Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Электронное пособие по отделению корней и методам численного решения уравнений

Электронное пособие по отделению корней и методам численного решения уравнений

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Документы в архиве:

43.5 КБ Методы отделения корней.xls
206.37 КБ Отделение корней.docx

Название документа Отделение корней.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_58258ea9.gifhello_html_1e34ff68.gif

Отделение корней.

Для алгебраических уравнений задача отделения корней может быть решена с помощью теоремы Декарта1 (Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения) и теоремы Штурма2 (Число действительных корней уравнения (1) на отрезке [а; b], равно разности между числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х=а и числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х=b). Для трансцендентных уравнений сколько-нибудь общего алгоритма отделения корней не существует.

В общем случае для решения задачи отделения корней уравнения (1) можно воспользоваться следующими утверждениями.

Теорема 1 (Больцано3 – Коши4). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (1).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует единственный корень уравнения (1).

Пример 1. Отделить корни уравнения hello_html_m52420a74.gif. (2)

Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_47200569.gif. Она определена и непрерывна для любого hello_html_738e1867.gif. А так как hello_html_2d54937.gif и hello_html_m71f65211.gif при hello_html_m6e996a87.gif, то функция строго возрастает на интервале (0; +∞). Следовательно, на этом интервале уравнение (2) может иметь корень, причем единственный.

Что бы уточнить наличие корня на рассматриваемом интервале запишем уравнение (2) в эквивалентной5 форме:

hello_html_35bdb871.gif. (3)

Рисунок


х*

Построим графики функций hello_html_m47fe8fdf.gif и hello_html_m4da066e8.gif. Абсцисса точки пересечения графиков функций hello_html_m47fe8fdf.gif и hello_html_m4da066e8.gif будет точным значением корня х* уравнения (3), а, следовательно, в силу эквивалентности, и уравнения (2).

Из рисунка 1 видно, что точное значение корня х* уравнения (2) лежит на отрезке [0,5; 1].

Ответ. Точное значение корня х* уравнения лежит на отрезке hello_html_2eb87487.gif.

Упражнения.

1. Отделить корни уравнения и уточнить промежутки их изоляции:

а) hello_html_m72e7e557.gif; б) hello_html_m21275312.gif; в) hello_html_m5f5bc64f.gif; г) hello_html_m728a457b.gif; д) hello_html_m671cc3bc.gif; е) hello_html_4c105d5b.gif.

1. Методы численного решения уравнений.

Перед тем, как рассмотреть некоторые из приближенных методов решения уравнений опишем приемы контроля точности нахождения приближенного значения корня:

Утверждение1. Если х* – точный, а х’ – приближенный корни уравнения f(x)= 0, принадлежащие отрезку [a; b], то справедлива оценка: hello_html_m3bf42d6a.gif, где hello_html_5c77bb30.gif.

Утверждение 2. Если hello_html_m79c2166a.gif – последовательность приближенных значений корня х* уравнения hello_html_m198582c5.gif и функция hello_html_m750bcd44.gif - непрерывно-дифференцируема на отрезке [a; b], причем на этом промежутке hello_html_6dd9f5ef.gif, то выполняется неравенство

hello_html_23552e1f.gif.

1.2. Метод половинного деления (метод вилки).

Метод вилки приближенного решения уравнения

hello_html_7e67cb35.gif (1)

с точностью до ε, основан на доказательстве теоремы 2 (см. п. 2.1.), которое подробно разбирается в курсе математического анализа. Поэтому на самом доказательстве мы не будем останавливаться, но рассмотрим алгоритм метода, который напрямую следует из доказательства теоремы.

Замечание. Для оценки точности нахождения приближенного значения корня уравнения (1) будем использовать критерий, следующий из доказательства теоремы 2 (см. п. 2.1.): если hello_html_m634a3db.gif – система вложенных отрезков6, построенная для нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с точностью до ε и при некотором натуральном n, выполняется hello_html_m549f8af.gif, то процесс решения заканчивается и в качестве приближенного значения корня х* следует взять величину hello_html_m266bf7fd.gif.

Алгоритм метода вилки. Пусть на отрезке [a; b] уравнение (1) имеет единственный корень х*. Значит на этом отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2 (см. п. 1.2), т. е. f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков f(a)f(b)<0.

1 шаг. Разделим отрезок [ab] точкой hello_html_2c3c2026.gif на два равных отрезка: [a; х1] и [х1; b]. Если f(x1)= 0, то число х1 – точное решение уравнения (1), т. е. х*= х1. В противном случае, т. е., если f(x1)≠ 0, то либо f(a)f1)<0, либо f1)f(b)<0.

Если f(a)f1)<0, то точное значения корня х* содержится в отрезке [a; х1]. Если же f1)f(b)<0, то точное значения корня х* содержится в отрезке [х1b]. Для определенности предположим, что точное значения корня х* содержится в отрезке [a; х1].

Рассмотрим абсолютное значение разности hello_html_m49ac8e4e.gif. Если hello_html_m524fe1fb.gif

hello_html_m4d0501ad.gif, то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х* взять величину hello_html_m4712624a.gif. Если же hello_html_28b09360.gif, то процесс решения продолжаем.

2 шаг. Так как f(a)f1)<0, то берем отрезок [a; х1] и разделим его точкой hello_html_m174fff5.gif на два равных отрезка: [a; х2] и [х2; х1]. Если f(x2)= 0, то число х2 – точное решение уравнения (1), т. е. х*= х2. В противном случае, т. е., если f(x2)≠ 0, то либо f(a)f2)<0, либо f2)f1)<0.

Если f(a)f2)<0, то точное значения корня х* содержится в отрезке [a; х2]. Если же f2)f1)<0, то точное значения корня х* содержится в отрезке [х2; х1]. Для определенности предположим, что точное значения корня х* содержится в отрезке [х2; х1].

Рассмотрим абсолютное значение разности hello_html_4c0b9de7.gif. Если hello_html_53893236.gif, то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х* взять величину hello_html_78e9b464.gif. Если же hello_html_m1486bd85.gif, то процесс решения продолжаем.

Т. е. на третьем шаге берем отрезок [х2; х1], так как f2)f1)<0, и делим его точкой hello_html_22f86594.gif и т. д. Продолжая процесс пока не будет достигнута заданная точность ε.

Пример 1. Методом вилки найти приближенные значения действительных корней уравнения hello_html_m52420a74.gif с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение hello_html_m52420a74.gif имеет единственный действительный корень х*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Найдем значения функцииhello_html_47200569.gif на концах отрезка [0,5; 1]:

hello_html_m3d5ccf08.gifи hello_html_m49b39396.gif.

1 шаг. Разделим отрезок [0,5; 1] точкой hello_html_m4ea0ae81.gif на два равных отрезка: [0,5; 0,75]и [0,75; 1]. Найдем значение функции f(x) в точке х1= 0,75:

hello_html_m49bb36.gif.

Так как f(0,5)f(0,75)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,75].

Так как hello_html_m65819eb4.gif, то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,75] точкой hello_html_mb03399.gif на два равных отрезка: [0,5; 0,625]и [0,625; 0,75]. Найдем значение функции f(x) в точке х2= 0,625:

hello_html_m579669e9.gif.

Так как f(0,5)f(0,625)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,625].

Так как hello_html_ma8cbedc.gif, то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,625] точкой hello_html_3ff00367.gif на два равных отрезка: [0,5; 0,5625]и [0,5625; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х3= 0,5625:

hello_html_m1c6a3798.gif.

Так как f(0,5625)f(0,625)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,625].

Так как hello_html_14713f33.gif, то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,625] точкой hello_html_5c498159.gif на два равных отрезка: [0,5625; 0,59375]и [0,59375; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х4= 0,59375:

hello_html_m1166da3d.gif.

Так как f(0,5625)f(0,59375)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,59375].

Так как hello_html_m24a5a552.gif, то вычисления продолжаем.

5 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,59375] точкой hello_html_m40fd8b43.gif

hello_html_m4f5db877.gifна два равных отрезка: [0,5625; 0,578125]и [0,578125; 0,59375]. Найдем значение функции f(x) в точке х5= 0,578125:

hello_html_7a007c89.gif.

Так как f(0,5625)f(0,578125)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,578125].

Так как hello_html_77665ebf.gif, то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х* уравнения hello_html_m52420a74.gif возьмем величину hello_html_m3d508fce.gif.

График функции hello_html_47200569.gif, иллюстрирующий разобранный пример, приведен на рисунке 2.

Рисунок


Ответ. hello_html_m297b3493.gif с точностью до ε=0,01.

Пример 2. Методом вилки найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения hello_html_312674d.gif с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения hello_html_312674d.gif. Для этого рассмотрим функцию hello_html_78cfa404.gif. Она определена и непрерывна для любого hello_html_50e8285f.gif. Так как hello_html_m4ed8d436.gif и hello_html_2c83a309.gif hello_html_47d97ab.gif при hello_html_1cf8cb2f.gif, а hello_html_m71f65211.gif при hello_html_m7abc3ab5.gif или hello_html_m24c12611.gif и hello_html_m72fea4b5.gif при hello_html_ebcd475.gif, то функция hello_html_78cfa404.gif строго возрастает на интервалах hello_html_m4cd293de.gif и hello_html_m45cceee.gif и убывает на интервале hello_html_m7e822121.gif. Следовательно, на этих интервалах уравнение hello_html_m53a88154.gif может иметь корни.

В условиях задачи сказано найти приближенное значение положительного корня, поэтому рассмотрим интервалы hello_html_m7e822121.gif, а точнее hello_html_m20c6bbe0.gif, и hello_html_m45cceee.gif. Так как hello_html_72a37a2d.gif и hello_html_380b7bab.gif, то на интервале hello_html_m20c6bbe0.gif исходное уравнение корней не имеет. Поэтому остается интервал hello_html_m45cceee.gif. Так как на этом интервале hello_html_3a059e99.gif, то на нем уравнение hello_html_312674d.gif имеет единственный корень.

Рисунок 3


Что бы уточнить промежуток существования корня запишем уравнение в эквивалентной форме: hello_html_m5483b694.gif и построим на hello_html_m45cceee.gif графики функций hello_html_m10603bc8.gif и hello_html_m762e4e21.gif. Абсцисса точи пересечения графиков этих функций и будет точным значением корня х* уравнения hello_html_m5483b694.gif, а, следовательно, в силу эквивалентности, и исходного уравнения.

х*

Из рисунка 3 видно, что точное значение корня х* уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Найдем значения функцииhello_html_78cfa404.gif на концах отрезка [1,8; 2]:

hello_html_mac1c421.gifи hello_html_1ed8449a.gif.

1 шаг. Разделим отрезок [1,8; 2] точкой hello_html_m4bfd89ec.gif на два равных отрезка: [1,8; 1,9]и [1,9; 2]. Найдем значение функции f(x) в точке х1= 1,9:

hello_html_31516638.gif.

Так как f(1,8)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8; 1,9].

Так как hello_html_2eaa1a85.gif, то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [1,8; 1,9] точкой hello_html_2d7a44ba.gif на два равных отрезка: [1,8; 1,85]и [1,85; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х2= =1,85:

hello_html_187f8b0.gif.

Так как f(1,85)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,85; 1,9].

Так как hello_html_m6f4e4189.gif, то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [1,85; 1,9] точкой hello_html_m3672bb52.gif на два равных отрезка: [1,85; 1,875]и [1,875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х3= 1,875:

hello_html_3601cf58.gif.

Так как f(1,875)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,875; 1,9].

Так как hello_html_2e061453.gif, то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [1,875; 1,9] точкой hello_html_6102ddb.gif на два равных отрезка: [1,875; 1,8875]и [1,8875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х4= 1,8875:

hello_html_13e6fae0.gif.

Так как f(1,8875)f(1,9)<0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8875; 1,9].

Так как hello_html_maf82f39.gif, то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х* уравнения hello_html_312674d.gif возьмем величину hello_html_43abaf2d.gif

hello_html_4b08ad23.gif.

Ответ. hello_html_39254384.gif с точностью до ε=0,01.

hello_html_m174624f.gif

1.3. Метод касательных (метод Ньютона).

Пусть на отрезке [ab] функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)<0, hello_html_e8a9dc3.gif и hello_html_m79e8b4df.gif не обращаются в ноль не в одной точке. Тогда уравнение (1) на отрезке [a; b] имеет единственное действительное решение х*, приближенное значение которого можно найти, используя метод касательных (метод Ньютона).

Изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги функции f(x) на отрезке [a; b] (рис. 9 – 12).











А

Рисунок 9

В

hello_html_m71f65211.gif

hello_html_6449fb88.gif

х

у

О

а

х*

х1

х2

х3

b

В1

В2

В3


















А

х1

х2

х*

А1

А2

hello_html_m71f65211.gif

hello_html_67410d2c.gif

Рисунок 10

х

у

О

а

b

В

















А

hello_html_m72fea4b5.gif

hello_html_6449fb88.gif

Рисунок 11

х

у

О

b

х*

х2

А1

а

х1

х3

А2

А3

В
















Рисунок 12

hello_html_m72fea4b5.gif

hello_html_67410d2c.gif

х

у

О

а

А

В

b

В1

В2

х*

х1

х2
















Рассмотрим два случая: 1) hello_html_1ddef21b.gif; 2) hello_html_1ed604bf.gif.

1 случай. hello_html_1ddef21b.gif на [a; b], т. е. либо hello_html_m71f65211.gif и hello_html_6449fb88.gif на [a; b] (см. рис. 9), либо hello_html_m72fea4b5.gif и hello_html_67410d2c.gif на [a; b] (см. рис. 12).

Построим алгоритм нахождения приближенного значения корня уравнения (1) в данном случае.

1 шаг. Через точку B(b; f(b)) проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

hello_html_m3d5e960a.gifили
hello_html_4bf7e00b.gif

Положив у=0, найдем абсциссу hello_html_570f113e.gif точки пересечения касательной с осью Ох:

hello_html_m431c0e19.gif

Подставив значение hello_html_570f113e.gif в уравнение графика функции y=f(x), найдем значение: hello_html_5543d1ef.gif. Обозначим через В1 точку с координатами hello_html_m4442b000.gif, т. е. В1hello_html_m4442b000.gif.

2 шаг. Через точку В1hello_html_m4442b000.gif проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

hello_html_mc966fbe.gifили
hello_html_d8b7997.gif

Положив у=0, найдем абсциссу hello_html_2b92f0a8.gif точки пересечения касательной с осью Ох:

hello_html_6e7d288e.gif

Подставив значение hello_html_2b92f0a8.gif в уравнение графика функции y=f(x), найдем значение: hello_html_m6c4eaba8.gif. Обозначим через В2 точку с координатами hello_html_1c5b05c.gif, т. е. В2hello_html_1c5b05c.gif.

3 шаг. Через точки В2hello_html_1c5b05c.gif проведем касательную к графику функции y=f(x), уравнение которой имеет вид:

hello_html_m7145398c.gifили
hello_html_m4d90fe64.gif

Положив у=0, найдем абсциссу hello_html_2b92f0a8.gif точки пересечения касательной с осью Ох:

hello_html_3d22a500.gif

И так далее.

В результате получим последовательность hello_html_m4d9806c8.gif, сходящуюся к точному значению корня х* уравнения (1). Процесс построения последовательности hello_html_m4d9806c8.gif, т. е. нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с заданной точностью hello_html_m20f4a217.gif заканчиваем после выполнения неравенства hello_html_23714594.gif.

(6)

Следовательно, в первом случае вычисления производятся по формулам:
hello_html_m4948cd6f.gif

hello_html_m3340fc3.gif

где i=1, 2, 3, … .

2 случай. hello_html_1ed604bf.gif на [a; b], т. е. либо hello_html_m71f65211.gif и hello_html_67410d2c.gif на [a; b] (см. рис. 10), либо hello_html_m72fea4b5.gif и hello_html_6449fb88.gif на [a; b] (см. рис. 11).

Алгоритм решения задачи в этом случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку A(a; f(a)) графика функции y=f(x).

А вычисления в этом случае будут проводиться по формулам:
hello_html_773b74ff.gif

(7)

hello_html_m3340fc3.gif

где i=1, 2, 3, … .

Пример 1. Методом касательных найти приближенные значения действительных корней уравнения hello_html_m52420a74.gif с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение hello_html_m52420a74.gif имеет единственный действительный корень х*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Рассмотрим функцию hello_html_m69a0b04.gif и найдем её первую и вторую производные. Так как hello_html_7cd4289c.gif, hello_html_m6636eea2.gif и hello_html_m50f58fa.gif, hello_html_m2599b5f.gif при хhello_html_m6559db2e.gif[0,5; 1], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (7). Построим схематически график функции hello_html_m69a0b04.gif (рис. 13).


-0,193

1

х1

Рисунок 13

х

у

О

х*

х2

1

А

0,5

А1

А2

В

















1 шаг. Координаты точки А(0,5; -0,193), следовательно,

hello_html_m6f3bd6cc.gif

В результате имеем:

hello_html_m77b809a8.gif

hello_html_b503e7a.gif

2 шаг. Так как hello_html_3de21192.gif hello_html_m345c23be.gif =2,773, то

hello_html_m1b46ebe8.gif

hello_html_m782b6f05.gif.

Составим разность hello_html_7e7a4581.gif. Так как hello_html_72b2d6af.gif, то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения (2) закончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня уравнения (2) х*=0,567.

Ответ. hello_html_4e953469.gif с точностью до ε=0,01.

Пример 2. Методом касательных найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения hello_html_m4262ae34.gif с точностью до ε=0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения hello_html_312674d.gif. В примере 2 п. 2.2.1. было показано, что точное значение положительного корня х* данного уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Рассмотрим функцию hello_html_6907d457.gif и найдем её первую и вторую производные. Так как hello_html_m67f70dc6.gif, hello_html_31013bc5.gif и hello_html_349de4bc.gif, hello_html_4e27889b.gif при хhello_html_m6559db2e.gif[1,8; 2], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (6).

1 шаг. Координаты точки В(2; 1), так как

hello_html_mf14cfd1.gif.

В результате имеем:

hello_html_14e51902.gif

hello_html_m24d6a23.gif

2 шаг. Так как hello_html_5cb2e38a.gif, то

hello_html_m12366832.gif

hello_html_47f1b855.gif.

Составим разность hello_html_me10a0b.gif, то требуемая точность достигнута и процесс нахождения приближенного значения корня уравнения hello_html_312674d.gifзакончен.

Следовательно, с точностью до 0,01 приближенное значение корня данного уравнения х*=1,8933.

Ответ. hello_html_m70ac240c.gif с точностью до ε=0,01.



1 Декарт Р. (1596 – 1650) – французский философ, математик, физик и физиолог.

2 Штурм – рр

3 Больцано – рр

4 Коши – рр

5 Два уравнения называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

6 Система отрезков hello_html_m634a3db.gif называется системой вложенных отрезков, если выполняется hello_html_2a4f4d2b.gif.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 11.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров167
Номер материала ДA-038047
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх