Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Контрольно измерительные материалы для студентов заочного отделения

Контрольно измерительные материалы для студентов заочного отделения

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Специальность: 15.02.08 Технология машиностроения

Предмет: Математика

Преподаватель: Афонина Надежда Евгеньевна






Правила выполнения и оформления

контрольных работ

 

1.     На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер варианта (соответствует последней цифре в номере зачётной книжки)

2.     Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

3.     Перед решением задачи следует выписать полностью ее условие.

4.     Решение задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

5.     Если после проверки контрольной работы поставлена отметка "Неудовлетворительно", необходимо в этой же тетради сделать работу над ошибками и представить работу для повторной проверки. Это необходимо сделать в кратчайшие сроки.

6. Контрольная работа выполняется на листах формата А-4 в папке со скоросшивателем.

























Вариант 1.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_616dce53.gif, В = hello_html_4bdba08b.gif


2.Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:



А = hello_html_494a39c2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

3. Найдите матрицу 3А – 5В, если:


А = hello_html_14e0f145.gif, В = hello_html_m7128fcc9.gif


4. Вычислите определители:

hello_html_5102d2fc.gif, hello_html_m191e995c.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.:


hello_html_m86f2c8b.gif






6. Найти

hello_html_7a579743.gif; б) hello_html_m71c273a2.gif;

в) hello_html_m54aed02c.gif; г) hello_html_5d430f46.gif.



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_d22df34.gif;

б) hello_html_m3ce23b3c.gif;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления

функцию hello_html_780830b8.gif и построить ее график.




9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_2f6f188e.gif; б) hello_html_41597b4e.gif;




10.Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_mf54ff17.gif; б) hello_html_40f4f737.gif.






















Вариант 2.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif



А = hello_html_7769d2b0.gif, В = hello_html_e60fa3f.gif.



2.Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:



А = hello_html_m353569a9.gif. hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

3. Найдите матрицу 4А – 3В, если :

А=hello_html_m72fd7838.gifВ=hello_html_693ee315.gif


4. Вычислите определители:


hello_html_6f3c2937.gif, hello_html_5041aca9.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

hello_html_m1d89154d.gif

Задание 6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m15d95227.gif; б) hello_html_m41911e5.gif;

в) hello_html_mfa9baf.gif; г) hello_html_m2c00651c.gif .


Задание 7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m2378e278.gif;

в) hello_html_m36145f87.gif;


Задание 8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_38462426.gif и построить ее график.


Задание 9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_610885cc.gif; б) hello_html_m59836dca.gif.


Задание 10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_m4169fb29.gif; б) hello_html_603df571.gif.







.

















Вариант 3.


1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_645f90a.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifВ=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3a7718d7.gif


2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:



А = hello_html_m729c7f05.gif hello_html_m53d4ecad.gif

3. Найдите матрицу -2А+ 4В, если:

А =hello_html_m232d9fb3.gif

В = hello_html_m28566543.gif


4. Вычислите определители:

hello_html_5102d2fc.gif, hello_html_m41870398.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:


hello_html_m3ca768f0.gif

6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m23eb1f97.gif; б) hello_html_cceb0d8.gif;

в) hello_html_4a3da6dc.gif; г) hello_html_m6aac4d9d.gif.



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_md8cc158.gif;

в) hello_html_m3b25da27.gif.


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_m326570ec.gif и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_m6c49f6f0.gif; б) hello_html_m6a04db9a.gif.



10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_m4160a738.gif; б) hello_html_16ba03a8.gif.













Вариант 4.


1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А=hello_html_14590b9f.gifВ = hello_html_m2f2ccb4a.gif


2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку, если:



В = hello_html_m729c7f05.gif


3. Найдите матрицу -3А+ 3В,

если: А=hello_html_20c086c9.gif В =hello_html_420bc52e.gif.



4. Вычислите определители:

hello_html_m79c7b44b.gif, hello_html_m57352afb.gif

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

hello_html_m52638c6a.gif


6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m2b5712a7.gif; б) hello_html_3227da0e.gif;

в) hello_html_c64c78c.gif; г) hello_html_m717380c4.gif .



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m11c05355.gif;

в) hello_html_m1e6aecf1.gif ;



8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_4eb4e9a2.gif и построить ее график.




9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_m1813ad93.gif; б) hello_html_6710172b.gif.


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_8a896e0.gif; б) hello_html_16d530c1.gif.















Вариант 5.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_m48008230.gif, В = hello_html_1b405c75.gif.


2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:



В = hello_html_152bee2.gif


3. Найдите матрицу -3А+ 3В, если:


А=hello_html_20c086c9.gif В =hello_html_420bc52e.gif.



4. Вычислите определители:

hello_html_m61d41fbe.gif, hello_html_m3a1d24c8.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

hello_html_6ee8bf03.gif


6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m10394d7c.gif; б) hello_html_62c7f9a0.gif;

в) hello_html_m40adf628.gif; г) hello_html_4e9bbd2b.gif .


7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m3525c542.gif;

в) hello_html_m1be2c327.gif


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_mba1e534.gif и построить ее график.



9. Найти неопределенные интегралы.


а) hello_html_m1407a375.gif; б) hello_html_m640d64bc.gif;

в) hello_html_7a47e92e.gif; г) hello_html_1f0dccdd.gif.




10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_54648b93.gif; б) hello_html_62907778.gif.












Вариант 6.


1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_m766714c3.gif, В = hello_html_270e27ef.gif



2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:



А = hello_html_c5836dd.gif


3. Найдите матрицу 2А- 3В, если:


А=hello_html_20c086c9.gif В =hello_html_420bc52e.gif.



4. Вычислите определители:

hello_html_32476fc9.gif, hello_html_6d00eecf.gif

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

hello_html_m3f60d2c0.gif

6. Найти пределы функций.

а) hello_html_6fddac6b.gif; б) hello_html_70bb6ad9.gif;

в) hello_html_m30ce25db.gif; г) hello_html_m4c576094.gif .



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_78354b73.gif;

в) hello_html_m4f3f5b01.gif;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_4ee5c54f.gif и построить ее график.






9. Найти неопределенные интегралы.


а) hello_html_31ca080a.gif; б) hello_html_m703693b7.gif.



10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_15893886.gif; б) hello_html_m4a6fabd2.gif.












Вариант 7.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_21941adc.gif, В = hello_html_m1c43cdd1.gif.


2. Найдите обратную матрицу и сделайте проверку , если:



В = hello_html_152bee2.gif


3. Найдите матрицу -2А-3В, если:


А=hello_html_20c086c9.gif В =hello_html_420bc52e.gif.



4. Вычислите определители:

hello_html_m61d41fbe.gif, hello_html_m3a1d24c8.gif

5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:

hello_html_60f4e32e.gif



6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m481c37c2.gif; б) hello_html_5e2600bb.gif;

в) hello_html_m430510cc.gif; г) hello_html_399ddcff.gif .



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_36ade3f7.gif;

в) hello_html_m5b233a7a.gif;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_m3180affe.gif и построить ее график.




9. Найти неопределенные интегралы.


а) hello_html_787a0092.gif; б) hello_html_23a138d2.gif.






10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_2e5865e7.gif; б) hello_html_m2e0601f4.gif.



















Вариант 8.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_72b18788.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifВ=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6e6b120.gif

2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:



А = hello_html_5e8e4442.gif hello_html_m53d4ecad.gif

3. Найдите матрицу -3А+ 5В, если:

А =hello_html_m232d9fb3.gif

В = hello_html_m28566543.gif


4. Вычислите определители:

hello_html_3b3426c1.gif, hello_html_3a5fe93f.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:


hello_html_m548518b7.gif




6. Найти пределы функций.


а) hello_html_23a1e0cf.gif; б) hello_html_md0d0c4e.gif;

в) hello_html_77321aa9.gif; г) hello_html_m5da1399a.gif .




7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m669379f0.gif;

в) hello_html_753c710f.gif;

8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_m527a3abe.gif и построить ее график.




9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_5cc63a84.gif; б) hello_html_d7e75eb.gif.


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_2e5865e7.gif; б) hello_html_m2e0601f4.gif.




















Вариант 9.



1.Вычислите А∙ В, если:hello_html_m53d4ecad.gif


А = hello_html_m1bf753cd.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifВ=hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m34e2ad16.gif


2. Найдите обратную матрицу сделайте проверку, если:



А = hello_html_5e8e4442.gif hello_html_m53d4ecad.gif


3. Найдите матрицу -3А+ 3В, если:

А =hello_html_m232d9fb3.gif

В = hello_html_m28566543.gif


4. Вычислите определители:

hello_html_137699b.gif, hello_html_mcba6c09.gif


5. Решите систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:


hello_html_m3ca768f0.gif

6. Найти пределы функций.

а) hello_html_m7128d952.gif; б) hello_html_6986310.gif;

в) hello_html_277f5ff5.gif; г) hello_html_5e4c3055.gif.



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m20c5434f.gif;

в) hello_html_m42ff5f4f.gif;


8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию hello_html_m51321116.gif и построить ее график.




9. Найти неопределенные интегралы.

а) hello_html_m18ef172b.gif; б) hello_html_68fdb9e6.gif.


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_m4ce21cc.gif; б) hello_html_m3aa4afc1.gif.

























Методические указания к выполнению контрольной работы




1. .Найти произведение матриц hello_html_7c700404.png и hello_html_m8f75a39.png.



Решение.

Имеем: матрица А размера 2·3, матрица В размера 3·3, тогда произведение АВ = С

существует и элементы матрицы С равны


с11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

hello_html_m231ed33a.png.


2.Дана матрица hello_html_34cd709.gif. Найдите обратную матрицу и сделать проверку.



Решение.

Обратная матрица: hello_html_m5d18ea1b.gif.


Вычислим определитель: hello_html_6824dacf.gif.


Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А:

hello_html_60f2c0c5.gifhello_html_8f88ba8.gif


hello_html_56845a3.gif

Тогда обратная матрица будет иметь вид: hello_html_7c70edb8.gif.

Проверка.

hello_html_m5c6d4ab8.gif

Вывод. Матрица hello_html_m753f204a.gif является обратной матрице А, т.к. hello_html_m347c2c0f.gif.




3.Найдите матрицу -4А+ 3В, если:

А =hello_html_m8b9a1e8.gif

В = hello_html_m28566543.gif


Решение.


-4hello_html_m8b9a1e8.gif+3hello_html_m28566543.gif=


hello_html_m4769a45b.gif+ hello_html_m2995f9cd.gifhello_html_32be4ae5.gif


5. Решите систему hello_html_m6a260713.gif методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.


Решение.

Вычислим определитель матрицы hello_html_4154dc4.gif.

Так как определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера: hello_html_m3804ff46.gif.

hello_html_m4ee04f23.gif


hello_html_m870b2fb.gif.


2) Метод обратной матрицы:

hello_html_5ae7e999.gifhello_html_m4ac08667.gif


hello_html_373e889d.gif


hello_html_57406867.gif

hello_html_m5a4209d5.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_m870b2fb.gif.


3) Метод Гаусса:

hello_html_44e9a8b9.gif


hello_html_2bbf6e5d.gif


Вывод. Сравнивая результаты во всех трёх случаях, видим, что решения совпадают: hello_html_m870b2fb.gif.







6. Найти пределы функций.


а)hello_html_mfd2c2e2.gif

Здесь непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при hello_html_m7b1c8246.gif не имеют конечных пределов. Это неопределенность вида hello_html_m6ea6545d.gif. Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в высшей степени, т.е. на hello_html_m2cca663f.gif, и затем перейдем к пределу.

hello_html_495aa4f0.gif.

Здесь hello_html_6c093e1.gif - бесконечно малые функции при hello_html_4e471030.gif, и поэтому их пределы равны нулю.



б) hello_html_m7b41f7aa.gif.

Имеем неопределенность вида hello_html_1fac510f.gif. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. Для значения hello_html_2a5050e.gif имеем тождество

hello_html_m17cb8daa.gif.

Поэтому пределы этих функций равны между собой:

hello_html_m155270c4.gif.


в)hello_html_m66c22189.gif.


Непосредственная подстановка hello_html_386d0de3.gif приводит к неопределенности вида hello_html_1fac510f.gif. Для того чтобы раскрыть эту неопределен­ность, выделим множитель hello_html_m3a1d43ae.gif в числителе и в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные, соответственно, числителю и знаменателю:

hello_html_m6811a0db.gif

hello_html_m5cf39fb9.gif.

Тогда

hello_html_m40e90223.gif.


г)hello_html_m787e7e0.gif.

Здесь имеем неопределенность вида hello_html_fc4d3aa.gif. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.

hello_html_m58dee3e.gif.

Введем новую переменную. Пусть hello_html_71830f65.gif, тогда hello_html_m1eb221a8.gif, при hello_html_m7b1c8246.gif, hello_html_477f4ed2.gif. Следовательно:

hello_html_5219a8c4.gif

hello_html_m30764876.gif.



7. Найти производные заданных функций.

а) hello_html_m1abe8668.gif.

Преобразуем функцию: hello_html_eff15e9.gif. Тогда

hello_html_554670e7.gif.


в) hello_html_m32c97a0a.gif.

Находим производную сложной функции:

hello_html_7cb590a9.gif

hello_html_1aa2bf2c.gif

hello_html_m2e5bc17b.gif.


8. Исследуйте функцию hello_html_m5a63a965.gif и постройте график.

Решение.

1. Область определения функции.

hello_html_m3c29c531.gif


2. Чётность, нечётность функции.

hello_html_m2d399f6.gif функция не является чётной.

hello_html_442cb441.gif функция не является нечётной.

График функции не симметричен ни относительно начала координат, ни оси OY.


3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Ох: hello_html_m45a92f93.gif.

hello_html_m897c71b.gif

График пересекается с осью Ох в точке hello_html_580ab71a.gif.

Пересечение с осью Оу: х=0.

hello_html_38c1a50e.gif.

График не пересекается с осью Оу , т.к. hello_html_m78756b6e.gif


4. Асимптоты.

hello_html_m132e977a.gif. Значит, hello_html_40b21446.gif - вертикальная асимптота.

hello_html_3bac90f5.gif. Горизонтальной асимптоты нет.

hello_html_m7186f137.gif.

hello_html_m78416300.gif.

Значит, hello_html_m18c43686.gifнаклонная асимптота.


5. Промежутки возрастания и промежутки убывания. Экстремумы.

hello_html_m392b000b.gif.

hello_html_m4e1d2bc9.gif.

hello_html_m5ef625bc.gif.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.

hello_html_m487c2e9a.gif

hello_html_m4718b3b5.png

hello_html_m1dd182a8.gif.



6. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.

hello_html_m6cbd7c5.gif

hello_html_5bc60052.gif.

Дробь hello_html_m16f798cf.gifотлична от нуля, т.к. hello_html_m78756b6e.gif


hello_html_ma246e33.png

Точек перегиба нет.


7. График.

hello_html_m448fcf2c.png



9. Найти неопределенные интегралы.


а)hello_html_mdf7496a.gif.

hello_html_m7dea5938.gif.

б)hello_html_5ed803b6.gif

Используем метод интегрирования по частям.

Обозначим через hello_html_m3068decb.gif, тогдаhello_html_30a04054.gif.

Находим hello_html_2c900340.gif и hello_html_m6ed49e9c.gif. Тогда

hello_html_2cae38c6.gif

hello_html_57612e08.gif

hello_html_40a226fd.gif.


10. Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-

Лейбница.

а) hello_html_m679c737a.gif.

hello_html_723453cf.gif


б)hello_html_5e716522.gif Примем за hello_html_m56206de6.gif, тогда hello_html_mcdb7be3.gif.

Найдем hello_html_m4a4acaa7.gif, hello_html_m7d2776fd.gif. Тогда

hello_html_m682cf896.gif

hello_html_m6d4bd570.gif

hello_html_6803c7c9.gif

hello_html_m2d0c4b91.gif

hello_html_7737c3af.gif













Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 15.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров52
Номер материала ДБ-083270
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх