Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Применение интеграла"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока "Применение интеграла"

библиотека
материалов


Обобщающий урок по теме:

«Интеграл и его применение».


Эпиграф: ««Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяна.

Цели урока:


Общеобразовательные: закрепить, повторить и обобщить знания , полученные при изучении темы: «Интеграл и его применение», закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, рассмотреть практическое применение данной темы в физике, геометрии и в профессии «Экономика и бухгалтерский учёт», подготовиться к практической работе.


Развивающие: развивать способности к реализации возможностей и потенциала в креативной деятельности; выработка навыков принятия творческих решений.


Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, ответственного отношения к делу, готовность к взаимопомощи.


Форма проведения урока: урок – проблемная конференция.


Тип урока: «Повторительно – обобщающий».


Оснащение урока: мультимедиапроектор, компьютеры, компьютерная программа «Вычисление определённого интеграла», калькуляторы, плакат «Таблица первообразных», папки «Учись учиться», тесты, карточки с практическими заданиями.


Межпредметные связи:

Физика: «Вычисление работы, производимой телом», «Вычисление пути, пройденного телом».

Геометрия: «Вычисление объёмов и площадей тел вращения».


Связь с профессией: задачи с экономическим содержанием.


План урока.


  1. Орг. момент – 2 мин.

  2. Проведение конференции – 40 мин.

а) Выступление историков;

б) Выступление математиков;

в) Выступление физиков;

г) Выступление бухгалтеров;

д) Выступление программистов.

  1. Подведение итогов – 2 мин.

  2. Домашнее задание – 1 мин.


Ход урока.


Вступительное слово учителя:


Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Интеграл и его применение».

Эпиграфом к этому уроку могут служить слова американского философа Джорджа Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

И сегодня на уроке мы ещё раз убедимся в справедливости этого высказывания.

Цель нашего урока не только обобщить знания, полученные при изучении этой темы, закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, но и расширить представления о практическом применении интеграла, показать значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. И как окончательный итог изучения темы – практическая работа.

Тема эта очень обширная, но большинство вопросов мы с вами уже рассмотрели на предыдущих уроках, мы проводим урок в виде «проблемной конференции».

На конференции обычно приглашаются специалисты, занимающиеся разработкой смежных тем.

В нашей конференции принимают участие несколько специалистов:

* историки;

* математики;

* физики;

* экономисты;

*программисты.

Это студенты вашей группы, которые получили домашнее задание – собрать, систематизировать материал по конкретному вопросу, может быть найти дополнительный материал, который мы не изучали.

На нашем уроке так же присутствует студентка 3-го курса по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Беляева Анна. Она не только помогает продемонстрировать нам слайды на экране, но и приняла активное участие в работе нашей конференции в качестве специалиста-программиста.

В ходе нашей конференции все присутствующие могут задавать вопросы выступающим и принимать активное участие в её работе.

И так, начинаем работу конференции:

- Слово имеет историк, который расскажет нам о возникновении интегрального исчисления. ( см. приложение 1)

Вопрос учителя: В твоём выступлении прозвучало два подхода к определению определённого интеграла. Какой подход мы использовали для введения понятия определённого интеграла на уроках?

Так ли это мы поймём, прослушав выступление математика. (см приложение 2)


Слово учителя:

Прослушав это сообщение, каждый из вас освежил в памяти вес теоретический материал, который нам понадобится для успешного выполнения практической части нашей конференции.

У вас на столах лежат задания, которые вы должны выполнить в ходе нашей конференции. Вы можете выполнять их вместе с группой или самостоятельно.



Пример 1.

Вычислить интеграл

hello_html_2d2985a9.gif3 3

а)(6х2+4х-5)dх=(6·х3/3+4·х2/2-5х) =(2·33+2·32-5·3)-(2·13+2·12-5·1)=

1 1

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

π π

бhello_html_2d2985a9.gif)(cos3х+sin½х)dх=(-⅓sin3х+2cos½х) =

π/2 π/2

=(-⅓sin3π+2cos½π)-(-⅓sin3π/2+2cos½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.


Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)у=-(х+2)2+3, у=0.

Решение:

Графиком функции у=-х2+9 является парабола, ветви которой направлены вниз, координаты вершины параболы (0;9).

Графиком функции у=0 является ось Ох.

Построим графики этих функций в одной системе координат.

hello_html_m201dc81.gif

у





hello_html_m2c85eaec.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_7bdd2069.gif



hello_html_m6ef3199d.gifhello_html_13b67e67.gifhello_html_13b67e67.gifhello_html_7451beb4.gifhello_html_m71327c4d.gif9

-3 0 3 х

Найдём координаты точек пересечения графиков функций, для этого решим уравнение:

2+9=0

2=-9

х=±3

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

3 3

Shello_html_2d2985a9.gif=∫(-х2+9)dх=(-х3/3+9х)=(-(3)3/3+9·3)-( -(-3)3/3+9·(-3)=

-3-3

=18-(-18)=36 (кв.ед)

Ответ: S=36 кв.ед.


Слово учителя:

Я надеюсь вы вспомнили как вычисляется определённый интеграл. Сейчас я предлагаю проверить себя и ответить на вопросы теста.


После выполнения работы, студенты проверяют правильность выполнения теста, используя предлагаемые критерии оценки. (см. приложение 3)


Слово учителя:

Определённый интеграл широко применяется не только в математике, но и в физике, геометрии, химии. Об этом нам расскажет физик. (см. приложение 4)


Слово учителя:

Мы опять возвращаемся к практической части нашей конференции, я предлагаю вам решить задачи с физическим содержанием.


Задача 1.


Сила упругости пружины, растянутой 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

Решение:

По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности. На рис а) точка 0 соответствует свободному положению пружины. Из условия задачи следует, что 3=k·0,05. Следовательно, k=60 и сила F=60х, а по формуле находим:

0,05 0,05

Аhello_html_m5ee0d1.gif=60хdх=30х2 =30·0,052-30·02=0,075 Дж.

0 0

Ответ: А=0,075 Дж.


Задача 2.

Найти путь, пройденный материальной точкой за 10с от начала движения со скоростью v=0,1t3м/с.

Решение: t2

Т.к. t1=0 и t2=10, то подставив в формулу S=v(t)dt, получим

t1

10 10

Shello_html_2d2985a9.gif=0,1t3dt=0,1t4/4 =250м.

0 0

Ответ: S=250м.


Слово учителя:


Мы убедились с вами, в том, что интеграл имеет широкое применение в физике. А нельзя ли решать задачи с экономическим содержанием с помощью определённого интеграла? На этот вопрос ответит специалист по экономическим вопросам. ( см. приложение 5)


Слово учителя:


И так, с помощью интеграла можно решать экономические задачи.


Задача.

Производительность труда рабочего в течении дня задаётся функцией f(t)=-0,00625t2+0,05t+0,5 (ден. ед/ч.) , где t – время в часах от начала работы,0≤t≤8. Найти функцию Q(t), выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.


Решение:

Применяя формулу, получим:

hello_html_m5ee0d1.gif8 8

Q=(-0,00625t2+0,05t+0,5)dt=-0,00625t3/3+0,05t2/2+0,5t=

0 0

=(-0,00625·83/3+0,05·82/2+0,5·8)-(-0,00625·03/3+0,05·02/2+0,5·0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53(ден.ед)

Ответ: Q≈4,53 ден.ед.


Слово учителя:


Мы убедились в истинности высказывания Джорджа Сантаяна. Действительно, многие науки и профессии стремятся к математики. Но всё же нам приходится выполнять иногда достаточно сложные вычисления. Можно ли решить эту задачу?

Наверное – да. В век компьютерных технологий и эту задачу можно успешно решить. Слово программисту - Беляевой Анне.


Выступление программиста:


Я составила компьютерную программу: «Вычисление определённого интеграла». Эта программа позволяет за считанные секунды вычислить значение интеграла и экономит наше время.

(демонстрация программы см. приложение 6)


Слово учителя:


Первая подгруппа занимает места у компьютеров, а вторая – остаётся на местах. Решая одну и туже задачу, мы убедимся в преимуществе компьютерной программы.


( студенты решают задачу, используя компьютерную программу)


Подведём итоги урока - мы обобщили знания, полученные при изучении этой темы, закрепили практические навыки вычисления определённого интеграла, расширили представления о практическом применении интеграла, показали значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. Увидели плюсы применения компьютерных технологий при решении математических задач, и, надеюсь, подготовились к практической работе.

Задачи, которые остались нерешёнными, необходимо решить дома.


Выставление оценок.



















Приложение 1.


Выступление историка:


Я попыталась собрать историческую информацию о возникновении интегрального исчисления. Для этого я обратились к изучению жизни и творчества таких учёных как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Бернулли, Чебышев. Каждый из них сыграл определённую роль в деле развития интегрального исчисления.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками древней Греции, Евклидом и Архимедом.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений основываются на идеях, сформулированных в начале XVII века великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер, готовясь к свадьбе, приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти общие, а главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального исчисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созда­нием математического аппарата, с помощью ко­торого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические задачи. До Ньютона многие функ­ции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представ­ления функции - он ввел в математику и на­чал систематически применять бесконечные ряды.

Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

hello_html_mcb6556c.gif,

где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

hello_html_403b9b92.gif.

Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Дальнейшее развитие теории дифференциального исчисления получило в работах Леонарда Эйлера.

Работы Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа, был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

Хочется назвать ещё одно имя: Иоганн Бернулли.

Роль Иоганна Бернулли, как одного из создателей, распро­странителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа, отражает современная термино­логия: название «интегральное исчисление» (от латинско­го integer — целый), ввел Иоганн Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед­ствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S— первую букву латинского сло­ва summa.

Приложение 2.


Выступление математика:


Как мы уже услышали из предыдущего выступления, то подход к понятию определённого интеграла был разный. Одной из главных задач интегрального исчисления является нахождение первообразной.


Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F´(х)=f(х).


Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных)


Любая первообразная для функции fна промежутке I может быть записана в виде

F(х)+С,

Где F(х) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.


Для нахождения первообразных мы использовали таблицу:



Функция f(х)



Первообразная F(х)


K



k


хn



хn+1/n+1+С


1/√х



2√х+С


sin х



-cos х+C


сos х



sin х+С


1/cos2 x



tg х+С


1/sin2 x



-ctg х+С


ах



ах/ln а+С


1/х



ln‌|х|


ех



ех


1/√1-х2



аrcsin х+С


1/х2+1



arctg x


tg х



-ln|cos x|


ctg x



ln|sin х|



Так же существуют три правила нахождения первообразных:



Правило 1. Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.


Правило 2. Если F есть первообразная для функции f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.


Правило 3. Если F(х) - есть первообразная для функции f(х), а k и b – постоянные, причём k≠0, то 1/k·F(kх+b) есть первообразная для f(kх+b).


Выражение F(х)+С называется неопределённым интегралом


f(х)dх=F(х)+С


Понятие определённого интеграла связано с задачей вычисления площади криволинейной трапеции.


Фигуру, ограниченную графиком функции f(х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а;b], отрезком[а;b] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.


hello_html_m24b8890c.gif

hello_html_5cde7c02.gifhello_html_56af025a.gifhello_html_m75498e95.gifа) у b) у

hello_html_m41f3cf85.gifhello_html_e8e5001.gifhello_html_40862967.gifhello_html_m473b18ca.gifhello_html_m7b0f1585.gif



hello_html_6ac59c09.gifhello_html_m785da55e.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gif0 а b х 0 а b х


вhello_html_m4944f143.gifhello_html_m4944f143.gifhello_html_56e6e747.gif) г)

hello_html_211f453f.gifhello_html_m2fb83a6a.gifу у

hello_html_m785da55e.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m262ea49d.gif

a 0 b x

hello_html_438e1b6b.gif

hello_html_6ac59c09.gif

a 0 b х



Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:


Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;b]функция, а F – первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а;b], т.е. S=F(b)-F(а).


Для любой непрерывной на отрезке [а;b] функции f (не обязательно неотрицательной) S стремиться к некоторому числу. Это число называют интегралом функции f от а до b и обозначают:

b

f(х)dх

а

a, b – пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел);

f – подынтегральная функция;

х – переменная интегрирования;

- знак интеграла.

b

f(х)dх=F(b)-F(а) – формула Ньютона-Лейбница.

а

Для удобства записи разность F(b)-F(а) принято сокращённо обозначать

b

F(х)|

а

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают в виде:

b b

f(х)dх= F(х)|

а а

Исходя из выше сказанного, площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью определённого интеграла, а для вычисления определённого интеграла необходимо уметь вычислять первообразную.


Приложение 3.


Тест.


Вариант 1.


  1. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:__________________________________________________.


  1. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.


  1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке:


hello_html_m38b33ae7.png


4. С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры?

hello_html_m2de41005.gifhello_html_36336d97.gifhello_html_m2aa6fe69.gifу у=х2+3

у=8

hello_html_2d16e4c9.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m682cdf42.gifhello_html_m8dab612.gifhello_html_m8dab612.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m71327c4d.gif



hello_html_1d4fa6bd.gif

1 4 х


4 4 4

а) S=2-5)dх; б) S=2+11)dх; в) S=(5-х2)dх.

1 1 1



5. Найдите истинные равенства.


а) hello_html_m74a5e56b.gif;

б) hello_html_782925e4.gif;

в) hello_html_590ea7f8.gif.




Тест.


Вариант 2.


  1. Запишите основное свойство первообразной.


  1. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.



  1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке:


уhello_html_7e9b3592.gifhello_html_50740b07.gif у=3х+3


hello_html_711d87e4.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m682cdf42.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_41aeddad.gifhello_html_22e18a90.gifhello_html_7d65a54e.gif



hello_html_1d4fa6bd.gif

2 5 х


4. С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры?

hello_html_m2de41005.gifу у=-х2+5

hello_html_3d304536.gifhello_html_3d304536.gifhello_html_3d304536.gifhello_html_76a6272.gifhello_html_80f246f.gif

hello_html_m5968a9ae.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifу=2

hello_html_2d16e4c9.gifhello_html_77de3b61.gifhello_html_77de3b61.gif


hello_html_1d4fa6bd.gif

1 4 х


4 4 4

а) S=(-х2-5)dх; б) S=(-х2+3)dх; в) S=(5-х2)dх.

1 1 1


5. Найдите истинные равенства.

1

а) х3dх=3х

0

2

б) хdх=2

0

в) hello_html_m78537f8e.gif



Ответы на вопросы теста.


Вариант 1.


  1. F΄(х)=f(х).

b

  1. f(х)dх=F(b)-F(а).

а

3

3. S=(-х2+4х)dх.

1

4

4. в) S=(5-х2)dх.

1


5. а) hello_html_m74a5e56b.gif.


Вариант 2.


  1. F(х)+С.


2. hello_html_4e513278.gif.

5

3. S=(3х+3)dх.

2

4

4. б) S=(-х2+3)dх.

1

2

5. б) хdх=2.

0


Критерий оценки выполнения теста:


  • за 5 правильно выполненных задания – оценка «5»

  • за 4 правильно выполненных задания – оценка «4»

  • за 3 правильно выполненных задания – оценка «3»

  • за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация.



Приложение 4.


Выступление физика.


Определённый интеграл широко применяется при решении физических задач. Например, для вычисления работы силы, пути, пройденного материальной точкой.

1. Работа переменной силы.


Работу А, произведённую переменной силойf (х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находят по формуле:

b

А=f(х)dх

а

Для нахождения силы, действующей на тело, применяют закон Гука: F=kх, где k – коэффициент пропорциональности.


2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.


Если точка движется по некоторой линии, и её скорость v=f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1;t2] вычисляется по формуле:

t2

S=v(t)dt

t1

Определённый интеграл также применяется при:

  • вычислении объёмов тел вращения в геометрии;

  • нахождении центра масс в физике;


Приложение 5.


Выступление экономиста:


На уроках «Введение в специальность» мы познакомились с такими экономическими понятиями, как – производительность труда и объём выпускаемой продукции. Эти понятия раскрывают экономический смысл интеграла.

Если f(t) – производительность труда в момент t, то

T

Q=f(t)dt

0

есть объём выпускаемой продукции за промежуток [0;T].


Приложение 7.


Практические задания.

  1. Вычислить интеграл.

а) hello_html_25f0da3.gif

б)hello_html_249d5404.gif;

в) hello_html_6d378430.gif.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) у=х2+4; у=5;

б) 0,5х+2; у=-х+5.


3.Задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Скорость движения точки v=12t-3t2 м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Задача 2.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила 10 Н.

Задача 3.

Точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=6t2-4t-1.Найдите закон дви- жения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м.


  1. Задачи с экономическим содержанием.

Задача 1.

Производительность труда рабочего в течение дня задаётся формулой f(t)=0,00625t4+0,05t+0,5 ден. ед./ч., где t – время в часах от начала работы, т.е. 0≤t≤8. Найти функцию Q(t) – объём продукции и его величину за рабочий день.

Задача 2.

На складе запас некоторого товара равен 100 ед., а ежедневно поступающий товар выражается формулой f(t)=22-0,5t+0,06t2, где t- количество дней. Определить количество товара через 40 дней.


  1. Задачи для решения на компьютере.


Задача 1.

Производительность труда рабочих в технической смене при выпуске штангенциркулей определяется формулой f(t)=2,53t2, где t – рабочее время в часах. Вычислить объём выпускаемой продукции за 6 часов рабочего времени.

Задача 2.

Рост населения Воронежской области описывается функцией f(t)=35825t2, где t – время в годах. Определить прирост населения через 15 лет.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 07.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров800
Номер материала ДВ-132930
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх