Конспект на тему "Что такое логарифмические уравнения"

Что такое логарифмические уравнения?

Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов. 

Например:

А вот уравнение нельзя называть логарифмическим. 

Я думаю, тебе вполне ясно, почему?

Верно, все потому, что 2x не находится внутри никакого логарифма.

Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода.

Как же решать логарифмические уравнения?

3 основных способа решения логарифмических уравнений

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… 

Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду:

а затем уже решать уравнение без логарифмов:
f(x)=g(x).

То есть правило такое:

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В логарифмических уравнениях мы всегда делаем проверку полученных корней!!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки.

Примеры

Давай разбираться с каждым способом и примером по-отдельности.

Способ 1. Правило умножения на единицу

Пример №1

log2(4−x)=7

Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. 

Что делать? 

Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 2, а затем просто откинуть логарифмы.

Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:

Правило умножения на единицу!

Вот в чем его соль: я умножу 7 на 1

7⋅1

Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:

Мне же нужно основание 2, поэтому я возьму a=2, тогда

Полдела сделано! Теперь мне нужно засунуть 7 внутрь логарифма.

Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:


Применительно к моей ситуации это даст:



Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:



Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение:

4−x=128,

x=−124

Но это еще не конец! Обещанная проверка:



так как 2^7=128, то последнее выражение истинное, и x=−124 – на самом деле является корнем.

Запишем ответ:

−124.

Пример №2

Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа 2:


Тогда исходное уравнение станет вот таким:

Пример №3

А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим

15+x=3,

x=−12

Делаем проверку:


Все верно!

Пример №4

Опять воспользуемся волшебным правилом!

Способ 2. Правило "превращения единицы"

Разберем это правило на пятом примере логарифмического уравнения:

Пример № 5

Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:



Тогда исходное уравнение станет вот таким:



Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)

Применительно к моей ситуации это даст:



Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.

7−x=5(3−x)

7−x=15−5x

4x=8

x=2.

Проверка:



Верно!

Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:

Способ 3. Использование свойств логарифма

Пример № 6

Здесь у нас есть два возможных пути:

Первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),

Второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:

Но читать я ее буду справа налево:



Теперь разберемся с числом



Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:

Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили.

Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе, какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:

Ну а далее обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями!

самостоятельная работа: