Контрольно измерительные материалы для студентов заочного отделения

Специальность:  15.02.08 Технология машиностроения

Предмет: Математика

Преподаватель: Афонина Надежда Евгеньевна

Правила выполнения и оформления

 контрольных работ

1.     На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер варианта (соответствует последней цифре в номере зачётной книжки)

2.     Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

3.     Перед решением задачи следует выписать полностью ее условие.

4.     Решение задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

5.     Если после проверки контрольной работы поставлена отметка "Неудовлетворительно", необходимо в этой же тетради сделать работу над ошибками и представить работу для повторной проверки. Это необходимо сделать в кратчайшие сроки.

6. Контрольная работа выполняется на листах формата А-4 в папке со скоросшивателем.

Вариант 1.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

А = ,    В =                    

2.Найдите    обратную  матрицу и сделайте проверку, если:              

А =                                                                         

3. Найдите  матрицу  3А – 5В,  если:          

А = ,   В =                      

4. Вычислите определители:

,           

5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, методом обратной матрицы и  методом Гаусса.:

                   

6. Найти

;                                                           б)   ;  

в)   ;                                                        г)   .

7. Найти производные заданных функций.

                        а)     ;

                        б)   ;  

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления

       функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

                        а)   ;           б)   ;

10.Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                                б)   .

                                                             Вариант 2.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                          

      А = ,  В =   .

2.Найдите   обратную  матрицу  и сделайте проверку, если:              

А = .                                                                                                                       

              

3. Найдите  матрицу  4А – 3В,  если :          

           А=  В=                

4. Вычислите определители:

,                

5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной   матрицы, методом  Гаусса:

                                                           

Задание 6. Найти пределы функций.

а)   ;                                                             б)   ;  

в)   ;                                                                   г)  .

Задание 7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;             

                        в)   ;                         

Задание 8. Исследовать средствами дифференциального исчисления  функцию    и построить ее график.

Задание 9. Найти неопределенные интегралы.

                        а)   ;                                                    б)   .

Задание 10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                              б)   .

  .

                                                                Вариант 3.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

А = В=

2. Найдите   обратную  матрицу  сделайте  проверку, если:              

           А =                                                                                                                 

3. Найдите матрицу   -2А+ 4В,  если:

           А =                                                            

              В =

4. Вычислите определители:

      ,       

 5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной     матрицы, методом  Гаусса:

                           

6. Найти пределы функций.

а)   ;                                                                   б)   ;  

в)   ;                                                                      г)   . 

7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;             

                        в)   .

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления  функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

            а)   ;                     б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                               б)   .

                                                                    Вариант 4.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

                            А=    В =     

2. Найдите   обратную  матрицу  и сделайте проверку, если:              

             В =                                                                  

3. Найдите матрицу   -3А+ 3В,

  если:    А=  В =.

4.    Вычислите определители:

,          

 5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной   матрицы,     методом  Гаусса:

                                       

        6. Найти пределы функций.

а)   ;                      б)   ;  

в)   ;                          г)  .  

7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;           

                        в)   ;    

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления  функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

а)   ;                                 б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                              б)   .

                                                                   Вариант 5.

1.Вычислите   А∙ В,  если:                         

        А = ,    В = .                  

2. Найдите   обратную  матрицу  и сделайте проверку ,  если:              

             В =                                                           

3. Найдите матрицу   -3А+ 3В,  если:

   А=  В =.

4.    Вычислите определители:

  ,                         

 5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной матрицы, методом  Гаусса:

                                     

6. Найти пределы функций.

а)   ;                      б)   ;  

в)   ;                        г)  .  

7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;

                        в)        

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

а)   ;                 б)   ;

в)   ;                                 г)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                                      б)   .

                                                                Вариант 6.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

А = ,    В =                    

2. Найдите   обратную  матрицу  и сделайте проверку , если:              

             А =                                                        

3. Найдите матрицу   2А- 3В,  если:

   А=  В =.

4.    Вычислите определители:

,          

5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной матрицы, методом  Гаусса:

                         

6. Найти пределы функций.

а)   ;                      б)   ;  

в)   ;                         г)   . 

7. Найти производные заданных функций.

                        а)    ;

                        в)   ;          

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

            а)   ;                                     б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                      б)   .

                                                                Вариант 7.

1.Вычислите   А∙ В,  если:                         

        А = ,    В = .                  

2. Найдите   обратную  матрицу  и сделайте проверку , если:              

             В =                                                             

 3. Найдите матрицу   -2А-3В,  если:

   А=  В =.

4.    Вычислите определители:

  ,     

   5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной матрицы,  методом  Гаусса:

                         

6. Найти пределы функций.

а)   ;                                                            б)   ;  

в)   ;                                                                          г)  .

7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;

                        в)   ;              

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

а)   ;                                                        б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                                б)   .

                                                                Вариант 8.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

А =                                          В=

2. Найдите   обратную  матрицу  сделайте  проверку, если:              

           А =                                                                                                                 

3. Найдите матрицу   -3А+ 5В,  если:

           А =                                                            

              В =

4. Вычислите определители:

      ,       

 5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной     матрицы, методом  Гаусса:

                          

6. Найти пределы функций.

а)   ;                                                  б)   ;  

в)   ;                                                                  г)   .  

7. Найти производные заданных функций.

                        а)     ;

                        в)   ;           

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления  функцию    и        построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

                        а)   ;                  б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                                б)   .

                                                                Вариант 9.

1.Вычислите  А∙ В,  если:                         

А = В=

2. Найдите   обратную  матрицу  сделайте  проверку, если:              

           А =                                                                                                                 

3. Найдите матрицу   -3А+ 3В,  если:

           А =                                                            

              В =

4. Вычислите определители:

      ,       

  5. Решите   систему   уравнений  по  формулам  Крамера, с помощью  обратной     матрицы, методом  Гаусса:

                                                            

6. Найти пределы функций.

а)   ;             б)   ;  

в)   ;                        г)  . 

7. Найти производные заданных функций.

                        а)   ;

                        в)   ;   

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления  функцию    и построить ее график.

9. Найти неопределенные интегралы.

                        а)   ;                                          б)   .

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

                        а)   ;                                  б)   .

Методические указания к выполнению контрольной  работы

1. .Найти произведение матриц  и .

Решение.

 Имеем: матрица А размера 2·3, матрица В размера 3·3, тогда произведение АВ = С

существует и элементы матрицы С равны

с₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

.

2.Дана матрица . Найдите обратную матрицу  и сделать проверку.

Решение.

      Обратная матрица: .

Вычислим определитель: .

Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А:

            

Тогда обратная матрица будет иметь вид: .

Проверка.

 

Вывод. Матрица  является обратной матрице А, т.к. .

3.Найдите матрицу   -4А+ 3В,  если:

           А =                                                            

              В =

Решение.

-4+3=

+

5. Решите систему  методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Решение.

Вычислим определитель матрицы . 

Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера: .

.

2) Метод обратной матрицы:

                              

       .

3) Метод Гаусса:

Вывод. Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: .

6. Найти пределы функций.

а)

Здесь непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при  не имеют конечных пределов. Это неопределенность вида . Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в высшей степени, т.е. на , и затем перейдем к пределу.

.

Здесь  - бесконечно малые функции при , и поэтому их пределы равны нулю.

 б) .

Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для значения  имеем тождество

.

Поэтому пределы этих функций равны между собой:

.

в).

Непосредственная подстановка  приводит к неопределенности вида . Для того чтобы раскрыть эту неопределен­ность, выделим множитель  в числителе и в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные, соответственно, числителю и знаменателю:

.

Тогда

.

г).

Здесь имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.

.

Введем новую переменную. Пусть , тогда , при , . Следовательно:

.

7. Найти производные заданных функций.

а)  .

Преобразуем функцию: . Тогда

.

в)  .

Находим производную сложной функции:

.

8. Исследуйте функцию  и постройте график.

Решение.

1. Область определения функции.

 

2. Чётность, нечётность функции.

 функция не является чётной.

 функция не является нечётной.

График функции не симметричен ни относительно начала координат, ни оси OY.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Ох: .

График пересекается с осью Ох в точке .

Пересечение с осью Оу: х=0.

.

График не пересекается с осью Оу , т.к.

4. Асимптоты.

. Значит,  - вертикальная асимптота.

. Горизонтальной асимптоты нет.

.

.

Значит, наклонная асимптота.

5. Промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы.

.

.

.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.

.

6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.

.

Дробь отлична от нуля, т.к.  

 

Точек перегиба нет.

7. График.

9. Найти неопределенные интегралы.

а).

.

б)

Используем метод интегрирования по частям.

Обозначим через , тогда.

Находим    и  . Тогда

.

10. Вычислить определенные  интегралы по формуле Ньютона-

       Лейбница.

а) .

б) Примем за , тогда  .

Найдем  , . Тогда