Алгоритм решения

однородных уравнений

1) Проверить, является ли данное уравнение P(а;в)=0 однородным степени k.

2)  Проверить, является  ли  b = 0   корнем   уравнения.

3)  Разделить   обе  части  уравнения  на       и   решить   полученное  уравнение   относительно  .

4) Вернуться  к  исходным  переменным.

1)  ПРОВЕРИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ДАННОЕ

УРАВНЕНИЕ Р(а;в)=0 ОДНОРОДНЫМ

СТЕПЕНИ К

·       Проверить степени всех слагаемых

·       Ввести новые переменные

·       Записать полученное уравнение в стандартном виде

·       Проверить степени всех слагаемых

2)  ПРОВЕРИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ  ЛИ 

B = 0   КОРНЕМ   УРАВНЕНИЯ

3)  РАЗДЕЛИТЬ   ОБЕ  ЧАСТИ 

УРАВНЕНИЯ  НА           

И   РЕШИТЬ   ПОЛУЧЕННОЕ 

УРАВНЕНИЕ   ОТНОСИТЕЛЬНО 

()

4)  ВЕРНУТЬСЯ  К  ИСХОДНЫМ 

ПЕРЕМЕННЫМ

1)          ПРОВЕРИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ДАННОЕ УРАВНЕНИЕ  Р(а;в)=0

ОДНОРОДНЫМ

·         Проверить степени всех слагаемых

·         Ввести новые переменные

·         Записать полученное уравнение в стандартном виде

·         Проверить степени всех слагаемых

2)  ПРОВЕРИТЬ, ЯВЛЯЕТСЯ  ЛИ 

B = 0   КОРНЕМ   УРАВНЕНИЯ

3)  РАЗДЕЛИТЬ   ОБЕ  ЧАСТИ 

УРАВНЕНИЯ  НА           

И   РЕШИТЬ   ПОЛУЧЕННОЕ 

УРАВНЕНИЕ   ОТНОСИТЕЛЬНО 

()

4)          ВЕРНУТЬСЯ  К  ИСХОДНЫМ 

ПЕРЕМЕННЫМ

Задание № 1

Решите систему уравнений:

Задание № 2

Решите уравнение:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)  

1. Вступление

·         Единый государственный экзамен по математике является обязательным для всех выпускников школы

·         Мои выпускники показали высокие результаты на экзамене в прошлом году: из 40 выпускников только 3 человека получили оценку «3», а те, кому математика нужна была для поступления в ВУЗ, набрали достаточное количество баллов.

·         В чем же мой секрет?

·         Вы уже написали пробную работу в формате ЕГЭ

·         Пока были задания только школьного экзамена, эти задания – предсказуемы, так как они, в основном, взяты из школьного учебника. Но и эти задания вызывают определенные трудности

·         Задания же второй части – непредсказуемы, натренироваться в их решении – невозможно

·         Выход из этой ситуации есть – свести сложные задачи к знакомым, а значит, понятным

·         В этом и есть мой секрет – изучение общих приемов решения математических задач

·         С одним из таких приемов мы сегодня познакомимся

·         Для удобства подготовлены рабочие тетради, в которых вы будете работать сегодня на уроке, а после урока эти тетради останутся у вас.

2. (слайд) Начнем сегодня работу с рассмотрения системы уравнений второй степени:

• какие способы решения систем уравнений вам знакомы;
• давайте обсудим, упростится ли система благодаря применению известных способов;
• предлагаю на время оставить данную систему и вспомнить, как решается уравнение из школьного учебника (на доске)

·         как решается такое тригонометрическое уравнение;

·         почему выбрали данный способ решения;

·         почему не происходит потери корня при делении

(решение уравнения записывается на доске)

3. Давайте сравним 1 уравнение системы с данным уравнением. Вывод: можно попробовать тот же способ для преобразования 1 уравнения системы. Давайте выполним эту работу вместе (на доске записывается решение системы уравнений)

4. (слайд) – определение однородного уравнения

5. Попробуем с вами составить алгоритм решения однородных уравнений (на доске на магнитах пошагово появляется алгоритм)

6. (слайд) Я предлагаю, используя полученный алгоритм, попробовать на уроке составить схему решения следующих уравнений. Попробуем вместе найти способ решения 1 уравнения из этого списка.

7. (слайд) – обсуждение решения 1 уравнения  

8. Внесем уточнения в алгоритм решения однородных уравнений (на доске)

9. Следующее уравнение решим на доске (1 ученик работает у доски)

10. Предложить сильным ученикам решить самостоятельно решить уравнения

№ 5, 6, 8

11. С остальными учащимися обсудить решение уравнения № 3 и № 4.

12. С помощью документ-камеры проверить работы, которые выполнялись самостоятельно.

13. Ну а теперь попробуйте самостоятельно составить схему решения уравнения, используя алгоритм (слайд)

14. Давайте проверим свои результаты: (слайд)

• кто понял, как решать данное уравнение
• давайте проверять уравнение пошагово, используя алгоритм (проговариваем каждый шаг алгоритма)

15. (слайд) Итак, мы сегодня составили схему решения почти всех уравнений из данного списка.

·         Чему научились сегодня на уроке

·         Какой этап решения уравнений показался вам самым трудным

Рабочие тетради остаются у вас, поэтому вы можете вернуться к решению рассмотренных уравнений дома. Для проверки правильности решения в конце тетради есть ответы для всех уравнений. Там же вы найдете задания для самостоятельного решения.

Я надеюсь, что вы сегодня на уроке получили удовольствие от того, что смогли найти способ решения достаточно сложных уравнений. Хочу пожелать вам удачи на экзаменах по математике.

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

2.   корней нет

6.   0; 2

7.   0,01

8.   -0,5; 0; 0,25; 1

10.   -1; -0,5; 2; 4

11.     корней нет

12.     -0,75; 6

13.   1

14.   3; 8

15.   8;

16.   ;

17.   1; 2

18.   -2; 0

19.   0; 0,5

20.   -0,5; 0,5

21.   -5

Самоанализ урока по теме

«Однородные уравнения» в 11 классе

Выбирая тему урока, я остановилась на одном из способов решения сложных уравнений. Считаю это важным для любого выпускника.

Обучающий аспект цели урока:

·        познакомить учащихся с однородными уравнениями, способом их решения, с приемами приведения сложных уравнений к однородным;

·        показать, что данный тип уравнений может встретиться во многих разделах математики;

·        показать, что приведение сложных уравнений высоких степеней к однородным значительно облегчает их решение.

Развивающий аспект цели урока:

·        развитие мышления учащихся при анализе уравнения, введении новых переменных;

·        развитие логического мышления при выводе алгоритма и применении его;

·        развитие абстрактного мышления в момент применения одного и того же способа к разным уравнениям (показательным, тригонометрическим, логарифмическим, иррациональным).

Воспитывающий аспект цели урока:

·        развивать у учащихся умения преодолевать трудности в нестандартных ситуациях.

В соответствии с целями урока выбран тип урока комплексного применения знаний.

Этапы урока.

1.     Этап подготовки учащихся к восприятию учебного материала.

Очень важно в начале урока смотивировать учащихся на работу, включить их в деятельность. Поэтому я акцентировала внимание на сдаче ЕГЭ и предложила учащимся решить систему уравнений, которая не решается традиционным способом.

2.     Этап актуализации знаний, на котором мы вспомнили решение известного из школьного учебника однородного уравнения

3.     Этап применения знаний:

·        применение известного способа решения тригонометрического уравнения к решению системы;

·        составление алгоритма решения однородного уравнения;

·        создание проблемной ситуации (поддержка мотивации) и её разрешение;

·        возможность выбора учащимися задания на уроке и формы организации учебно-познавательной деятельности (индивидуальная, парная или групповая, фронтальная работа с учителем).

Методы организации деятельности учащихся на этом этапе были продуктивными. В результате этого этапа был найден способ решения ______ уравнений из предложенных 8. Так как цель урока – отработка способа решения однородных уравнений, то для меня было важно выделение этого способа (получить ответ в уравнениях каждый ребенок может самостоятельно в индивидуальном темпе).

4.     Этап контроля и самоконтроля знаний. Для меня было важным проверить, как учащимися усвоен способ решения однородных уравнений, поэтому для самостоятельной работы было выбрано уравнение, полностью соответствующее по трудности заданиям, разобранным в классе. Проверка самостоятельной работы проходила в форме самоконтроля по каждому шагу алгоритма.

Считаю важным, что такая форма проверки дает мне, как учителю, определить результат усвоения алгоритма, выделить наиболее сложные шаги алгоритма, а для учащихся организует рефлексию собственной деятельности на уроке.

Именно самоанализ работы позволил провести итог урока на рефлексивной основе, на котором учащиеся не только оценили степень достижения цели урока, но и выделить каждый для себя наиболее трудные этапы алгоритма.

В течение урока я использовала разные методы деятельности учащихся на уроке:

·        репродуктивные (на этапе актуализации знаний);

·        продуктивные, частично-поисковые (на этапе применения знаний)