Материал для научно-практической конференции по теме "Решение алгебраических задач геометрическим методом!

Оглавление

Стр.

1.     Введение………………………………………………………….………...2

2.     Основная часть ………………………………………………………........4

3.     Заключение …………………………………………………………….…11

4.     Список литературы………………………………………………..……...12

Введение

Актуальность: Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применят такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом.

Цель работы: показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход упрощает решения целого ряда текстовых задач.

Задачи:

1.      Найти и изучить литературу по данной теме.

2.      Рассмотреть  алгебраические задачи, которые можно решить и алгебраически и  геометрически.

3.      Определить задачи, которые удобнее решать геометрическим методом.

4.      Рассмотреть ряд приемов решения нестандартных и конкурсных задач.

5.      Повысить свое  интеллектуальное развитие.

Предмет исследования: Геометрические методы решения задач.

Объект исследования: Алгебраические задачи.

Методы исследования: Аналогия, обобщение, анализ научной литературы.

Введение.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не­редко является результатом длительной и кропотливой работы. Уме­ние решать задачу различными способами является одним из призна­ков хорошей математической подготовки.

Существуют способы решения алгебраических задач методами, ос­нованными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй.

Нелишне вспомнить крылатую фразу замечательного французского математика Софии Жермен (1776-1831), которая сказала: «Алгебра - не что иное, как записанная в символах гео­метрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старинных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».)

Геометрия — уникальный школьный предмет, внутри которого за­ложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как пра­вило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геомет­рию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

В учебнике «Геометрия» 7-9 класс, хорошо изложена  тема «Подобные треугольники». Она помогает использовать свойства подобных треугольников для решения ряда задач: определения высоты предмета, расстояние до недопустимой точки, ширину реки и другие.

Мной были рассмотрены многие текстовые задачи ГИА и ЕГЭ из части 2  и решены геометрическим методом.

Рассмотрим текстовую задачу на совместную работу и решим ее с использованием геометрического метода.

Задача 1.

Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок, работая в одиночку, второй рабочий сможет выполнить все задание?

Решение.

Рассмотрим рис. 1. АС и BD – графики зависимости выполненного объема работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.

Время совместной работы – 12 дней, на рисунке имеем: BF = AE = 12.

АМ – время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работу (второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Сказано, что рабочим необходимо 25 дней, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда

АМ = 2 · 25 = 50 дней. Пусть ЕD = x, тогда

DM = 50 – 12 – x = 38 – x;

FC = BC – BF = (38 – x) – 12 = 26 – x.

Рассмотрим пары подобных по двум углам треугольников:

ΔBFO подобен ΔOED, тогда = ;

  =

ΔFOC подобен ΔEOA, тогда  =;

 =

Таким образом,  =.

Имеем квадратное уравнение

х² – 26х + 144 = 0,

корни уравнения:

х₁ = 18 и х₂ = 8.

AD = 12 + 8 = 20 (дней);

ВС = 12 + 26 – х = 12 + 26 – 8 = 30 (дней).

Ответ: 30 дней, 20 дней.

Задача 2.

Чан наполняется водой при помощи двух кранов А и В. Наполнение чана только с помощью крана А длится на 22 минуты дольше, чем наполнение через кран В. Если же оба крана открыть одновременно, то чан наполнится водой за 1 час. За какое время может наполнить водой чан только кран В?

Решение.

Рассмотрим рис. 3. На нем АА₁ и BВ₁ – графики зависимости выполненного объема работы от времени наполнения чанов водой кранами А и В соответственно.

По условию задачи ВК = АN = 1 час = 60 минут. В ₁М = 22 минуты.

 Пусть NB1 = x, тогда KA₁ = x + 22.

Используем подобие треугольников:

Δ BКО подобен Δ В₁NO, тогда

 =  ;

 =;

ΔKOA ₁ ~ ΔNOA, тогда   =;

 =;

Таким образом, имеем пропорцию

 =.

Перепишем в виде квадратного уравнения:

х² + 22х – 3600 = 0;

х = 50 или х = -72

По смыслу задачи х = 50 минут.

Таким образом, АВ₁ = AN + NВ₁ = 60 + 50 = 110 (минут).

Ответ: 110 минут.

Задача 3.

На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой её можно сделать на 15 мин. быстрее, чем на второй?

Решение: На оси абсцисс откладываем время работы копировальных машин в минутах (рис). Обе машины, работая вместе, сделают копию за 10 мин. (ОМ=10). Тогда одной первой для этого понадобится t мин, а одной второй – (t+15) мин. Положение точки V на оси ординат соответствует объёму работы, которую необходимо выполнить.

Так как объём работы прямо пропорционален затраченному времени, то график работы копировальных машин представляют собой отрезки: ОВ – график работы первой, ОС – график работы второй, ОА – график совместной работы.

Рассмотрим две пары подобных треугольников.

Покажем, что AN=KM.

За 10 мин. первая машина выполнит часть работы, соответствующую отрезку NM (AN – отрезок работы, который выполнит вторая машина). Но за 10 мин. Вторая машина выполнит часть работы, соответствующую MK.

Поэтому AN=KM. Учитывая это равенство и то, что CP=VO,

получаем  = . Из пропорций (1) и (2) получаем соотношение:

 = , получаем уравнение

  =

Решая это уравнение, находим положительный корень t = 15. Таким образом, первая машина сделает копию пакета документов за 15 мин, а вторая – 30 мин.

Ответ: 15 мин, 30 мин.

Много текстовых задач на движение решаются на составление  уравнений или системы уравнений. Рассмотрим некоторые из них   и решим их   основываясь на точных геометрических соотношениях.

Задача 4.

Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Ответ читаем с чертежа: 3 часа.

Задача 5.

Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км

Построим графики движения автомобилей:

 BF = AK KD = FC = 2

 AOK ~  COF:  (1)

 DKO ~  BFO: :  (2)

Из (1) и (2) следует: 

 Пусть AK = BF = X,

 =  :

X² = :

X₁ =    - не подходит  

X₂ =  1,5

AK = 1,5;  

AD = 1,5 + 1,125 = 2,625 = t₂

U ₂= 210 : 2,625 = 80 (км/ч)- скорость второго

BF = 1,5;  

BC = 1,5 + 2 = 3,5 (ч) – время первого,

U₁ = 210 : 3,5 = 60 (км/ч)- скорость первого.

Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.

Задача 6.

Два всадника выезжают одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. Один прибывает в B через 27 мин после встречи, а другой прибывает в A через 12 мин после встречи. За сколько минут проехал каждый всадник свой путь?

Решение: Рассмотрим две системы координат tAy и  t’By’. На оси At откладываем время движения первого всадника, а на оси Bt’ -  время движения второго всадника. Оси пройденного пути противоположно направлены, а длина отрезков AB в каждом случае равна пройденному пути. Отрезок AB₁ – график движения первого всадника, а отрезок BA₁ – график движения второго всадника (рис).

Точка O соответствует моменту их встречи. Время движения всадников до встречи обозначим t. Из геометрических соображений ясно, что тогда.         Из равенства следует  = ,

 откуда t = 18.

18 + 12 = 30(мин)- первый.

18 + 27 = 45(мин)- второй всадник.

Ответ: 30 мин, 45 мин.

7. Из города А в город В вышел пешеход. Через некоторое время после выхода пешехода из города В в город А выехал велосипедист, а еще через час вслед за велосипедистом выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и встретились в одной точке маршрута. Пешеход пришел в город В через 6 ч после выезда мотоциклиста из города В, а мотоциклист прибыл в город А через 4 ч после выхода пешехода из города А. Через сколько часов после мотоциклиста велосипедист прибыл в город А?
Построим схематически графики движения пешехода РР₁, велосипедиста VV₁ и мотоциклиста ММ₁.

Из условий задачи следует, что VM=1, МР=6, РМ=4, а требуется найти М₁V₁. Из подобия двух пар  VMО и  V₁M₁О, MP₁О получим пропорцию

 =  и =.

Откуда М₁V₁=, то есть веосипедист прибыл в город А через  ч после мотоциклиста.

Ответ:  ч

Я рассмотрела решение задач на совместную работу, на движение с помощью геометрического способа. Такие навыки решения задач могут пригодиться не только в математике, но и в физике, где графические подходы к решению задач практикуются достаточно часто.

Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

Я предлагаю свой алгоритм решения текстовых задач геометрическим способом:

1) Построить  геометрическую модель задачи, т.е. перевод её на язык геометрии;

2) Решение получившейся геометрической задачи;

3) Перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

Заключение

В результате работы над данной темой я пришла к следующим выводам:

•         При решении задачи этим методом четко определяется начало действия;

•         Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения, позволяет существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.

•         Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура учеников;

•         Совершенствуется техника решения уравнений (разделений переменных);

•         Реализуются  внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Литература:

1.     В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992

2.     Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов   при решении алгебраических задач.

3.     Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.

4.     Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа:  Учеб.  Для  10-11  кл.  образоват.  учреждений  ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.