Электронно-образовательный ресурс по математике 1 курс раздел "Повторение"

Глоссарий

1.Алгебраическое выражение, выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня.

1.Десятичная дробь, дробь, знаменатель которой есть целая степень числа 10. Д. д. пишут без знаменателя, отделяя в числителе справа запятой столько цифр, сколько нулей содержится в знаменателе.

3.Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

где  — свободная переменная, , ,  — коэффициенты, причём

4.Линейные неравенства.

Так называются неравенства, левая и правая части которых представляют собой линейные функции относительно неизвестной.величины.

Квадратное неравенство — это неравенство вида: . Вместо знака «меньше» может быть знак «больше», «больше, либо равно», «меньше, либо равно».

5.Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

6.Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.

7.Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

8.Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

9.Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

10.Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством.

• 1 слайд

  Действия с десятичными дробями
  Вычислить устно и разгадать шифровку
  2,3 ∙ 10 =
  0,09 : 0,01 =
  4,5 : 0,3 =
  0,48 : 0,04=
  5,5 ∙ 2 =
  0,3 ∙ 50 =
  1,57 + 1,43 =
  m – 9,25 = 8,75
  х : 55 = 0,2
  а + 3,91 = 12,91
  0,25 ∙ у = 2,5
  

• 2 слайд

  Вычислить удобным способом
  0,04 ∙ 75,27 + 24,73 ∙ 0,04 =
  
  0,25 ∙ 1,1 ∙ 40 =
  
  0,0001 ∙ 1957 : 0,0001 =
  Действия с десятичными дробями
  

• 3 слайд

  Вычислить
  4,8 ∙ 2,5 =
  12,8 : 3,2 =
  7844 ∙ 0,25 =
  Действия с десятичными дробями
  

• 4 слайд

  Решить уравнения
  Действия с десятичными дробями
  

• 5 слайд

  Самостоятельная работа
  1 вариант
  
  2 вариант
  
  Действия с десятичными дробями
  

• 6 слайд

  Скорость полета ракеты, на которой Гагарин совершил первый полет в космос, 28 260 км/ч. Он облетел Землю за 108 минут. Какое расстояние пролетела ракета?
  Действия с десятичными дробями
  

• 7 слайд

  Масса человека, который на Земле весит 60 кг, на Луне составила бы приблизительно 10 кг.
  Сколько бы весил на Луне первый космический корабль «Восток-1», если на Земле он имеет массу 4,74 т?
  Действия с десятичными дробями
  

• 1 слайд

  
  Сначала я открывал истины, известные многим, затем я стал открывать истины, известные немногим, и, наконец, я стал открывать истины, никому ещё неизвестные. Видимо, это и есть путь становления творческой стороны интеллекта, путь развития изобретательного таланта.
  Циолковский К.Э.
  

• 2 слайд

  Теоретическая часть.
  1) Сформулировать определение линейного уравнения; линейного неравенства.
  2) Что значит решить уравнение? Что значит решить неравенство?
  3) Что такое корень уравнения? Что такое решение неравенства?
  4) Какие уравнения называют равносильными? Какие неравенства называют равносильными?
  5) Сформулировать свойства равносильности уравнений. Сформулировать свойства равносильности неравенств.
  

• 3 слайд

  №1
  
  
  
  1) ххх ;
  2) -6 : 5 + 0,8;
  3)15 = 5*3;
  4) 1/х=2
  5)-8 + 2 > 0;
  6)ав = ва;
  
  
  
  7) -17
  8) -2(х – 2) < -5(х + 3);
  9) -2 > 5;
  10) 2х = 8;
  11) хх ≥ 0;
  12) 4(х – 6) + 3х = 0;
  
  

• 4 слайд

  Ответы к №1
  
  
  
  1)2х = 8; 4(х – 6) + 3х = 0;
  2) -2(х – 2) < -5(х + 3);
  
  
  

• 5 слайд

  №2
  1). Какое из чисел -1; 7; 3/7 является решением неравенства
  3х > х + 2?
  2) Какое из чисел -1; 2; 0 является корнем уравнения 19х - 30 = 8?
  

• 6 слайд

  Ответы к №2.
  Х =7; так как 3 *7 >7 + 2, 21 > 9, верное.
  
  2) Х =2, так как 19 * 2 – 30 = 8,
  38 – 30 = 8, верное.
  

• 7 слайд

  №3.
  Можно ли считать указанные уравнения равносильными? Почему?
  А) (2/7 )х = 1 и х = 7/2;
  б) 2х – 4 = 9 – 5х
  и 2х + 5х = 9 + 4.
  

• 8 слайд

  №4.
  1) Можно ли считать неравенства равносильными? Почему?
  А) -0,3х < 30 и х > -100;
  б) 1,5х – 7 > -6х и
  1,5х + 6х > 7;
  В) (1/5) х ≤ 2 и х ≤ 10 .
  
  
  
  
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  №10.
  Реши задачу. Длина стороны прямоугольника 6см. Какой должна быть длина другой стороны прямоугольника, чтобы его периметр был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4см?
  
  

• 11 слайд

  Решение:
  Пусть одна сторона прямоугольника равна хсм, вторая сторона равна 6 см. периметр квадрата 16см.
  Составим неравенство:
  (6 + х)*2 < 16
  12 + 2х < 16
  2х < 4
  Х < 2.
  Ответ: длина второй стороны должна быть меньше двух см.
  

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

Контрольная работа №1

Вариант 1.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) у² + 3у – 40;           б) 9х² – 2х – 11.

2. Найдите нули функции:

а) f(x) = 5x + 4;     б) f(x) =   .

3. Найдите область определения функции:

а) у = х³- 8 х + 1;      б) ;       в) .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

Контрольная работа №1

Вариант 2.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) а² + а – 42;           б) 6х² + 2х – 22.

2. Найдите нули функции:

а) f(x) = 3x + 5;     б) f(x) =   .

3. Найдите область определения функции:

а) у = х⁴- 5 х³ + 2;      б) ;       в) .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

Контрольная работа №2

Вариант 1.

1. Решите неравенство:

а)  3х²-2х-5>0;   б) х² + 6х+ 9 <0;  в) –х² + 6х ≥ 0.

2. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х – 3)(х + 5)>0;     б) .

3. Решите уравнение:

а) х³ – 13х = 0;      б) х⁴ – 7х² + 12 = 0.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ;          б) ?

5. При каких значениях а сумма дробей  и  равна дроби ?

Контрольная работа №2

Вариант  2.

1.      Решите неравенство:

а)  6х²-11х-2<0;   б) х² -8х + 16 <0;  в)  5х - х²  ≤ 0.

2. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х +2)(х - 6)<0;     б) .

3. Решите уравнение:

а) х⁴ – 5х² = 0;      б) х⁴ – 11х² + 18 = 0.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ;          б) ?

5. При каких значениях b сумма дробей  и  равна дроби ?

Контрольная работа №3

Вариант 1.

1. Сократите дробь .
2. Решите неравенство 5х – 7 ≥ 7х – 5.
3. Решите уравнение х² – 10х + 25 = 0.
4. Сравните 56,78 ∙ 10⁶ и 5,687 ∙ 10⁷.
5. Решите систему уравнений:
6. Постройте график функции у = 7х – 5 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше – 40.
7. В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
8. Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
9. Сократите дробь .
10. Решите неравенство

Контрольная работа №3

Вариант 2

1.      Сократите дробь .

2.      Решите неравенство 3х – 8 ≥ 8х – 3.

3.      Решите уравнение х² – 14х + 49 = 0.

4.      Сравните 4,567 ∙ 10⁹ и 45,76 ∙ 10⁸.

5.      Решите систему уравнений:

6.      Постройте график функции у = 6х – 7 и найдите, при каких значениях х значения у не больше – 49.

7.      В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.

8.      Моторная лодка прошла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

9.      Сократите дробь .

10.  Решите неравенство

Тема урока: «Действия с обыкновенными и десятичными дробями»

Сумма дробей и равна…      1)                2)                3) .	1. Сумма дробей и равна…      1)                2)                3) 1.
Найдите разность: 6 -      1) 6;                2) 5               3) 5	2. Найдите разность: 5 -      1) 5;                2) 4               3) 4
Найдите произведение: 26      1) 1              2)               3) 2	Найдите произведение: 39      1) 2              2)               3) 2
Выполните деление:  :      1)                2)                3)	Выполните деление:  :      1)                2)                3)
Вычислите: 6      1) 1               2)                3)	Вычислите: 5      1) 2               2)                3) 1
6.Округлить до разряда десятых число 372, 456  а) 372,46 б) 372,4 в) 372, 5  г) 370	6.Округлить до разряда десятых число 52,799  а) 52,79  б) 52,710  в) 52,8  г) 50
7.Из  чисел  13,7;  13,07; 13,69; 13,09 выберите наибольшее а) 13,07 б) 13,69 в) 13,09  г) 13,7	7.Из  чисел  45,8;  45,08; 45,79; 45,83 выберите наименьшее  а) 45,08  б) 45,79  в) 45,83  г) 45,8
8. Вычислите, применив распределительный закон  2,97∙7+3∙2,97 а) 297  б) 29,07 в) 2,97  г) 29,7	8.Вычислите, применив распределительный закон  1,09∙ 38+1,09∙ 62  а) 19   б) 10,9  в) 109  г) 1,09
9. Решите уравнение  x ∙ 0,03 = 40,2  а) 1,206  б) 1340  в) 13,4  г) 1206	9.Решите уравнение  x : 0,03=40,2 а) 1,206  б) 1340  в) 13,4  г) 1206
10. Найдите значение выражения  (53,6 ∙ 6 – 319,25) : 5 а) 0,47  б)579,35  в) 0,362  г) 0,047	10. Найдите значение выражения  3,85: 5 + 12,6 ∙ 0,15  а) 8,59  б) 9,59   в) 2,66  г) 0,266

Вариант 1                                                                             Вариант 2

Тема урока: Преобразования алгебраических выражений.

Вариант 1.

1.     Найдите значение выражения  ,  при , .

1)		2)		3)		4)

2.     Найдите значение выражения    ,   при    ,

1)	0,2	2)	1	3)		4)	0

3.     Найдите значение выражения   ,   при   , .

1)	2	2)	6	3)	– 6	4)	– 10

4.     Найдите значение выражения    ,    при   , .

1)	24	2)	– 32	3)	– 8	4)	8

5.     Найдите значение выражения  ,   при   ,   .

1)	1,4	2)	7,4	3)	8,4	4)	10,6

6.     Найдите значение выражения    ,    при   ,    .

1)	0	2)	2	3)		4)

7.     Найдите значение выражения    ,    при    ,    .

1)	3	2)	– 1	3)	1	4)	0

8.     Найдите значение выражения    ,   при    , .

1)		2)		3)		4)

9.     Найдите значение выражения    ,    при    ,    .

1)	0	2)	– 1	3)	– 2	4)	1

10. Найдите значение выражения    ,   при   ,   .

1)

4,25

2)

3)

– 3,75

4)

Вариант 2

1.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

2.     Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

3.     Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

0,7

2)

0,5

3)

2

4)

1

4.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

5.     Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

6.     Найдите значение выражения , если , .

1)

2

2)

3)

1

4)

0

7.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

8.     Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

2)

3)

4)

0

9.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

10. Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

0,79

2)

1,6

3)

0,61

4)

‑ 0,2

Вариант 3

11. Найдите значение выражения  , если  , , .

1)

0,02

2)

0

3)

0,2

4)

‑ 0,1

12. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

13. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

1,2

2)

4,8

3)

3,2

4)

3,6

14. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

15. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

2)

3)

4)

16. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

17. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

8

2)

0

3)

3,6

4)

4,4

18. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

‑ 0,5

2)

0,5

3)

1,5

4)

‑ 1

19. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

20. Найдите значение выражения  , если  , , .

1)

0,4

2)

‑ 0,04

3)

0,2

4)

0,08

Вариант 1.

1.. Решить систему уравнений:

2. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 2.

1.. Решить систему уравнений:

2. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 3.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 4.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

• 1 слайд

  
  
  
  Преобразование
  алгебраических
  выражений.
  

• 2 слайд

  № 975 (г, д), № 982 (д)
  
  (b – 3)(b + 3) – (b + 2)2 = b2 – 9 – b2 + 2b + 4 = 2b – 5
  
  
  
  (2a – 5)2 - (5a – 2)2 = 4a2 – 10a + 25 – 25a2 +10a + 4 = - 21a2 + 29
  
  
  
  (7x – 4)2 - (2x + 1)2 = (7x – 4 – 2x + 1)(7x – 4 +2x + 1)=(5x – 3)(9x – 3)
  
  
  
  Проверка домашнего задания
  

• 3 слайд

  Квадрат суммы двух выражений равен ___________первого выражения плюс_________________произведение первого
  выражения на второе плюс квадрат_____________________ .
  2. Квадрат разности двух выражений равен
  квадрату___________выражения_________удвоенное
  ____________первого выражения на второе плюс_________
  второго выражения.
  Разность_____________двух выражений равна_________________разности этих выражений на их_______ .
  Разность кубов двух выражений равна произведению_____________этих выражений на________________квадрат их суммы.
  Сумма кубов двух выражений равна______________суммы этих выражений на_______________квадрат их___________ .
  квадрату
  удвоенное
  второго выражения
  первого
  минус
  произведение
  квадрат
  квадратов
  произведению
  сумму
  разности
  неполный
  произведению
  неполный
  разности
  

• 4 слайд

  х2 + у2
  3х + 5у
  2ху
  (2х)2 - 32
  (5У – 4Х)2
  7у2 - 6
  (3х + 1)2
  (3у)3 - 23
  33 + (2х)3
  4х2 - 9
  25у2 – 40ху + 16х2
  27 + 8х3
  27у3 - 8
  9х2 + 6х + 1
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

  Преобразуем выражения
  
  (2х – у) (4х2 + 4ху + у2)
  (4а-25) (4а + 25)
  (2а + 5в)2
  (2а – 5) (2а + 5)
  (2х – у) (4х2 + 2ху + у2)
  (2ав – 5х2) (2ав + 5х2)
  (5а – 2) (5а + 2)
  (25а – 4) (25а + 4)
  (2а – 3в)2
  (4а – 9в)2
  (5ав – 3х2)(5ав+3х2)
  (х – 4у)(х2 +4ху + 16у2)
  
  

• 8 слайд

  Верно ли…
  (х – 3)2 + 3(х – 2)(х + 2) = (2х – 9)(2х +9)
  Верно ли
  (х + 2)2 + 8(х – 1)(х + 1) = 9х2 + 116
  Дополнительное задание «5»
  

• 9 слайд

  Домашнее задание
  
  № 990, № 991, № 992(а,б), № 999(а).
  

Глоссарий

1.Алгебраическое выражение, выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня.

1.Десятичная дробь, дробь, знаменатель которой есть целая степень числа 10. Д. д. пишут без знаменателя, отделяя в числителе справа запятой столько цифр, сколько нулей содержится в знаменателе.

3.Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

где  — свободная переменная, , ,  — коэффициенты, причём

4.Линейные неравенства.

Так называются неравенства, левая и правая части которых представляют собой линейные функции относительно неизвестной.величины.

Квадратное неравенство — это неравенство вида: . Вместо знака «меньше» может быть знак «больше», «больше, либо равно», «меньше, либо равно».

5.Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

6.Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.

7.Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

8.Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

9.Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

10.Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством.

• 1 слайд

  Действия с десятичными дробями
  Вычислить устно и разгадать шифровку
  2,3 ∙ 10 =
  0,09 : 0,01 =
  4,5 : 0,3 =
  0,48 : 0,04=
  5,5 ∙ 2 =
  0,3 ∙ 50 =
  1,57 + 1,43 =
  m – 9,25 = 8,75
  х : 55 = 0,2
  а + 3,91 = 12,91
  0,25 ∙ у = 2,5
  

• 2 слайд

  Вычислить удобным способом
  0,04 ∙ 75,27 + 24,73 ∙ 0,04 =
  
  0,25 ∙ 1,1 ∙ 40 =
  
  0,0001 ∙ 1957 : 0,0001 =
  Действия с десятичными дробями
  

• 3 слайд

  Вычислить
  4,8 ∙ 2,5 =
  12,8 : 3,2 =
  7844 ∙ 0,25 =
  Действия с десятичными дробями
  

• 4 слайд

  Решить уравнения
  Действия с десятичными дробями
  

• 5 слайд

  Самостоятельная работа
  1 вариант
  
  2 вариант
  
  Действия с десятичными дробями
  

• 6 слайд

  Скорость полета ракеты, на которой Гагарин совершил первый полет в космос, 28 260 км/ч. Он облетел Землю за 108 минут. Какое расстояние пролетела ракета?
  Действия с десятичными дробями
  

• 7 слайд

  Масса человека, который на Земле весит 60 кг, на Луне составила бы приблизительно 10 кг.
  Сколько бы весил на Луне первый космический корабль «Восток-1», если на Земле он имеет массу 4,74 т?
  Действия с десятичными дробями
  

• 1 слайд

  
  Сначала я открывал истины, известные многим, затем я стал открывать истины, известные немногим, и, наконец, я стал открывать истины, никому ещё неизвестные. Видимо, это и есть путь становления творческой стороны интеллекта, путь развития изобретательного таланта.
  Циолковский К.Э.
  

• 2 слайд

  Теоретическая часть.
  1) Сформулировать определение линейного уравнения; линейного неравенства.
  2) Что значит решить уравнение? Что значит решить неравенство?
  3) Что такое корень уравнения? Что такое решение неравенства?
  4) Какие уравнения называют равносильными? Какие неравенства называют равносильными?
  5) Сформулировать свойства равносильности уравнений. Сформулировать свойства равносильности неравенств.
  

• 3 слайд

  №1
  
  
  
  1) ххх ;
  2) -6 : 5 + 0,8;
  3)15 = 5*3;
  4) 1/х=2
  5)-8 + 2 > 0;
  6)ав = ва;
  
  
  
  7) -17
  8) -2(х – 2) < -5(х + 3);
  9) -2 > 5;
  10) 2х = 8;
  11) хх ≥ 0;
  12) 4(х – 6) + 3х = 0;
  
  

• 4 слайд

  Ответы к №1
  
  
  
  1)2х = 8; 4(х – 6) + 3х = 0;
  2) -2(х – 2) < -5(х + 3);
  
  
  

• 5 слайд

  №2
  1). Какое из чисел -1; 7; 3/7 является решением неравенства
  3х > х + 2?
  2) Какое из чисел -1; 2; 0 является корнем уравнения 19х - 30 = 8?
  

• 6 слайд

  Ответы к №2.
  Х =7; так как 3 *7 >7 + 2, 21 > 9, верное.
  
  2) Х =2, так как 19 * 2 – 30 = 8,
  38 – 30 = 8, верное.
  

• 7 слайд

  №3.
  Можно ли считать указанные уравнения равносильными? Почему?
  А) (2/7 )х = 1 и х = 7/2;
  б) 2х – 4 = 9 – 5х
  и 2х + 5х = 9 + 4.
  

• 8 слайд

  №4.
  1) Можно ли считать неравенства равносильными? Почему?
  А) -0,3х < 30 и х > -100;
  б) 1,5х – 7 > -6х и
  1,5х + 6х > 7;
  В) (1/5) х ≤ 2 и х ≤ 10 .
  
  
  
  
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  №10.
  Реши задачу. Длина стороны прямоугольника 6см. Какой должна быть длина другой стороны прямоугольника, чтобы его периметр был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4см?
  
  

• 11 слайд

  Решение:
  Пусть одна сторона прямоугольника равна хсм, вторая сторона равна 6 см. периметр квадрата 16см.
  Составим неравенство:
  (6 + х)*2 < 16
  12 + 2х < 16
  2х < 4
  Х < 2.
  Ответ: длина второй стороны должна быть меньше двух см.
  

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

Контрольная работа №1

Вариант 1.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) у² + 3у – 40;           б) 9х² – 2х – 11.

2. Найдите нули функции:

а) f(x) = 5x + 4;     б) f(x) =   .

3. Найдите область определения функции:

а) у = х³- 8 х + 1;      б) ;       в) .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

Контрольная работа №1

Вариант 2.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) а² + а – 42;           б) 6х² + 2х – 22.

2. Найдите нули функции:

а) f(x) = 3x + 5;     б) f(x) =   .

3. Найдите область определения функции:

а) у = х⁴- 5 х³ + 2;      б) ;       в) .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

4. Постройте график функции  и опишите ее свойства.

5. Сократите дробь .

Контрольная работа №2

Вариант 1.

1. Решите неравенство:

а)  3х²-2х-5>0;   б) х² + 6х+ 9 <0;  в) –х² + 6х ≥ 0.

2. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х – 3)(х + 5)>0;     б) .

3. Решите уравнение:

а) х³ – 13х = 0;      б) х⁴ – 7х² + 12 = 0.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ;          б) ?

5. При каких значениях а сумма дробей  и  равна дроби ?

Контрольная работа №2

Вариант  2.

1.      Решите неравенство:

а)  6х²-11х-2<0;   б) х² -8х + 16 <0;  в)  5х - х²  ≤ 0.

2. Решите неравенство методом интервалов:

а) (х +2)(х - 6)<0;     б) .

3. Решите уравнение:

а) х⁴ – 5х² = 0;      б) х⁴ – 11х² + 18 = 0.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ;          б) ?

5. При каких значениях b сумма дробей  и  равна дроби ?

Контрольная работа №3

Вариант 1.

1. Сократите дробь .
2. Решите неравенство 5х – 7 ≥ 7х – 5.
3. Решите уравнение х² – 10х + 25 = 0.
4. Сравните 56,78 ∙ 10⁶ и 5,687 ∙ 10⁷.
5. Решите систему уравнений:
6. Постройте график функции у = 7х – 5 и найдите, при каких значениях х значения у не меньше – 40.
7. В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.
8. Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
9. Сократите дробь .
10. Решите неравенство

Контрольная работа №3

Вариант 2

1.      Сократите дробь .

2.      Решите неравенство 3х – 8 ≥ 8х – 3.

3.      Решите уравнение х² – 14х + 49 = 0.

4.      Сравните 4,567 ∙ 10⁹ и 45,76 ∙ 10⁸.

5.      Решите систему уравнений:

6.      Постройте график функции у = 6х – 7 и найдите, при каких значениях х значения у не больше – 49.

7.      В арифметической прогрессии второй член равен 11, а разность равна 30. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.

8.      Моторная лодка прошла против течения реки 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

9.      Сократите дробь .

10.  Решите неравенство

Тема урока: «Действия с обыкновенными и десятичными дробями»

Сумма дробей и равна…      1)                2)                3) .	1. Сумма дробей и равна…      1)                2)                3) 1.
Найдите разность: 6 -      1) 6;                2) 5               3) 5	2. Найдите разность: 5 -      1) 5;                2) 4               3) 4
Найдите произведение: 26      1) 1              2)               3) 2	Найдите произведение: 39      1) 2              2)               3) 2
Выполните деление:  :      1)                2)                3)	Выполните деление:  :      1)                2)                3)
Вычислите: 6      1) 1               2)                3)	Вычислите: 5      1) 2               2)                3) 1
6.Округлить до разряда десятых число 372, 456  а) 372,46 б) 372,4 в) 372, 5  г) 370	6.Округлить до разряда десятых число 52,799  а) 52,79  б) 52,710  в) 52,8  г) 50
7.Из  чисел  13,7;  13,07; 13,69; 13,09 выберите наибольшее а) 13,07 б) 13,69 в) 13,09  г) 13,7	7.Из  чисел  45,8;  45,08; 45,79; 45,83 выберите наименьшее  а) 45,08  б) 45,79  в) 45,83  г) 45,8
8. Вычислите, применив распределительный закон  2,97∙7+3∙2,97 а) 297  б) 29,07 в) 2,97  г) 29,7	8.Вычислите, применив распределительный закон  1,09∙ 38+1,09∙ 62  а) 19   б) 10,9  в) 109  г) 1,09
9. Решите уравнение  x ∙ 0,03 = 40,2  а) 1,206  б) 1340  в) 13,4  г) 1206	9.Решите уравнение  x : 0,03=40,2 а) 1,206  б) 1340  в) 13,4  г) 1206
10. Найдите значение выражения  (53,6 ∙ 6 – 319,25) : 5 а) 0,47  б)579,35  в) 0,362  г) 0,047	10. Найдите значение выражения  3,85: 5 + 12,6 ∙ 0,15  а) 8,59  б) 9,59   в) 2,66  г) 0,266

Вариант 1                                                                             Вариант 2

Тема урока: Преобразования алгебраических выражений.

Вариант 1.

1.     Найдите значение выражения  ,  при , .

1)		2)		3)		4)

2.     Найдите значение выражения    ,   при    ,

1)	0,2	2)	1	3)		4)	0

3.     Найдите значение выражения   ,   при   , .

1)	2	2)	6	3)	– 6	4)	– 10

4.     Найдите значение выражения    ,    при   , .

1)	24	2)	– 32	3)	– 8	4)	8

5.     Найдите значение выражения  ,   при   ,   .

1)	1,4	2)	7,4	3)	8,4	4)	10,6

6.     Найдите значение выражения    ,    при   ,    .

1)	0	2)	2	3)		4)

7.     Найдите значение выражения    ,    при    ,    .

1)	3	2)	– 1	3)	1	4)	0

8.     Найдите значение выражения    ,   при    , .

1)		2)		3)		4)

9.     Найдите значение выражения    ,    при    ,    .

1)	0	2)	– 1	3)	– 2	4)	1

10. Найдите значение выражения    ,   при   ,   .

1)

4,25

2)

3)

– 3,75

4)

Вариант 2

1.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

2.     Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

3.     Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

0,7

2)

0,5

3)

2

4)

1

4.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

5.     Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

6.     Найдите значение выражения , если , .

1)

2

2)

3)

1

4)

0

7.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

8.     Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

2)

3)

4)

0

9.     Сократите дробь  .

1)

2)

3)

4)

10. Найдите значение выражения  , если  ,  .

1)

0,79

2)

1,6

3)

0,61

4)

‑ 0,2

Вариант 3

11. Найдите значение выражения  , если  , , .

1)

0,02

2)

0

3)

0,2

4)

‑ 0,1

12. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

13. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

1,2

2)

4,8

3)

3,2

4)

3,6

14. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

15. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

2)

3)

4)

16. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

17. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

8

2)

0

3)

3,6

4)

4,4

18. Найдите значение выражения  , если  , .

1)

‑ 0,5

2)

0,5

3)

1,5

4)

‑ 1

19. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

20. Найдите значение выражения  , если  , , .

1)

0,4

2)

‑ 0,04

3)

0,2

4)

0,08

Вариант 1.

1.. Решить систему уравнений:

2. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 2.

1.. Решить систему уравнений:

2. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 3.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 4.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

• 1 слайд

  
  
  
  Преобразование
  алгебраических
  выражений.
  

• 2 слайд

  № 975 (г, д), № 982 (д)
  
  (b – 3)(b + 3) – (b + 2)2 = b2 – 9 – b2 + 2b + 4 = 2b – 5
  
  
  
  (2a – 5)2 - (5a – 2)2 = 4a2 – 10a + 25 – 25a2 +10a + 4 = - 21a2 + 29
  
  
  
  (7x – 4)2 - (2x + 1)2 = (7x – 4 – 2x + 1)(7x – 4 +2x + 1)=(5x – 3)(9x – 3)
  
  
  
  Проверка домашнего задания
  

• 3 слайд

  Квадрат суммы двух выражений равен ___________первого выражения плюс_________________произведение первого
  выражения на второе плюс квадрат_____________________ .
  2. Квадрат разности двух выражений равен
  квадрату___________выражения_________удвоенное
  ____________первого выражения на второе плюс_________
  второго выражения.
  Разность_____________двух выражений равна_________________разности этих выражений на их_______ .
  Разность кубов двух выражений равна произведению_____________этих выражений на________________квадрат их суммы.
  Сумма кубов двух выражений равна______________суммы этих выражений на_______________квадрат их___________ .
  квадрату
  удвоенное
  второго выражения
  первого
  минус
  произведение
  квадрат
  квадратов
  произведению
  сумму
  разности
  неполный
  произведению
  неполный
  разности
  

• 4 слайд

  х2 + у2
  3х + 5у
  2ху
  (2х)2 - 32
  (5У – 4Х)2
  7у2 - 6
  (3х + 1)2
  (3у)3 - 23
  33 + (2х)3
  4х2 - 9
  25у2 – 40ху + 16х2
  27 + 8х3
  27у3 - 8
  9х2 + 6х + 1
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

  Преобразуем выражения
  
  (2х – у) (4х2 + 4ху + у2)
  (4а-25) (4а + 25)
  (2а + 5в)2
  (2а – 5) (2а + 5)
  (2х – у) (4х2 + 2ху + у2)
  (2ав – 5х2) (2ав + 5х2)
  (5а – 2) (5а + 2)
  (25а – 4) (25а + 4)
  (2а – 3в)2
  (4а – 9в)2
  (5ав – 3х2)(5ав+3х2)
  (х – 4у)(х2 +4ху + 16у2)
  
  

• 8 слайд

  Верно ли…
  (х – 3)2 + 3(х – 2)(х + 2) = (2х – 9)(2х +9)
  Верно ли
  (х + 2)2 + 8(х – 1)(х + 1) = 9х2 + 116
  Дополнительное задание «5»
  

• 9 слайд

  Домашнее задание
  
  № 990, № 991, № 992(а,б), № 999(а).
  

• 1 слайд

  РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  И НЕРАВЕНСТВ
  

• 2 слайд

  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  КЛАССИФИКАЦИЯ
  
  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
  
  БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  ВЫХОД
  

• 3 слайд

  КЛАССИФИКАЦИЯ
  ПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  НЕПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ПРИВЕДЕННЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ВЫХОД
  

• 4 слайд

  ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Уравнение вида , где х-переменная, a, b и с – некоторые числа, причем , называют квадратным.
  а – первый коэффициент
  b – второй коэффициент
  с – свободный член уравнения
  Например:
  ВЫХОД
  

• 5 слайд

  НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Если в уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
  Если b =0 , то
  Если с=0 , то
  
  Например: 1.
  2.
  ВЫХОД
  

• 6 слайд

  ПРИВЕДЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
  
  Например:
  ВЫХОД
  

• 7 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
  ПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  НЕПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ПРИВЕДЕННЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ВЫХОД
  

• 8 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  ВЫХОД
  

• 9 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
  ВЫХОД
  

• 10 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  
  С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОРНЕЙ
  КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
  
  ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ ВИЕТА
  ВЫХОД
  

• 11 слайд

  Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения
  
  1. Если D>0, уравнение имеет два корня:
  
  
  2. Если D=0, то уравнение имеет один корень:
  
  
  3. Если D<0, то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 1
  ПРИМЕР 2
  ПРИМЕР 3
  ВЫХОД
  

• 12 слайд

  
  
  Если D>0, то уравнение имеет два корня:
  
  
  Если D=0, то уравнение имеет один корень:
  
  
  Если D<0, то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 4
  ПРИМЕР 5
  ПРИМЕР 6
  ВЫХОД
  

• 13 слайд

  ПРИМЕР 1
  ВЫХОД
  

• 14 слайд

  ПРИМЕР 2
  ВЫХОД
  

• 15 слайд

  ПРИМЕР 3
  ВЫХОД
  

• 16 слайд

  ПРИМЕР 4
  ВЫХОД
  

• 17 слайд

  ПРИМЕР 5
  ВЫХОД
  

• 18 слайд

  ПРИМЕР 6
  ВЫХОД
  

• 19 слайд

  ЕСЛИ С=0
  Такие уравнения решают разложением левой его части на множители:
  
  или
  
  
  ПРИМЕР 8
  ВЫХОД
  

• 20 слайд

  ЕСЛИ b=0
  
  
  
  
  Если , то уравнение имеет два корня:
  
  
  Если , то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 7
  ВЫХОД
  

• 21 слайд

  ПРИМЕР 7
  ВЫХОД
  

• 22 слайд

  ПРИМЕР 8
  ВЫХОД
  

• 23 слайд

  ТЕОРЕМА ВИЕТА
  Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  Если и -корни уравнения , то
  
  
  Из теоремы Виета следует, что если и - корни уравнения , то
  ВЫХОД
  

• 24 слайд

  БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Уравнение вида
  где х-переменная, а, b и с – некоторые числа, называют биквадратным уравнением.
  
  Например:
  ПРИМЕР9
  ВЫХОД
  

• 25 слайд

  ПРИМЕР 9
  ВЫХОД
  

• 26 слайд

  Рассмотрим решение квадратных
  неравенств на конкретном примере.
  
  Решим неравенство x2-5x-50<0 двумя
  способами:
  
  рассмотрением квадратичной функции;
  
  методом интервалов.
  Задания для самостоятельной работы
  
  1
  2
  

• 27 слайд

  1) Рассмотрим квадратичную функцию f(x) = x2 – 5 x - 50 и
  найдем такие значения x, для которых f(x) < 0.
  
  2) Графиком рассматриваемой функции является парабола,
  ветви которой направлены вверх, так как a = 1, 1 > 0.
  
  3) Найдем нули функции (то есть абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox), для этого решим квадратное уравнение
  x2 – 5 x – 50 = 0.
  x2 – 5 x – 50 = 0, a = 1, b = -5, c = -50.
  D = b2 – 4ac;
  D = (-5)2 –4*1*(-50) = 25 + 200 = 225 = 152, 225 > 0, значит уравнение имеет два действительных корня.
  x1 = (-(-5) – 15) : 2 = -5;
  x2 = (-(-5) + 15) : 2 = 10.
  Нули функции: x = -5 и x = 10.
  
  
  Метод рассмотрения квадратичной функции
  

• 28 слайд

  4) Изобразим схематично параболу f(x) = x2 – 5x –50 в
  координатной плоскости Oxy.
  
  5) Из рисунка видим, что
  f(x) < 0, при –5 < x < 10
  (то есть берем в рассмотрение
  ту часть параболы, которая
  лежит ниже оси Ox).
  
  Замечание: ответ записываем
  в виде числового промежутка.
  
  Ответ: (-5; 10).
  
  

• 29 слайд

  Рассмотрим функцию f(x) = x2 – 5x – 50 и найдем такие
  значения х для которых f(x) < 0.
  D(f) = R (то есть множество всех действительных чисел).
  
  2) Разложим квадратный трехчлен х2 – 5х - 50 на множители
  (то есть представим его в виде произведения а(х – х1)(х – х2),
  где х1 и х 2 – корни квадратного трехчлена).
  
  3) Для нахождения корней квадратного трехчлена решим
  уравнение х2 – 5х – 50 = 0.
  (Его мы уже решали, поэтому воспользуемся готовым результатом).
  Так как х1 = -5, х2 = 10, то получаем следующее разложение
  квадратного трехчлена на множители
  х2 – 5х - 50 = (х – (-5))(х – 10) = (х + 5)(х –10).
  
  
  Метод интервалов
  

• 30 слайд

  4) Теперь разобьем D(f) - область определения функции
  f(x) = x2 – 5x – 50 её нулями, то есть числами –5 и 10, на
  интервалы, в каждом из которых функция непрерывна,
  не обращается в ноль и поэтому сохраняет постоянный «знак».
  
  5) Расставляем «знаки» в
  интервалах: выбираем любое
  число из соответствующего
  интервала и определяем «знак» функции (например,
  0 принадлежит интервалу (-5; 10) и f(0) = 02 – 5*0 – 50 = -50;
  то есть f(0) < 0, значит значение функции в любой точке этого
  интервала отрицательно, ставим «знак» минус…).
  
  6) Выбираем промежутки, в которых f(x) < 0: это выполняется
  для всех –5 < х < 10.
  
  Ответ: (-5; 10).
  
  
  

• 31 слайд

  Краткое решение неравенства методом интервалов можно
  записать так:
  Решить неравенство -4х2 + 27х +7 0.
  Решение.
  -4х2 + 27х +7 0,
  4х2 - 27х -7 0.
  1) Рассмотрим f(x) = 4х2 - 27х -7 и найдем значения х, при которых f(x) 0, D(f) = R.
  2) 4х2 - 27х -7 = 0, D = 272 - 4*4*(-7) = 729 + 112 = 841 = 292.
  х1 = (27 – 29) : 8 = -0,25; х2 = (27 + 29) : 8 = 7.
  3) 4х2 - 27х -7 = 4*(х + 0,25)*(х – 7).
  4)
  
  
  5) f(x) 0 при –0,25 х 7.
  
  Ответ: [-0,25; 7].
  
  
  
  
  

• 32 слайд

  Попробуйте решить неравенства одним из
  рассмотренных методов:
  
  х2 – 3х < х – 3;
  
  -y2 – 8y + 9 >0;
  
  -9р2 < 1 – 6р;
  
  12а – 9 > 4а2.
  
  
  Ответы: 1) (1; 3);
  2) (-9; 1);
  3) все числа, кроме 1/3;
  4) решений нет.
  
  
  

• 1 слайд

  Решение линейных уравнений и неравенств.
  

• 2 слайд

  Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной неизвестной.
  Корнем уравнения называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
  Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
  Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называются равносильными.
  Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.
  Основные понятия:
  

• 3 слайд

  Определение: уравнение вида а х = в (где х – переменная, а и в – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной.
  
  
  
  Отличительная особенность такого уравнения – переменная х входит в уравнение обязательно в первой степени.
  

• 4 слайд

  Пример 1
  Перечисленные уравнения являются линейными, так как имеют вид а х = в:
  а) 3 х=7 (где а=3, в=7);
  б) -2 х=5 (где а=?, в=?);
  в) 0х=-3 (где а=?, в=?);
  г)0х=0 (где а=?, в=?).
  Все линейные уравнения приводятся к виду а х = в с помощью тождественных преобразований.
  

• 5 слайд

  Пример 2
  В уравнении 2(3х-5)=х-3 переменная х входит в первой степени. Поэтому это уравнение является линейным. Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки: 2 3х-2 5=х-3 или 6х-10=х-3.
  Перенесём слагаемые, содержащие х, в левую часть уравнения; числа – в правую. Приведём подобные слагаемые. Получаем: 6х-х=10-3 или 5х=7. Линейное уравнение имеет вид ах=в (где а=5, в=7)
  

• 6 слайд

  При решении уравнений не забудь следующие свойства:
  если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
  Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.
  
  

• 7 слайд

  Пример 3
  Перечисленные уравнения не являются линейными:
  3х2+6х+7=0 (так как содержит переменную х во второй степени);
  2х2-5х3= 3 (объясни сам)
  х(х-3)=х5 (объясни сам)
  
  

• 8 слайд

  
  
  ах=в
  а = 0 – один корень
  а = 0, в = 0 - нет корней
  а = 0, в = 0 – множество корней
  При решении уравнения вида ах = в возможны следующие три случая:
  Х =
  

• 9 слайд

  Пример 4
  Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 (х +3). Приведём это уравнение к стандартному виду. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:2 3 х-2 1=4 х + 4 3 или
  6 х - 2= 4 х + 12. Слагаемые, зависящие от х, перенесём в левую часть уравнения; числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные:
  6 х - 4х = 2+ 12. Приведём подобные слагаемые:
  2х = 14 . В этом уравнении а=2 и в=14 . Уравнение имеет один корень х =
  =7
  

• 10 слайд

  Пример 5
  Решим уравнение 2( 3 х-1)=4 ( х+3)- 14 +2х. Приводим это уравнение к стандартному виду: 6 х -2= 4 х + 12 – 14 + 2 х или
  6 х - 4 х - 2х=2 + 12-14, или 0х=0 (где а=0, в=0 ) .
  Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем верное числовое равенство 0=0.
  Поэтому любое число является корнем этого уравнения (уравнение имеет бесконечно много корней).
  

• 11 слайд

  Пример 6
  Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 ( х + 3)+2х
  Приводим это уравнение к стандартному виду:
  6 х - 2= 4 х+ 12+ 2 х или 6 х - 4 х-2 х= 2+12 или 0х=14 (где а=0, в=14 ).
  Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем неверное числовое равенство 0=14.
  Поэтому уравнение корней не имеет.
  

• 12 слайд

  Реши сам!
  а)5х-7=-2
  Ответ:х=?;
  б) 2(3х-1)+4=7х+5
  Ответ:х=?
  в)3х-(10+5х)=54
  Ответ:х=?
  г) 0,5(4-2х)=х-1,8
  Ответ:х=?
  
  

• 13 слайд

  а)5x=-2+7
  5x=5
  х=1 Ответ:х=1
  б) 6х-2+4=7х+5
  6х-7х=5+2-4
  -х=3
  х=-3 Ответ:х=-3
  в)3х-10-5х=54
  -2х=54+10
  -2х=64
  х=64:(-2)
  х=-32 Ответ:х=-32
  г) 2-х=х-1,8
  -х-х=-1,8-2
  -2х=-3,8
  х=1,9 Ответ: х=1,9
  
  

• 14 слайд

  4 х
  Ответ: (4; + ∞)
  

• 15 слайд

  Задание:
  Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой:
  № 1 17 – х > 2∙(5 – 3х)
  № 2 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
  № 3 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)
  № 4 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
  № 5 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
  

• 16 слайд

  Самопроверка:
  № 1 17 – х > 2∙(5 – 3х)
  17 – х > 10 – 6х
  - х + 6х > 10 – 17
  5х > - 7
  х > - 1,4
  х
  - 1,4 +∞
  Ответ: (- 1,4; + ∞)
  

• 17 слайд

  
  № 2 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
  64 – 6х ≥ 1 – х
  - 6х + х ≥ 1 – 64
  - 5х ≥ - 63
  х ≤ 12,6
  х
  - ∞ 12,6 + ∞
  Ответ: (- ∞; 12,6 ]
  

• 18 слайд

  № 3 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)
  8 + 5х ≤ 21 + 6х
  5х – 6х ≤ 21 – 8
  - х ≤ 13
  х ≥ - 13
  х
  
  - ∞ - 13 + ∞
  Ответ: [ - 13; + ∞)
  

• 19 слайд

  № 4 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
  0,2х – 2 < 7 – 0,8х
  0,2х + 0,8х < 7 +2
  1х < 9
  х < 9
  х
  
  - ∞ 9 + ∞
  Ответ: ( - ∞; 9)
  

• 20 слайд

  № 5 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
  5х + 2 ≤ 1 – 3х – 6
  5х + 3х ≤ 1 – 6 – 2
  8х ≤ -7
  х ≤- 7/8
  х
  
  - ∞ - 7/8 + ∞
  Ответ: (-∞; - 7/8]
  

• 21 слайд

  1) 2·(х + 8) – 5х < 4 – 3х
  2) х 2х – 1 > 2х – 1
  3 5 15
  3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?
  +
  Дополнительное задание:
  Решите неравенства:
  

• 1 слайд

  Решение систем нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным
  

• 2 слайд

  Решить систему уравнений
  Вычтем второе уравнение из первого
  
  -
  Получим систему уравнений
  

• 3 слайд

  Решение получившейся системы
  
  

• 4 слайд

  Метод введения новых неизвестных
  

• 5 слайд

  Решить систему уравнений
  Обозначим через u,
  
  а через v
  

• 6 слайд

  Решая данную систему, получаем
  

• 7 слайд

  Возвращаемся к переменным х и у.
  Ответ: (1; 0,5)
  

• 8 слайд

  Однородные уравнения
  

• 9 слайд

  Решить систему
  Для системы выполняется условие у ≠ 0.
  Разделим первое уравнение на у2 , получим
  

• 10 слайд

  Введем вспомогательное неизвестное
  Решая данное уравнение, получим
  

• 11 слайд

  Вернемся к переменным х и у
  Получим совокупность двух систем
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  Ответ:
  

• 14 слайд

  
  Системы неравенств
  с двумя переменными
  

• 15 слайд

  Области решения неравенства
  ≥
  
  
  
  
  
  
  y
  0
  x
  x
  y
  0
  у
  f(x)
  у
  f(x)
  ≤
  

• 16 слайд

  Области решения неравенства
  
  
  
  
  
  
  
  f(x)
  0
  x
  y
  у
  >
  у
  f(x)
  <
  

• 17 слайд

  Правило пробной точки
  -1
  -1
  0
  x
  1
  -2
  y
  -2
  2
  2
  1
  Построить F(x;y)=0 и G(x;y)=0
  Взяв из каждой области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением системы
  Объединение полученных областей- решение системы неравенств
  

• 18 слайд

  Решите систему неравенств
  x²+y²≤2y,
  y≤1-|x|.
  
  x²+(y-1)²≤1,
  y≤1-|x|.
  
  
  
  -1
  -1
  0
  x
  1
  -2
  y
  -2
  2
  2
  1
  

• 19 слайд

  Решите систему неравенств
  |y|≤x²-6x+8,
  |x-3|+ |y|< 3.
  
  
  
  
  
  
  3
  -1
  0
  x
  1
  2
  y
  -3
  3
  4
  6
  3
  2
  

Линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения

      Линейным уравнением относительно переменной   x   называется уравнение первой степени

kx + b = 0 ,

(1)

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении   b :

      В случае, когда  уравнение (1) решений не имеет.

      В случае, когда  k = 0,   b = 0,  решением уравнения (1) является любое число

Линейные неравенства

      Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

      В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов   k   и   b,   представлено в следующей Таблице 1.

      Таблица 1. – Решение неравенств первой степени

		kx + b > 0		kx + b < 0
k > 0	Знак неравенства сохраняется
k = 0,   b < 0
k = 0,   b = 0
k = 0,   b > 0
k < 0	Знак неравенства меняется на противоположный

Квадратные уравнения

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

ax2 + bx + c ,

(1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными  квадратными  уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

D = b2 – 4ac.

(7)

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В  случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0,  квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство.  В случае, когда   D = 0,  формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

      В случае, когда   D > 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

      В случае, когда  D < 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0,  квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0,  из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0,  уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

      В случае, когда   D > 0,  из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0,  обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0,  квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = a (x – x1)2.

(16)

      В случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0,  корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c = a (x – x₁) (x – x₂) = a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] = ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

Решение квадратного неравенства

Степень суммы

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y)

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы	(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы	(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы	(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы	(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
…	…

 

 

 

 

 

 

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул  «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности	(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности	(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности	(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности	(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
…	…

Преобразования алгебраических выражений

        I.      Действительные числа

1.      Натуральные числа

N: 1, 2, 3, 4, 5, … - числа, которые используются для счета

N:                                                            

v     Четные n=2k                          

v     Нечетные n=2k+1

v     Простые 2, 3, 5, 7, ….

v     Составные 18=2*3*3  - разложение на простые множители

Ø      Любое N число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

Ø    Из произведения n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.

НОД – наибольший общий делитель

Алгоритм нахождения НОД нескольких чисел:

1.      Выбрать наименьшее и выписать его делители

2.      Из выписанных выбрать те, которые являются делителями остальных чисел

3.      Среди найденных выбрать наибольшее

НОК – наименьшее общее кратное

Алгоритм нахождения НОК нескольких чисел:

1.      Выбрать наибольшее и выписать кратные

2.      Из выписанных найти те, которые являются кратными для остальных чисел

3.      Выбрать наименьшее

2.      Рациональные числа

 - числа вида , где m – целое число, n – натуральное.

Рациональные числа – конечные десятичные дроби и бесконечные периодичные дроби

Переведение бесконечных периодичных дробей в обыкновенные дроби:

3.      Процент – сотая часть числа

1.      Чтобы найти р % от числа а, нужно

2.      Чтобы найти число, р % которого равен b, нужно

3.      Чтобы найти процентное отношение а от b, нужно

4.      Действительные числа. Модуль числа

Геометрическая интерпретация   - расстояние от начала координат до числа а.

5.      Степени и корни

1.      n – натуральное число

Свойства:

2. к – целое число

Обыкновенные (или простые) дроби

Запись вида называется обыкновенной (или простой) дробью. Число a при этом называется числителем, а b – знаменателем.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. неполное частное будет целой частью
3. остаток (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель дробной части.

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Смешанное число можно представить и в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Правило сокращения дробей: деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Сложение и вычитание обыкновенных (простых) дробей

При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители соответственно складывают или вычитают, а знаменатель оставляют тот же.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем. При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо сначала привести данные дроби к общему знаменателю, а потом сравнить, сложить или вычесть их.

В общем виде сложение и вычитание дробей выглядит так:

хотя часто удобнее в качестве общего знаменателя брать не простое произведение знаменателей, а наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.

Умножение и деление обыкновенных (простых) дробей

Произведение обыкновенных дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей данных дробей

Числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Чтобы разделить число на дробь, надо умножить эта число на дробь, обратную делителю

Системы линейных и квадратных неравенств

Решение систем линейных неравенств

Рассмотрим систему линейных неравенств из двух уравнений с одним неизвестным

.

Алгоритм решения подобной системы прост:

1.      Решить первое неравенство, найти его промежутки значений.

2.      Решить второе неравенство, найти промежутки значений второго неравенства.

3.      Найти пересечение двух множеств значений .

Системы квадратных неравенств.

Решение систем квадратичных неравенств.

Рассмотрим систему квадратичных неравенств из двух уравнений с одним неизвестным

.

Алгоритм решения этой системы абсолютно аналогичен алгоритму при решении системы линейных неравенств:

1.      Решить первое неравенство, найти его промежутки значений.

2.      Решить второе неравенство, найти промежутки значений второго неравенства.

3.      Найти пересечение двух множеств значений .

• 1 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  

• 2 слайд

  далее
  Н
  Я
  Е
  Е
  Е
  А
  И
  Я
  Е
  Л
  И
  Н
  Н
  И
  Ы
  Ч
  Н
  Й
  Е
  Ц
  Н
  О
  Е
  Е
  Ж
  К
  Б
  Г
  Н
  Н
  А
  Н
  О
  О
  В
  Б
  И
  Р
  У
  Д
  Н
  А
  У
  Л
  Ы
  Ф
  О
  М
  Р
  К
  В
  П
  У
  1
  2
  4
  Сумма одночленов
  6
  5
  Равенство, содержащее переменную
  Бывает числовое, бывает с переменными
  Как называются слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, 2х, -15х, 7х
  3
  Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной
  Прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами
  Функция вида у=кх+b
  7
  *
  

• 3 слайд

  Прочитать
  

• 4 слайд

  Возвести в степень
  

• 5 слайд

  Представить в виде
  квадрата
  куба
  

• 6 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  Раскрытие скобок
  

• 7 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  Разложение на множители
  

• 8 слайд

  Полезные формулы
  

• 1 слайд

  РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  И НЕРАВЕНСТВ
  

• 2 слайд

  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  КЛАССИФИКАЦИЯ
  
  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
  
  БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  ВЫХОД
  

• 3 слайд

  КЛАССИФИКАЦИЯ
  ПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  НЕПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ПРИВЕДЕННЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ВЫХОД
  

• 4 слайд

  ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Уравнение вида , где х-переменная, a, b и с – некоторые числа, причем , называют квадратным.
  а – первый коэффициент
  b – второй коэффициент
  с – свободный член уравнения
  Например:
  ВЫХОД
  

• 5 слайд

  НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Если в уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
  Если b =0 , то
  Если с=0 , то
  
  Например: 1.
  2.
  ВЫХОД
  

• 6 слайд

  ПРИВЕДЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
  
  Например:
  ВЫХОД
  

• 7 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
  ПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  НЕПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ПРИВЕДЕННЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  ВЫХОД
  

• 8 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  ВЫХОД
  

• 9 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
  ВЫХОД
  

• 10 слайд

  СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  
  С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОРНЕЙ
  КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
  
  ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ ВИЕТА
  ВЫХОД
  

• 11 слайд

  Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения
  
  1. Если D>0, уравнение имеет два корня:
  
  
  2. Если D=0, то уравнение имеет один корень:
  
  
  3. Если D<0, то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 1
  ПРИМЕР 2
  ПРИМЕР 3
  ВЫХОД
  

• 12 слайд

  
  
  Если D>0, то уравнение имеет два корня:
  
  
  Если D=0, то уравнение имеет один корень:
  
  
  Если D<0, то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 4
  ПРИМЕР 5
  ПРИМЕР 6
  ВЫХОД
  

• 13 слайд

  ПРИМЕР 1
  ВЫХОД
  

• 14 слайд

  ПРИМЕР 2
  ВЫХОД
  

• 15 слайд

  ПРИМЕР 3
  ВЫХОД
  

• 16 слайд

  ПРИМЕР 4
  ВЫХОД
  

• 17 слайд

  ПРИМЕР 5
  ВЫХОД
  

• 18 слайд

  ПРИМЕР 6
  ВЫХОД
  

• 19 слайд

  ЕСЛИ С=0
  Такие уравнения решают разложением левой его части на множители:
  
  или
  
  
  ПРИМЕР 8
  ВЫХОД
  

• 20 слайд

  ЕСЛИ b=0
  
  
  
  
  Если , то уравнение имеет два корня:
  
  
  Если , то уравнение корней не имеет.
  ПРИМЕР 7
  ВЫХОД
  

• 21 слайд

  ПРИМЕР 7
  ВЫХОД
  

• 22 слайд

  ПРИМЕР 8
  ВЫХОД
  

• 23 слайд

  ТЕОРЕМА ВИЕТА
  Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  Если и -корни уравнения , то
  
  
  Из теоремы Виета следует, что если и - корни уравнения , то
  ВЫХОД
  

• 24 слайд

  БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Уравнение вида
  где х-переменная, а, b и с – некоторые числа, называют биквадратным уравнением.
  
  Например:
  ПРИМЕР9
  ВЫХОД
  

• 25 слайд

  ПРИМЕР 9
  ВЫХОД
  

• 26 слайд

  Рассмотрим решение квадратных
  неравенств на конкретном примере.
  
  Решим неравенство x2-5x-50<0 двумя
  способами:
  
  рассмотрением квадратичной функции;
  
  методом интервалов.
  Задания для самостоятельной работы
  
  1
  2
  

• 27 слайд

  1) Рассмотрим квадратичную функцию f(x) = x2 – 5 x - 50 и
  найдем такие значения x, для которых f(x) < 0.
  
  2) Графиком рассматриваемой функции является парабола,
  ветви которой направлены вверх, так как a = 1, 1 > 0.
  
  3) Найдем нули функции (то есть абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox), для этого решим квадратное уравнение
  x2 – 5 x – 50 = 0.
  x2 – 5 x – 50 = 0, a = 1, b = -5, c = -50.
  D = b2 – 4ac;
  D = (-5)2 –4*1*(-50) = 25 + 200 = 225 = 152, 225 > 0, значит уравнение имеет два действительных корня.
  x1 = (-(-5) – 15) : 2 = -5;
  x2 = (-(-5) + 15) : 2 = 10.
  Нули функции: x = -5 и x = 10.
  
  
  Метод рассмотрения квадратичной функции
  

• 28 слайд

  4) Изобразим схематично параболу f(x) = x2 – 5x –50 в
  координатной плоскости Oxy.
  
  5) Из рисунка видим, что
  f(x) < 0, при –5 < x < 10
  (то есть берем в рассмотрение
  ту часть параболы, которая
  лежит ниже оси Ox).
  
  Замечание: ответ записываем
  в виде числового промежутка.
  
  Ответ: (-5; 10).
  
  

• 29 слайд

  Рассмотрим функцию f(x) = x2 – 5x – 50 и найдем такие
  значения х для которых f(x) < 0.
  D(f) = R (то есть множество всех действительных чисел).
  
  2) Разложим квадратный трехчлен х2 – 5х - 50 на множители
  (то есть представим его в виде произведения а(х – х1)(х – х2),
  где х1 и х 2 – корни квадратного трехчлена).
  
  3) Для нахождения корней квадратного трехчлена решим
  уравнение х2 – 5х – 50 = 0.
  (Его мы уже решали, поэтому воспользуемся готовым результатом).
  Так как х1 = -5, х2 = 10, то получаем следующее разложение
  квадратного трехчлена на множители
  х2 – 5х - 50 = (х – (-5))(х – 10) = (х + 5)(х –10).
  
  
  Метод интервалов
  

• 30 слайд

  4) Теперь разобьем D(f) - область определения функции
  f(x) = x2 – 5x – 50 её нулями, то есть числами –5 и 10, на
  интервалы, в каждом из которых функция непрерывна,
  не обращается в ноль и поэтому сохраняет постоянный «знак».
  
  5) Расставляем «знаки» в
  интервалах: выбираем любое
  число из соответствующего
  интервала и определяем «знак» функции (например,
  0 принадлежит интервалу (-5; 10) и f(0) = 02 – 5*0 – 50 = -50;
  то есть f(0) < 0, значит значение функции в любой точке этого
  интервала отрицательно, ставим «знак» минус…).
  
  6) Выбираем промежутки, в которых f(x) < 0: это выполняется
  для всех –5 < х < 10.
  
  Ответ: (-5; 10).
  
  
  

• 31 слайд

  Краткое решение неравенства методом интервалов можно
  записать так:
  Решить неравенство -4х2 + 27х +7 0.
  Решение.
  -4х2 + 27х +7 0,
  4х2 - 27х -7 0.
  1) Рассмотрим f(x) = 4х2 - 27х -7 и найдем значения х, при которых f(x) 0, D(f) = R.
  2) 4х2 - 27х -7 = 0, D = 272 - 4*4*(-7) = 729 + 112 = 841 = 292.
  х1 = (27 – 29) : 8 = -0,25; х2 = (27 + 29) : 8 = 7.
  3) 4х2 - 27х -7 = 4*(х + 0,25)*(х – 7).
  4)
  
  
  5) f(x) 0 при –0,25 х 7.
  
  Ответ: [-0,25; 7].
  
  
  
  
  

• 32 слайд

  Попробуйте решить неравенства одним из
  рассмотренных методов:
  
  х2 – 3х < х – 3;
  
  -y2 – 8y + 9 >0;
  
  -9р2 < 1 – 6р;
  
  12а – 9 > 4а2.
  
  
  Ответы: 1) (1; 3);
  2) (-9; 1);
  3) все числа, кроме 1/3;
  4) решений нет.
  
  
  

• 1 слайд

  Решение линейных уравнений и неравенств.
  

• 2 слайд

  Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной неизвестной.
  Корнем уравнения называют значение переменной , при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
  Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
  Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называются равносильными.
  Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.
  Основные понятия:
  

• 3 слайд

  Определение: уравнение вида а х = в (где х – переменная, а и в – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной.
  
  
  
  Отличительная особенность такого уравнения – переменная х входит в уравнение обязательно в первой степени.
  

• 4 слайд

  Пример 1
  Перечисленные уравнения являются линейными, так как имеют вид а х = в:
  а) 3 х=7 (где а=3, в=7);
  б) -2 х=5 (где а=?, в=?);
  в) 0х=-3 (где а=?, в=?);
  г)0х=0 (где а=?, в=?).
  Все линейные уравнения приводятся к виду а х = в с помощью тождественных преобразований.
  

• 5 слайд

  Пример 2
  В уравнении 2(3х-5)=х-3 переменная х входит в первой степени. Поэтому это уравнение является линейным. Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки: 2 3х-2 5=х-3 или 6х-10=х-3.
  Перенесём слагаемые, содержащие х, в левую часть уравнения; числа – в правую. Приведём подобные слагаемые. Получаем: 6х-х=10-3 или 5х=7. Линейное уравнение имеет вид ах=в (где а=5, в=7)
  

• 6 слайд

  При решении уравнений не забудь следующие свойства:
  если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
  Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.
  
  

• 7 слайд

  Пример 3
  Перечисленные уравнения не являются линейными:
  3х2+6х+7=0 (так как содержит переменную х во второй степени);
  2х2-5х3= 3 (объясни сам)
  х(х-3)=х5 (объясни сам)
  
  

• 8 слайд

  
  
  ах=в
  а = 0 – один корень
  а = 0, в = 0 - нет корней
  а = 0, в = 0 – множество корней
  При решении уравнения вида ах = в возможны следующие три случая:
  Х =
  

• 9 слайд

  Пример 4
  Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 (х +3). Приведём это уравнение к стандартному виду. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:2 3 х-2 1=4 х + 4 3 или
  6 х - 2= 4 х + 12. Слагаемые, зависящие от х, перенесём в левую часть уравнения; числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные:
  6 х - 4х = 2+ 12. Приведём подобные слагаемые:
  2х = 14 . В этом уравнении а=2 и в=14 . Уравнение имеет один корень х =
  =7
  

• 10 слайд

  Пример 5
  Решим уравнение 2( 3 х-1)=4 ( х+3)- 14 +2х. Приводим это уравнение к стандартному виду: 6 х -2= 4 х + 12 – 14 + 2 х или
  6 х - 4 х - 2х=2 + 12-14, или 0х=0 (где а=0, в=0 ) .
  Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем верное числовое равенство 0=0.
  Поэтому любое число является корнем этого уравнения (уравнение имеет бесконечно много корней).
  

• 11 слайд

  Пример 6
  Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 ( х + 3)+2х
  Приводим это уравнение к стандартному виду:
  6 х - 2= 4 х+ 12+ 2 х или 6 х - 4 х-2 х= 2+12 или 0х=14 (где а=0, в=14 ).
  Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем неверное числовое равенство 0=14.
  Поэтому уравнение корней не имеет.
  

• 12 слайд

  Реши сам!
  а)5х-7=-2
  Ответ:х=?;
  б) 2(3х-1)+4=7х+5
  Ответ:х=?
  в)3х-(10+5х)=54
  Ответ:х=?
  г) 0,5(4-2х)=х-1,8
  Ответ:х=?
  
  

• 13 слайд

  а)5x=-2+7
  5x=5
  х=1 Ответ:х=1
  б) 6х-2+4=7х+5
  6х-7х=5+2-4
  -х=3
  х=-3 Ответ:х=-3
  в)3х-10-5х=54
  -2х=54+10
  -2х=64
  х=64:(-2)
  х=-32 Ответ:х=-32
  г) 2-х=х-1,8
  -х-х=-1,8-2
  -2х=-3,8
  х=1,9 Ответ: х=1,9
  
  

• 14 слайд

  4 х
  Ответ: (4; + ∞)
  

• 15 слайд

  Задание:
  Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой:
  № 1 17 – х > 2∙(5 – 3х)
  № 2 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
  № 3 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)
  № 4 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
  № 5 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
  

• 16 слайд

  Самопроверка:
  № 1 17 – х > 2∙(5 – 3х)
  17 – х > 10 – 6х
  - х + 6х > 10 – 17
  5х > - 7
  х > - 1,4
  х
  - 1,4 +∞
  Ответ: (- 1,4; + ∞)
  

• 17 слайд

  
  № 2 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
  64 – 6х ≥ 1 – х
  - 6х + х ≥ 1 – 64
  - 5х ≥ - 63
  х ≤ 12,6
  х
  - ∞ 12,6 + ∞
  Ответ: (- ∞; 12,6 ]
  

• 18 слайд

  № 3 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)
  8 + 5х ≤ 21 + 6х
  5х – 6х ≤ 21 – 8
  - х ≤ 13
  х ≥ - 13
  х
  
  - ∞ - 13 + ∞
  Ответ: [ - 13; + ∞)
  

• 19 слайд

  № 4 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
  0,2х – 2 < 7 – 0,8х
  0,2х + 0,8х < 7 +2
  1х < 9
  х < 9
  х
  
  - ∞ 9 + ∞
  Ответ: ( - ∞; 9)
  

• 20 слайд

  № 5 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
  5х + 2 ≤ 1 – 3х – 6
  5х + 3х ≤ 1 – 6 – 2
  8х ≤ -7
  х ≤- 7/8
  х
  
  - ∞ - 7/8 + ∞
  Ответ: (-∞; - 7/8]
  

• 21 слайд

  1) 2·(х + 8) – 5х < 4 – 3х
  2) х 2х – 1 > 2х – 1
  3 5 15
  3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?
  +
  Дополнительное задание:
  Решите неравенства:
  

• 1 слайд

  Решение систем нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным
  

• 2 слайд

  Решить систему уравнений
  Вычтем второе уравнение из первого
  
  -
  Получим систему уравнений
  

• 3 слайд

  Решение получившейся системы
  
  

• 4 слайд

  Метод введения новых неизвестных
  

• 5 слайд

  Решить систему уравнений
  Обозначим через u,
  
  а через v
  

• 6 слайд

  Решая данную систему, получаем
  

• 7 слайд

  Возвращаемся к переменным х и у.
  Ответ: (1; 0,5)
  

• 8 слайд

  Однородные уравнения
  

• 9 слайд

  Решить систему
  Для системы выполняется условие у ≠ 0.
  Разделим первое уравнение на у2 , получим
  

• 10 слайд

  Введем вспомогательное неизвестное
  Решая данное уравнение, получим
  

• 11 слайд

  Вернемся к переменным х и у
  Получим совокупность двух систем
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  Ответ:
  

• 14 слайд

  
  Системы неравенств
  с двумя переменными
  

• 15 слайд

  Области решения неравенства
  ≥
  
  
  
  
  
  
  y
  0
  x
  x
  y
  0
  у
  f(x)
  у
  f(x)
  ≤
  

• 16 слайд

  Области решения неравенства
  
  
  
  
  
  
  
  f(x)
  0
  x
  y
  у
  >
  у
  f(x)
  <
  

• 17 слайд

  Правило пробной точки
  -1
  -1
  0
  x
  1
  -2
  y
  -2
  2
  2
  1
  Построить F(x;y)=0 и G(x;y)=0
  Взяв из каждой области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением системы
  Объединение полученных областей- решение системы неравенств
  

• 18 слайд

  Решите систему неравенств
  x²+y²≤2y,
  y≤1-|x|.
  
  x²+(y-1)²≤1,
  y≤1-|x|.
  
  
  
  -1
  -1
  0
  x
  1
  -2
  y
  -2
  2
  2
  1
  

• 19 слайд

  Решите систему неравенств
  |y|≤x²-6x+8,
  |x-3|+ |y|< 3.
  
  
  
  
  
  
  3
  -1
  0
  x
  1
  2
  y
  -3
  3
  4
  6
  3
  2
  

Линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения

      Линейным уравнением относительно переменной   x   называется уравнение первой степени

kx + b = 0 ,

(1)

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении   b :

      В случае, когда  уравнение (1) решений не имеет.

      В случае, когда  k = 0,   b = 0,  решением уравнения (1) является любое число

Линейные неравенства

      Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

      В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов   k   и   b,   представлено в следующей Таблице 1.

      Таблица 1. – Решение неравенств первой степени

		kx + b > 0		kx + b < 0
k > 0	Знак неравенства сохраняется
k = 0,   b < 0
k = 0,   b = 0
k = 0,   b > 0
k < 0	Знак неравенства меняется на противоположный

Квадратные уравнения

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

ax2 + bx + c ,

(1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными  квадратными  уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

D = b2 – 4ac.

(7)

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В  случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0,  квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство.  В случае, когда   D = 0,  формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

      В случае, когда   D > 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

      В случае, когда  D < 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0,  квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0,  из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0,  уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

      В случае, когда   D > 0,  из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0,  обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0,  квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = a (x – x1)2.

(16)

      В случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0,  корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c = a (x – x₁) (x – x₂) = a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] = ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

Решение квадратного неравенства

Степень суммы

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y)

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) суммы	(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы	(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы	(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы	(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы	(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
…	…

 

 

 

 

 

 

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул  «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) разности	(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности	(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности	(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности	(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности	(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
…	…

Преобразования алгебраических выражений

        I.      Действительные числа

1.      Натуральные числа

N: 1, 2, 3, 4, 5, … - числа, которые используются для счета

N:                                                            

v     Четные n=2k                          

v     Нечетные n=2k+1

v     Простые 2, 3, 5, 7, ….

v     Составные 18=2*3*3  - разложение на простые множители

Ø      Любое N число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

Ø    Из произведения n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.

НОД – наибольший общий делитель

Алгоритм нахождения НОД нескольких чисел:

1.      Выбрать наименьшее и выписать его делители

2.      Из выписанных выбрать те, которые являются делителями остальных чисел

3.      Среди найденных выбрать наибольшее

НОК – наименьшее общее кратное

Алгоритм нахождения НОК нескольких чисел:

1.      Выбрать наибольшее и выписать кратные

2.      Из выписанных найти те, которые являются кратными для остальных чисел

3.      Выбрать наименьшее

2.      Рациональные числа

 - числа вида , где m – целое число, n – натуральное.

Рациональные числа – конечные десятичные дроби и бесконечные периодичные дроби

Переведение бесконечных периодичных дробей в обыкновенные дроби:

3.      Процент – сотая часть числа

1.      Чтобы найти р % от числа а, нужно

2.      Чтобы найти число, р % которого равен b, нужно

3.      Чтобы найти процентное отношение а от b, нужно

4.      Действительные числа. Модуль числа

Геометрическая интерпретация   - расстояние от начала координат до числа а.

5.      Степени и корни

1.      n – натуральное число

Свойства:

2. к – целое число

Обыкновенные (или простые) дроби

Запись вида называется обыкновенной (или простой) дробью. Число a при этом называется числителем, а b – знаменателем.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. неполное частное будет целой частью
3. остаток (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель дробной части.

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Смешанное число можно представить и в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Правило сокращения дробей: деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Сложение и вычитание обыкновенных (простых) дробей

При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители соответственно складывают или вычитают, а знаменатель оставляют тот же.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем. При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо сначала привести данные дроби к общему знаменателю, а потом сравнить, сложить или вычесть их.

В общем виде сложение и вычитание дробей выглядит так:

хотя часто удобнее в качестве общего знаменателя брать не простое произведение знаменателей, а наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.

Умножение и деление обыкновенных (простых) дробей

Произведение обыкновенных дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей данных дробей

Числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Чтобы разделить число на дробь, надо умножить эта число на дробь, обратную делителю

Системы линейных и квадратных неравенств

Решение систем линейных неравенств

Рассмотрим систему линейных неравенств из двух уравнений с одним неизвестным

.

Алгоритм решения подобной системы прост:

1.      Решить первое неравенство, найти его промежутки значений.

2.      Решить второе неравенство, найти промежутки значений второго неравенства.

3.      Найти пересечение двух множеств значений .

Системы квадратных неравенств.

Решение систем квадратичных неравенств.

Рассмотрим систему квадратичных неравенств из двух уравнений с одним неизвестным

.

Алгоритм решения этой системы абсолютно аналогичен алгоритму при решении системы линейных неравенств:

1.      Решить первое неравенство, найти его промежутки значений.

2.      Решить второе неравенство, найти промежутки значений второго неравенства.

3.      Найти пересечение двух множеств значений .

• 1 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  

• 2 слайд

  далее
  Н
  Я
  Е
  Е
  Е
  А
  И
  Я
  Е
  Л
  И
  Н
  Н
  И
  Ы
  Ч
  Н
  Й
  Е
  Ц
  Н
  О
  Е
  Е
  Ж
  К
  Б
  Г
  Н
  Н
  А
  Н
  О
  О
  В
  Б
  И
  Р
  У
  Д
  Н
  А
  У
  Л
  Ы
  Ф
  О
  М
  Р
  К
  В
  П
  У
  1
  2
  4
  Сумма одночленов
  6
  5
  Равенство, содержащее переменную
  Бывает числовое, бывает с переменными
  Как называются слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, 2х, -15х, 7х
  3
  Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной
  Прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами
  Функция вида у=кх+b
  7
  *
  

• 3 слайд

  Прочитать
  

• 4 слайд

  Возвести в степень
  

• 5 слайд

  Представить в виде
  квадрата
  куба
  

• 6 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  Раскрытие скобок
  

• 7 слайд

  Формулы сокращённого умножения
  Разложение на множители
  

• 8 слайд

  Полезные формулы