения корней не существует.

В общем случае для решения задачи отделения корней уравнения (1) можно воспользоваться следующими утверждениями.

Теорема 1 (Больцано[3] – Коши[4]). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (1).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует единственный корень уравнения (1).

Пример 1. Отделить корни уравнения .                                      (2)

Решение.

Рассмотрим функцию . Она определена и непрерывна для любого . А так как  и  при , то функция строго возрастает на интервале (0; +∞). Следовательно, на этом интервале уравнение (2) может иметь корень, причем единственный.

         Что бы уточнить наличие корня на рассматриваемом интервале запишем уравнение (2) в эквивалентной[5] форме:

.                                                  (3)

Построим графики функций  и . Абсцисса точки пересечения графиков функций  и  будет точным значением корня х^* уравнения (3), а, следовательно, в силу эквивалентности, и уравнения (2).

Из рисунка 1 видно, что точное значение корня х^* уравнения (2) лежит на отрезке [0,5; 1].

Ответ. Точное значение корня х^* уравнения лежит на отрезке .

Упражнения.

1. Отделить корни уравнения и уточнить промежутки их изоляции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

1. Методы численного решения уравнений.

Перед тем, как рассмотреть некоторые из приближенных методов решения уравнений опишем приемы контроля точности нахождения приближенного значения корня:

Утверждение1. Если х^* – точный, а х’ – приближенный корни уравнения f(x)= 0, принадлежащие отрезку [a; b], то справедлива оценка: , где .

Утверждение 2. Если  – последовательность приближенных значений корня х^* уравнения  и функция  - непрерывно-дифференцируема на отрезке [a; b], причем на этом промежутке , то выполняется неравенство

.

1.2. Метод половинного деления (метод вилки).

         Метод вилки приближенного решения уравнения

                                                   (1)

с точностью до ε, основан на доказательстве теоремы 2 (см. п. 2.1.), которое подробно разбирается в курсе математического анализа. Поэтому на самом доказательстве мы не будем останавливаться, но рассмотрим алгоритм метода, который напрямую следует из доказательства теоремы.

Замечание. Для оценки точности нахождения приближенного значения корня уравнения (1) будем использовать критерий, следующий из доказательства теоремы 2 (см. п. 2.1.): если  – система вложенных отрезков[6], построенная для нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с точностью до ε и при некотором натуральном n, выполняется , то процесс решения заканчивается и в качестве приближенного значения корня х^* следует взять величину .

Алгоритм метода вилки. Пусть на отрезке [a; b] уравнение (1) имеет единственный корень х^*. Значит на этом отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2 (см. п. 1.2), т. е. f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков f(a)f(b)<0.

1 шаг. Разделим отрезок [a; b] точкой  на два равных отрезка: [a; х₁] и [х₁; b]. Если f(x₁)= 0, то число х₁ – точное решение уравнения (1), т. е. х^*= х₁. В противном случае, т. е., если f(x₁)≠ 0, то либо f(a)f(х₁)<0, либо f(х₁)f(b)<0.

         Если f(a)f(х₁)<0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [a; х₁]. Если же f(х₁)f(b)<0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [х₁; b]. Для определенности предположим, что точное значения корня х^* содержится в отрезке [a; х₁].

         Рассмотрим абсолютное значение разности . Если

, то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х^* взять величину . Если же , то процесс решения продолжаем.

2 шаг. Так как f(a)f(х₁)<0, то берем отрезок [a; х₁] и разделим его точкой  на два равных отрезка: [a; х₂] и [х₂; х₁]. Если f(x₂)= 0, то число х₂ – точное решение уравнения (1), т. е. х^*= х₂. В противном случае, т. е., если f(x₂)≠ 0, то либо f(a)f(х₂)<0, либо f(х₂)f(х₁)<0.

         Если f(a)f(х₂)<0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [a; х₂]. Если же f(х₂)f(х₁)<0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [х₂; х₁]. Для определенности предположим, что точное значения корня х^* содержится в отрезке [х₂; х₁].

         Рассмотрим абсолютное значение разности . Если , то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х^* взять величину . Если же , то процесс решения продолжаем.

         Т. е. на третьем шаге берем отрезок [х₂; х₁], так как f(х₂)f(х₁)<0, и делим его точкой  и т. д. Продолжая процесс пока не будет достигнута заданная точность ε.

Пример 1. Методом вилки найти приближенные значения действительных корней уравнения  с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение  имеет единственный действительный корень х^*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Найдем значения функции на концах отрезка [0,5; 1]:

 и .

1 шаг. Разделим отрезок [0,5; 1] точкой  на два равных отрезка: [0,5; 0,75]и [0,75; 1]. Найдем значение функции f(x) в точке х₁= 0,75:

.

Так как f(0,5)f(0,75)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,75].

         Так как , то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,75] точкой  на два равных отрезка: [0,5; 0,625]и [0,625; 0,75]. Найдем значение функции f(x) в точке х₂= 0,625:

.

Так как f(0,5)f(0,625)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,625].

         Так как , то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,625] точкой  на два равных отрезка: [0,5; 0,5625]и [0,5625; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х₃= 0,5625:

.

Так как f(0,5625)f(0,625)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,625].

         Так как , то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,625] точкой  на два равных отрезка: [0,5625; 0,59375]и [0,59375; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х₄= 0,59375:

.

Так как f(0,5625)f(0,59375)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,59375].

         Так как , то вычисления продолжаем.

5 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,59375] точкой

 на два равных отрезка: [0,5625; 0,578125]и [0,578125; 0,59375]. Найдем значение функции f(x) в точке х₅= 0,578125:

.

Так как f(0,5625)f(0,578125)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,578125].

         Так как , то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х^* уравнения  возьмем величину .

         График функции , иллюстрирующий разобранный пример, приведен на рисунке 2.

Ответ.  с точностью до ε=0,01.

Пример 2. Методом вилки найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения  с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения . Для этого рассмотрим функцию . Она определена и непрерывна для любого . Так как  и   при , а  при  или  и  при , то функция  строго возрастает на интервалах  и  и убывает на интервале . Следовательно, на этих интервалах уравнение  может иметь корни.

В условиях задачи сказано найти приближенное значение положительного корня, поэтому рассмотрим интервалы , а точнее , и . Так как  и , то на интервале  исходное уравнение корней не имеет. Поэтому остается интервал . Так как на этом интервале , то на нем уравнение  имеет единственный корень.

         Что бы уточнить промежуток существования корня запишем уравнение в эквивалентной форме:  и
построим на  графики функций  и . Абсцисса точи пересечения графиков этих функций и будет точным значением корня х^* уравнения , а, следовательно, в силу эквивалентности, и исходного уравнения.

Из рисунка 3 видно, что точное значение корня х^* уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Найдем значения функции на концах отрезка [1,8; 2]:

 и .

1 шаг. Разделим отрезок [1,8; 2] точкой  на два равных отрезка: [1,8; 1,9]и [1,9; 2]. Найдем значение функции f(x) в точке х₁= 1,9:

.

Так как f(1,8)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8; 1,9].

         Так как , то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [1,8; 1,9] точкой  на два равных отрезка: [1,8; 1,85]и [1,85; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₂= =1,85:

.

Так как f(1,85)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,85; 1,9].

         Так как , то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [1,85; 1,9] точкой  на два равных отрезка: [1,85; 1,875]и [1,875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₃= 1,875:

.

Так как f(1,875)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,875; 1,9].

         Так как , то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [1,875; 1,9] точкой  на два равных отрезка: [1,875; 1,8875]и [1,8875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₄= 1,8875:

.

Так как f(1,8875)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8875; 1,9].

         Так как , то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х^* уравнения  возьмем величину

.

Ответ.  с точностью до ε=0,01.

1.3. Метод касательных (метод Ньютона).

         Пусть на отрезке [a; b] функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)<0,  и  не обращаются в ноль не в одной точке. Тогда уравнение (1) на отрезке [a; b] имеет единственное действительное решение х^*, приближенное значение которого можно найти, используя метод касательных (метод Ньютона).

         Изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги функции f(x) на отрезке [a; b] (рис. 9 – 12).

 

Рассмотрим два случая: 1) ; 2) .

1 случай.  на [a; b], т. е. либо  и  на [a; b] (см. рис. 9), либо  и  на [a; b] (см. рис. 12).

Построим алгоритм нахождения приближенного значения корня уравнения (1) в данном случае.

1 шаг. Через точку B(b; f(b)) проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

 или

         Положив у=0, найдем абсциссу  точки пересечения касательной с осью Ох:

Подставив значение  в уравнение графика функции y=f(x), найдем значение: . Обозначим через В₁ точку с координатами , т. е. В₁.

2 шаг. Через точку В₁ проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

 или

         Положив у=0, найдем абсциссу  точки пересечения касательной с осью Ох:

Подставив значение  в уравнение графика функции y=f(x), найдем значение: . Обозначим через В₂ точку с координатами , т. е. В₂.

3 шаг. Через точки В₂ проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

 или

         Положив у=0, найдем абсциссу  точки пересечения касательной с осью Ох:

И так далее.

В результате получим последовательность , сходящуюся к точному значению корня х^* уравнения (1). Процесс построения последовательности , т. е. нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с заданной точностью  заканчиваем после выполнения неравенства .

Следовательно, в первом случае вычисления производятся по формулам:

где i=1, 2, 3, … .

2 случай.  на [a; b], т. е. либо  и  на [a; b] (см. рис. 10), либо  и  на [a; b] (см. рис. 11).

Алгоритм решения задачи в этом случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку A(a; f(a)) графика функции y=f(x).

А вычисления в этом случае будут проводиться по формулам:

где i=1, 2, 3, … .

Пример 1. Методом касательных найти приближенные значения действительных корней уравнения  с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение  имеет единственный действительный корень х^*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Рассмотрим функцию  и найдем её первую и вторую производные. Так как ,  и ,  при х[0,5; 1], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (7). Построим схематически график функции  (рис. 13).

 

1 шаг. Координаты точки А(0,5; -0,193), следовательно,

В результате имеем:

2 шаг. Так как   =2,773, то

.

Составим разность . Так как , то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения (2) закончен.

         Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня уравнения (2) х^*=0,567.

Ответ.  с точностью до ε=0,01.

Пример 2. Методом касательных найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения  с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения . В примере 2 п. 2.2.1. было показано, что точное значение положительного корня х^* данного уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Рассмотрим функцию  и найдем её первую и вторую производные. Так как ,  и ,  при х[1,8; 2], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (6).

1 шаг. Координаты точки В(2; 1), так как

.

В результате имеем:

2 шаг. Так как , то

.

Составим разность , то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения закончен.

         Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня данного уравнения х^*=1,8933.

Ответ.  с точностью до ε=0,01.

---

[1] Декарт Р. (1596 – 1650) – французский философ, математик, физик и физиолог.

[2] Штурм – рр

[3] Больцано – рр

[4] Коши – рр

[5] Два уравнения называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

[6] Система отрезков  называется системой вложенных отрезков, если выполняется .