Конспект урока в 9 классе на тему: "Целое уравнение и его корни"

МОУ «Л-Конобеевская СШ»

Целое уравнение
и его корни.

Конспект урока алгебры в 9 классе с использованием компьютерной презентации и компьютерного тестирования.

Разработала учитель математики  Закурдаева Наталья Сергеевна

Цели урока:

Образовательная: усвоить понятия «целое уравнение», «степень уравнения»; научиться решать биквадратные уравнения.

Воспитательная: воспитывать внимательность, наблюдательность, самостоятельность, умение выражать свои мысли.

Развивающая: развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы, анализировать.

Тип урока: объяснение нового материала

Ход урока:

I.    Оргмомент.

II. Устные упражнения. (слайд №1)

1. Решите уравнение:

а) х² = 9;      б) х² = 3;      в) х² + 4 = 0;  

2. Каков   знак   дискриминанта   квадратного   уравнения, если оно:

а) имеет один корень,

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

3. Какова степень многочлена:

а) х² - Зх⁵ + 2;

б) 4х – 8 – 2х(3х + 6) - 21;

4. Представьте х⁴  в виде квадрата

5. Чему равен х⁴ , если х² = a

6. Если сегодня в 12.00 пойдёт дождь, можете ли вы утверждать, что через 72 часа будут светить солнце?

7. Вспомните, какие выражения называют целыми?

8. Что называют корнем уравнения?

9. Что значит решить уравнение?

III. Объяснение нового материала.
- Сегодня мы с вами узнаем, какие уравнения называются целыми, как определить степень уравнения, а также познакомимся с новым видом уравнений – биквадратными уравнениями.

Итак, запишем тему урока: «Целое уравнение и его корни». (слайд №2)

Посмотрите внимательно на эти два уравнения. Из каких выражений они состоят?

(Из целых)

- Такие уравнения называются целыми

Опр. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

- Что мы можем сделать с этими уравнениями?

(раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – упростить)

- Т.е. можем привести их к виду P(x)=0, где P(x) - многочлен стандартного вида.

- У любого многочлена стандартного вида вы умеете определять степень. Степень можно определить и у уравнения.

Итак, (слайд № 3)

Опр. Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x)=0, где P(x) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P(x)=0, где P(x) - многочлен стандартного вида.

- Рассмотрим пример

Пример: определим степень уравнения

Выполним необходимые преобразования (слайд №3)

Степень данного уравнения равна 7

- Выполнив необходимые преобразования в заданном уравнении можно (слайд №4)

Уравнение первой степени можно привести к виду

Уравнение второй степени можно привести к виду

Уравнение третьей степени можно привести к виду

Уравнение четвёртой степени можно привести к виду

                                                             

и т. д.

- Уравнение первой степени по-другому называется… (линейным)

- Уравнение второй степени … (квадратным). От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

- Учёными доказано, что целое уравнение 2-й степени имеет не более 2-х корней, уравнение 3-й степени имеет не более 3-х корней, уравнение n-ой степени имеет не более n корней.

Для уравнений 3-й и 4-й степени известны формулы нахождения корней, в школьном курсе они не изучаются, но желающие могут с ними познакомиться дополнительно и подготовить небольшое сообщение.

- Сделаем небольшой экскурс в историю. (слайд №5, №6)

- норвежский математик Нильс Абель впервые доказал, что для уравнений пятой степени и более высоких степеней нет общих формул нахождения корней.

- французский математик Эварист Галуа нашёл необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

- На следующем уроке мы послушаем более подробно сообщение об этих учёных, Серёжа и Света подготовят доклады.

- А пока мы вернёмся к уравнениям.

Рассмотрим уравнение вида (слайд №7)

,

- На какое уравнение оно похоже? (на квадратное)

- Верно, оно является квадратным относительно х². Такие уравнения называют биквадратными. (слайд №7)

Опр. Уравнение вида         ,      ,

являющееся квадратным относительно  х², называют биквадратным.

- Такие уравнения легко решить методом введения новой переменной.

Пример: Решим уравнение(слайд №7)

 

Введём новую переменную, х² = t , Чему равно х⁴ ? ( t² )

Получим квадратное уравнение

 - Как найти его корни? (по теореме Виета)

и 

Вернёмся к замене, получим

 х²  = 1  или   х² = 4

Решив получившиеся уравнения получим четыре корня   -1; 1; -2 и 2 

IV.            Закрепление изученного. Решение задач

Откроем учебники на стр.76 и решим № 265 устно.

№ 278 (а,б,в)

№ 266 (а)

№ 272 (а)

V.    Физкультминутка (гимнастика для глаз)

VI.    Самостоятельная работа

А сейчас вам предстоит выполнить небольшой тест. Садитесь на свои места за компьютером. Приступайте.

(Обучающий тест из трёх заданий.)

VII.   Рефлексия

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Какое уравнение называется целым?

Как определить степень уравнения?

Какие уравнения называются биквадратными? Каким способом они решаются?

VIII.                  Домашнее задание.

Стр. 72 – 75 (теоретический материал)

Стр.  76 – 77 № 266 (в, г), 278 (г, д, е)

Стр.78. № 286, 287 (задания на повторение)

- Прочитайте домашнее задание. Какие у вас возникли вопросы? (пояснение домашнего задания)