Конспект урока по элективному курсу по комбинаторике на тему " Перестановки, размещения. Решение комбинаторных задач ."

Урок 6. Тема. "Перестановки, размещения. Решение  комбинаторных задач ".

Цель: дальнейшая отработка решения задач на перемещение и размещение, проверка степени усвоения решения задач.

 1. Организационный момент.

2. Повторение .  Устный счёт.

-Определите на какое понятие задача: перестановка – размещение?

Вопросы:

1.Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых чисел можно составить, используя эти цифры?

2. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых трёхзначных чисел можно составить?

3. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько любых трёхзначных чисел можно составить, используя эти цифры не более одного раза?

3. Решение задач.

Задача 1    Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в  кассу?

Решение:

  Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р9= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.      

Задача 2.   Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение.

   Пронумеруем места в купе (с № I по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

способа.

  Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произведения: для первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго - любое из 3 оставшихся, для третьего - любое из двух оставшихся, всего  4*3*2=24 способа рассадить семью в купе.

Ответ: 24 способа.

 Задача 3. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в кото­рых буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке?

Решение:

    Буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке, поэтому конструкцию «кон» можно считать одной буквой. Значит нужно найти количество перестановок из трех элементов:

Р3= 3! = 6

Ответ: 6 перестановок.

Задача 4.  Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их по­вторения) различных трехзначных чисел, кото­рые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов рав­но

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

Задача 5.   Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Решение:

    Из 12 элементов 5 элементов можно «склеить» Р5 = 5!= 120 различными способами.

    Число различных перестановок из 8 элементов (7 элементов + «склейка») равно Р8=8!=40 320.

Общее число способов расставить12 книг, из которых 5 книг должны стоять рядом, равно 120•40 320=4 838 400.

Ответ: 4 838 400 способов.

4.Задачи для самостоятельного решения. 

1.Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их по­вторения) различных трехзначных чисел, кото­рые являются:

а) четными; б) кратными 5?

Решение.

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов

  (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2*4*3= 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов рав­но

  (фиксирована 5) = 4 * 3 = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

2.  Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение:  Под маршрутом следует понимать порядок посещения курьером учреждений. Пронумеруем учреждения номерами от 1 до 7, тогда маршрут будет представляться последовательностью из 7 цифр, порядок которых может меняться.

   Количество маршрутов равно числу перестановок  из 7 элементов:

 Р7 =7!=5040.

Ответ: 5040 маршрутов.

5. Решение примеров.

 Сократите дробь:

а)   ; в)

Найдите:

 а);   в).

          6.  Домашняя работа.

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 участников?

Ответ: перестановки, 5! ,120.

Задача 2: В команде по футболу (11 человек) нужно выбрать капитана и защитника. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: размещения из 11 по 2,  110.

Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

Ответ: размещения из 14 по 5, 1320. 7. Рефлексия.

Дайте аргументированные ответы на один из вопросов:

-Что вы ожидали от урока и что получилось?

-Какие этапы урока вы считаете наиболее удачными и почему?

         - Была ли польза от работы?

         -Что вам более всего удалось во время урока, какие виды деятельности были выполнены наиболее успешно? Назовите наиболее эффективные из них.

        -Перечислите  основные проблемы и трудности, которые вы испытывали во время урока. Какими способами вы их преодолевали?

      -Какое задание вы бы опустили, вычеркнули? Почему?