Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Нестандартные задачи по математике для учащихся 10-11 классов

Нестандартные задачи по математике для учащихся 10-11 классов

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_53828d3e.gif«Нестандартные задачи для учащихся 10 – 11 классов».


Под нестандартными задачами будем понимать задачи, которые традиционными методами и преобразованиями не решаются. Они, как правило, в варианте бывают последними и могут быть условно названы задачами «на пятёрку».

Отмечу то, что, несмотря на нестандартность, такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. Другое дело, что бывает крайне трудно за ограниченное время найти решение.

Каждый год предметные комиссии придумывают задачи, решение которых требует принципиально нового подхода, так что исчерпать все типы таких задач просто невозможно. Зато возможно набраться опыта в решении подобных задач и, по крайней мере, не впадать в панику, если вдруг такая задача попадётся на экзамене. Изучим некоторые методы, которые помогут если не решить, то хотя бы упростить задачу. Методы следующие: метод мажорант, функционально-графический метод, метод удачной подстановки или группировки, геометрический подход.



Тема: «Использование свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств».

Цель:

проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков учащихся, связанных с числовыми функциями, графиками функций, преобразованиями графиков, элементарным исследованием функций (чётность, нечётность, периодичность, монотонность, промежутки знакопостоянства функции, точки экстремума).

Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением заданий.

Задание №1.

Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с периодом 4 и на промежутке hello_html_961c417.gif её значения вычисляются по правилу hello_html_m45ece6d0.gif. Решить уравнение hello_html_m3c03bc7e.gif.

Решение:

Известно, что:

  1. D(f)=R.

  2. f(x)=- f(-x) на D(f), f(x)-нечётная функция.

  3. T=4, f(x)-периодическая функция.

  4. При hello_html_m54d49a77.gif В силу нечётности функции f(x), она задаётся на отрезке hello_html_m5ee0ea43.gif формулой hello_html_m34726611.gif Построив график данной функции на отрезке hello_html_m3d9ee1f6.gif, продолжим его на всю числовую ось, используя то, что функция f(x) – периодическая, с периодом 4.

накатегорию1


Теперь перейдём к решению уравнения.

Область допустимых значений уравнения: hello_html_m138e048e.gif

hello_html_1aced31b.gif hello_html_m3eddd35b.gif.

Обозначим hello_html_m452b4e41.gif и решим уравнение hello_html_m1746c3c4.gif при hello_html_m1fd710fb.gif. Так как hello_html_m6b4884a1.gifпри hello_html_1c7fa4d0.gif, то можно считать, что hello_html_17d0c15f.gif. Тогда hello_html_1d9d189e.gif или hello_html_717dd0fa.gif В силу периодичности hello_html_m41d8b6e9.gifс периодом T=4 общие решения имеют вид hello_html_m7722eef8.gif

Теперь можно найти х :

hello_html_m3e267847.gif

Проверим, входят ли эти решения в ОДЗ. Для этого решим второе неравенство и для найденных значений х проверим выполнение первого условия системы.

Для первой серии решений имеем hello_html_16e5d091.gif. Из второго неравенства следует, что hello_html_22698e33.gif - нечётно, т.е. hello_html_57334bf5.gif, но hello_html_1b0a9de6.gif, т.е. первая серия не входит в ОДЗ. Аналогичные рассуждения проводим для второй серии решений, здесь получаем hello_html_m104eacef.gif, и убеждаемся, что эта серия входит в ОДЗ. С учётом второго неравенства, получаем, что hello_html_69a08b66.gif и hello_html_m7a66a034.gif, причём hello_html_280245ed.gif. Легко найти hello_html_7416f18.gif .

Ответ: hello_html_79f4b51.gif


Задание №2.

Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с периодом 4 и на промежутке hello_html_961c417.gif её значения вычисляются по правилу hello_html_68127801.gif. Решить уравнение hello_html_m4046d7a9.gif.

Ответ: hello_html_263d6486.gif

Задание №3.

Функция hello_html_m69167ace.gifопределена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с периодом 4 и на промежутке hello_html_27bfa832.gif её значения вычисляются по правилу hello_html_7f39c046.gif Решить уравнение hello_html_612014d8.gif

Ответ: hello_html_m7aac1b99.gif

Задание №4.

Покажите, что функции hello_html_1a469fa0.gif и hello_html_78a84d71.gif взаимно обратные, и решите уравнение hello_html_m6319c49d.gif.

Решение:

функция hello_html_4d888a5a.gif возрастает при hello_html_617a17ed.gif, причём, при изменении hello_html_3884be9.gif в указанном промежутке hello_html_8d84cc9.gif. Следовательно, в промежутке hello_html_2a02bc57.gifопределена обратная функция (согласно теореме о существовании обратной функции) hello_html_6493bd77.gif, которая находится из уравнения hello_html_m7abd2185.gif. Решая уравнение относительно hello_html_3884be9.gif, получаем hello_html_m7f380839.gif. Заменяя х на у и у на х, получим hello_html_59492ef4.gif, что и требовалось доказать.

Решим уравнение hello_html_m6319c49d.gif. Так как графики прямой и обратной функций могут пересекаться только на прямой hello_html_m1350e363.gif, то решая уравнение hello_html_m6ea8605f.gif, находим hello_html_m72c5e812.gif.

Задание №5.

Найти все числа hello_html_22698e33.gifдля которых функция hello_html_m5397082d.gif не принимает значений, больших 3.

Ответ: hello_html_m6905cd4.gif

Решение:


Рассмотрим функцию hello_html_m328db7bc.gif Требование hello_html_m5a6f9d7d.gifдля всех х: а) при hello_html_m376444dd.gifозначает hello_html_1c3c7617.gif б) при hello_html_1df7a437.gifвыполняется автоматически; в) при hello_html_m360fc305.gifравносильно требованию hello_html_m66386b43.gifдля всех х то есть hello_html_m58094973.gif Собираем полученные значения hello_html_22698e33.gifвместе: hello_html_707e61ff.gif

Задание №6.

Известно, что hello_html_31f30005.gif Найти

Ответ: hello_html_4aa3bbdc.gif.

Решение: hello_html_26e098e4.gif, построив данную совокупность, легко видеть, что минимум х+у достигается в точке с координатами hello_html_m2986fa8a.gif. Следовательно, hello_html_422ba6b5.gif.

Задание №7. Известно, что hello_html_582f844e.gif. Найти hello_html_m43046982.gif.

Ответ: 12.

Задание №8. Множество точек, рас положенных внутри фигуры F, задано на координатной плоскости условием hello_html_m6a1ef1c6.gifМножества F(t) получаются из F поворотом вокруг начала координат против часовой стрелки на угол t . Найти площадь фигуры, образованной точками, каждая из которых при некотором hello_html_5a5ac84e.gif принадлежит множеству F(t).

Ответ: hello_html_29852c3e.gif

Решение: Определим сначала вид фигуры F . Рассмотрим два случая. 1) Если основание логарифма меньше 1, то есть hello_html_m2c7d520e.gif то должно выполняться двойное неравенство hello_html_m5c7db0e5.gif Так как hello_html_22d51e69.gifто неравенствоhello_html_476cfb61.gif справедливо для всех действительных х. Решим неравенство hello_html_6e3e5d17.gifhello_html_m4a06e351.gif Неравенство hello_html_4c01cef8.gif выполняется при hello_html_15436ef2.gif а неравенство hello_html_m7115a0f6.gifвыполняется при всех действительных у ,поскольку hello_html_2bb63a1e.gif 2) hello_html_17c0d8cc.gif должно быть hello_html_2bf6223e.gif что невозможно. Итак, во втором случае решений нет.

Мы получили, что множество решений данного неравенства совпадает с внутренностью прямоугольника, ограниченного прямыми hello_html_1813618f.gif В процессе вращения против часовой стрелки вокруг начала координат на угол hello_html_23ae5096.gifпрямоугольник «заметает» фигуру, изображённую на рисунке.





Сканирован07-02-16 1703







Другими словами, эта фигура представляет собой объединение множеств hello_html_m2ad22af5.gif при hello_html_5a5ac84e.gif. Её площадь можно найти как сумму площади полукольца hello_html_m20e00414.gifи удвоенной площади фигуры hello_html_63703966.gif Итак, hello_html_m1d6b2f7f.gif Площадь фигуры hello_html_m51eb1474.gifравна сумме площадей полусегмента hello_html_m13e14ce8.gif и прямоугольника hello_html_m704d586f.gif Найдём площадь полусегмента hello_html_m13e14ce8.gif: hello_html_m67e5d968.gif Далее, hello_html_3d0d4582.gif Окончательно получаем hello_html_40ba81b1.gif


Задание №9. Множество точек, расположенных внутри фигуры G, задано на координатной плоскости условием hello_html_m532f24d1.gifМножества G(t) получаются из G поворотом вокруг начала координат против часовой стрелки на угол t . Найти площадь фигуры, образованной точками, каждая из которых при некотором hello_html_5a5ac84e.gif принадлежит множеству G(t).

Ответ: hello_html_m3ba26523.gif

Задание №10.

График функции hello_html_13a143b.gif; где hello_html_m5e6a99c1.gif и прямая hello_html_759de5a4.gif, заданная уравнением hello_html_2f9a65a8.gif, имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь фигуры, ограниченная графиком функции hello_html_13a143b.gifи прямой hello_html_759de5a4.gif, равна hello_html_693b8774.gif. 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции hello_html_2f7ea7c8.gifв точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось hello_html_m1e250d95.gif в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.

Ответ: hello_html_mcdd4796.gif

Задание №11.

График функции hello_html_13a143b.gif; где hello_html_m4c2f3ff0.gif и прямая hello_html_759de5a4.gif, заданная уравнением hello_html_m62676838.gif, имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь фигуры, ограниченная графиком функции hello_html_13a143b.gifи прямой hello_html_759de5a4.gif, равна hello_html_m4e2df54c.gif. 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции hello_html_2f7ea7c8.gifв точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось hello_html_m1e250d95.gif в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.

Ответ: hello_html_1f8063b4.gif


Задание №12.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_1cfc7e23.gif.

Решение:

Введем обозначения hello_html_11bcf70e.gif. Поскольку hello_html_6d634035.gif, то hello_html_7c724135.gif.

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения hello_html_522bd584.gif. Так как hello_html_3b3ae905.gif, то наибольшее значение hello_html_522bd584.gif необходимо искать при hello_html_1e1c119b.gif. В этом случае hello_html_m46080ef1.gif можно записать, что hello_html_57332903.gif.

Наибольшее значение hello_html_522bd584.gif достигается при hello_html_m2096b66a.gif. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при hello_html_cba5b7a.gif и равно hello_html_m148912f6.gif.

Наименьшее значение произведения hello_html_522bd584.gif, где hello_html_3b3ae905.gif, достигается при условии, что hello_html_m20a17ac5.gif, причем необходимо, чтобы абсолютные величины hello_html_2e23cac7.gifи hello_html_451124c3.gif были наибольшими. При hello_html_10cc198a.gif будет hello_html_42b00ce2.gif. Именно в этой точке произведение hello_html_522bd584.gif достигает минимума, так как hello_html_2e23cac7.gif принимает минимальное, а hello_html_451124c3.gif - максимальное из возможных значений. Итак, при hello_html_10cc198a.gif исходная функция имеет наибольшее значение hello_html_m6bc95305.gif.

Ответ: hello_html_m5ecd16d3.gif.

Задание №13.

Найти область определения функции hello_html_m26d311b3.gif.

Решение:

С одной стороны, hello_html_1c924d37.gif, так как hello_html_4c3235ac.gif, а с другой стороны hello_html_5a280bc7.gif, так как стоит под знаком квадратного корня. Остаётся одна возможность: hello_html_2a871c6d.gif.

Ответ: hello_html_1962d68f.gif.

Задание №14.

Найти область определения функции hello_html_95bc5bf.gif.

Решение:

Чтобы существовал hello_html_mb354338.gif, необходимо и достаточно, чтобы hello_html_3e14f60e.gif, то есть hello_html_38c27bbd.gif.

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых hello_html_m7327b035.gifне существует, то есть числа вида hello_html_m3e92c340.gif. Два из этих чисел: hello_html_5c45d7b8.gif и hello_html_m13d2b93.gif лежат в найденных интервалах.

Ответ: hello_html_m4d94eaaa.gif

Задание №15.

Доказать, что функция hello_html_m272de88c.gif не является периодической.

Решение:

найдем корни функции hello_html_m458985c7.gif

hello_html_648e8f14.gif

Рассмотрим положительные корни hello_html_1807da79.gif.

Предположим, что hello_html_60f32cb4.gif - период функции. Тогда, если при hello_html_m766dd214.gif функция равна нулю, то и при hello_html_6ca6dbbe.gif она тоже равна нулю, то есть hello_html_64c0f894.gif. Аналогично hello_html_7cd341cc.gif. Вычитая одно равенство из другого, получим hello_html_m40bc03ff.gif, то есть hello_html_1fcec99c.gif. Возведем в квадрат: hello_html_m81ae756.gif. После вторичного возведения в квадрат получим hello_html_m568d0c31.gif.

Это равенство возможно лишь при hello_html_m20bdca50.gif, так как все остальные его элементы – целые.

Однако числа hello_html_22698e33.gif и hello_html_5d7c714d.gif выбраны так, что hello_html_3739d359.gif и hello_html_75bdd8e9.gif, то есть hello_html_m393e6d5b.gif.

Что и требовалось доказать.



Тема: «Решение уравнений и систем уравнений».

Задание №16.

Сколько решений системы уравнений hello_html_729e8619.gifудовлетворяют условию hello_html_m468e5540.gif?

Ответ: 10 решений.

Задание №17.

Сколько решений системы уравнений hello_html_m59929d25.gifудовлетворяют условию hello_html_485264e4.gif?

Ответ: 3 решения.

Решение: hello_html_m14de3092.gif

hello_html_m9b25a98.gif- круг, с центром hello_html_m7f904112.gif и радиусом 3 . Отсюда hello_html_1aced31b.gifhello_html_m1136cb96.gif. Построив данный круг и отметив точки, перебирая n и k, убеждаемся, что три решения системы уравнений удовлетворяют плоскости круга.

Задание №18.

Решить уравнение hello_html_m671111d3.gif.

Решение:

ОДЗ: hello_html_5286d8d7.gif

hello_html_m1c38d1db.gif

hello_html_m6713060a.gif.

hello_html_45e45a7e.gif;

hello_html_m121cfd63.gif, так как hello_html_c54f987.gif и hello_html_m10fb5942.gif не являются корнями

hello_html_m1b5481be.gifТеперь необходимо исключить целые k, лежащие в промежутке hello_html_m72fde11e.gif Заметим, что если одна из частей данного уравнения обращается в бесконечность, то и вторая должна быть бесконечностью, то есть достаточно проверить, чтобы hello_html_56f66c3c.gif, где hello_html_2e49ab4c.gif. Чтобы k было целым, необходимо, чтобы hello_html_m280d014f.gif. При этом получаем hello_html_m25d5e0dc.gif.

  • hello_html_a2d5222.gif; hello_html_m16bdb60b.gif (не подходит), hello_html_533d4f93.gif

  • hello_html_m5c5e2181.gif; hello_html_776ca4e8.gif(не подходит) hello_html_m71f80e97.gif.

Ответ: hello_html_5ce26b6a.gif;

hello_html_m5fd7c247.gif.

Задание№19.

Решить уравнение hello_html_1a721fcd.gif

hello_html_6003e9d0.gifОтвет:





Тема: «Решение неравенств».



Задание№20.

Решить неравенство hello_html_35ea456d.gif.

Решение:

Для того чтобы подступиться к этому неравенству, посмотрим, как ведут себя функции в его левой и правой частей hello_html_1b61545a.gifhello_html_7a2d462.gif, hello_html_m123b3b76.gifhello_html_7c1eb29c.gif.

Поскольку должно быть hello_html_m2f22598c.gif, то hello_html_m499b48b2.gif. На отрезке hello_html_m48b7ef1b.gif функция hello_html_7670e657.gifмонотонно возрастает, поэтому функция hello_html_726fa2ef.gifмонотонно убывает на этом отрезке. Отсюда следует, что наименьшее значение функции hello_html_726fa2ef.gifдостигается в точке hello_html_3f3a25fd.gif; при этом hello_html_721a1a79.gif. Таким образом, правая часть неравенства больше или равна 2.

С другой стороны, покажем, что функция hello_html_3bbcb22d.gif, определённая на отрезке hello_html_m5265f802.gif, не превосходит 2. Действительно, найдём критические точки hello_html_3bbcb22d.gif: hello_html_m78b83192.gifhello_html_2ab90867.gif

В критической точке hello_html_3f3a25fd.gifфункция hello_html_74c81379.gifменяет знак с плюса на минус, следовательно, функция hello_html_3bbcb22d.gifдостигает максимума в точке hello_html_3f3a25fd.gifи hello_html_34d76511.gif.

Итак, мы показали, что для всех допустимых значений hello_html_m5c6d3848.gif, при этом равенства достигаются лишь в точке hello_html_3f3a25fd.gif. Отсюда следует, что у исходного неравенства лишь одно решение hello_html_3f3a25fd.gif.

Ответ: hello_html_3f3a25fd.gif.

Задание №21.

Решить неравенство hello_html_m36676b46.gif.

Решение:

Если hello_html_m514b5671.gif, то неравенство не выполняется, так как hello_html_m7bcb6e24.gif, если hello_html_m514b5671.gif, в то время как hello_html_ma11294.gif всегда меньше hello_html_m4cb2f810.gif. При hello_html_m4bcc2a14.gif обе части неравенства оказываются в интервале от 0 до hello_html_m4cb2f810.gif, где все тригонометрические функции монотонны.

Так как косинус в hello_html_m1ebca140.gif убывает, то данное неравенство равносильно такому: hello_html_d8196ad.gif.

Чтобы hello_html_42f3b1af.gif существовал, необходимо hello_html_3170b768.gif, а так как мы рассматриваем случай hello_html_m4bcc2a14.gif, то получим hello_html_m25d1c2b.gif.

hello_html_m3e400e04.gif

Так как hello_html_m25d1c2b.gif, то hello_html_m32e53748.gifрешений нет.

Ответ: нет решений.

Задание №22.

Решить неравенство hello_html_49ceb1f8.gif.

Ответ: hello_html_5b4f9b1b.gif

Задание №23.

Решить неравенство hello_html_74fd48f8.gif.

Решение:

так как hello_html_2a1c393a.gifто второй сомножитель неотрицателен при всех значениях х. Неравенство выполняется лишь при положительном значении сомножителей. Один из них при этом должен быть не меньше 1. Однако второй не превышает 1. Для первого множителя условие hello_html_7c0b4549.gif равносильно требованию hello_html_658056b3.gif, что возможно лишь при hello_html_m349b60fc.gif. Одновременно должно выполняться неравенство hello_html_m667af084.gif, которому удовлетворяют числа hello_html_m2ff1fb2f.gif. Из них выбираем то, которое обеспечивает равенство единице первого сомножителя.

Ответ: hello_html_m349b60fc.gif.



Краткое описание документа:

Задачи нацелены на выявление и развитие творческого потенциала школьников. Я подобрала задания, которые позволяют учащимся 10 – 11 классов повторить материал изученной темы по математике на более высоком теоретическом и практическом уровне. Такие задания можно назвать: «нестандартные творческие задания». Задачи подбирала не слишком простые, которые решаются немедленно без всяких размышлений и усилия. Уверенно справиться с ними может лишь тот, кто глубоко владеет материалом программы и имеет достаточную практику в решении элементарных задач. Решения данных задач на на уроке занимает 20 – 30 минут. Я изучила варианты вступительных работ в различные вузы Российской Федерации, просмотрела подборку журнала «Квант» за 1975-1995 года выбрала, на мой взгляд, особо интересные задания. Данное пособие окажет реальную помощь при подготовке к ЕГЭ большинству учащихся. Я апробировала данные задания на своих учащихся и сделала следущие выводы: 1. Задания подобного вида позволяют пройти программный материал на более высоком теоретическом и практическом уровне. 2. У учащихся формируются исследовательские навыки, определённая сообразительность, свободное владение различными разделами математики, высокая логическая культура, психологическая подготовленность к решению сложных задач. 3. Помимо необходимого объёма информации и технических навыков, учащиеся овладевают культурой математических рассуждений, то есть учатся самостоятельно пользоваться известными им методами в нестандартных ситуациях. Я надеемся, что данное пособие принесёт несомненную пользу, как ученикам, так и учителям, желающим повысить свою квалификацию в области решения математических задач.

Общая информация

Номер материала: 2214112353

Похожие материалы

Комментарии:

2 месяца назад
Большое спасибо!