Рабочая тетрадь к элективному курсу «Метод геометрических мест точек»

Рабочая тетрадь

Что означают слова «рабочая тетрадь», входящие в название этого приложения? Данная тетрадь специально написана под элективный курс.

Задания, задачи и другие материалы, содержащиеся в рабочей тетради, следует выполнять все подряд. Можно сказать, что рабочая тетрадь – это учебник одноразового использования, задачник для одного ученика. В ней отведены места для самостоятельной работы, они заполняются учеником. Так что окончательный вид рабочая тетрадь примет лишь после того, как её «хозяин» - ученик и заполнит от первой до последней страницы.

Содержащиеся в этой рабочей тетради задания предполагают разную степень участия ученика в их выполнении. В одних случаях нужно внимательно изучить предложенное решение, разобраться в нём, заполнить имеющиеся пробелы. В других – самостоятельно решить задачу и записать краткое решение в тетради. Почти все задания предполагают активную работу с чертежом, - не научившись делать хорошие чертежи, нельзя освоить геометрию. При этом некоторые задачи уже имеют готовые чертежи, и ученик должен лишь дополнить их необходимыми деталями.

В заключении дадим один совет ученику: постарайтесь быть как можно внимательнее и аккуратнее при заполнении тетради. Все записи, рисунки делайте только после тщательного обдумывания, детальной отработки. Умение аккуратно и грамотно записывать решения, делать красивые чертежи – залог успешного овладения такой необычайно важной и увлекательной темой в геометрии, какой является тема «Метод геометрических мест точек».

 

 

 

1.Построить биссектрису угла А

 

 

 

 

 

 

 

2.Построить прямую проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а

 

 

 

 

 

 

 

3.Построить прямую b параллельную прямой а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Построить касательную к окружности проходящую через точку А не принадлежащую этой окружности

 

 

 

 

 

 

 

5.Геометрическим местом точек называется _________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.Геометрическое место точек, отстоящих на расстояние а, от данной точки М, есть____________________________________________________

__________________________________________________________(ГМТ1)

 

 

 

 

7. Геометрическое место точек,  равноотстоящих от двух данных точек М и N есть _________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ2)

 

 

 

 

 

8.Геометрическое место точек, отстоящих на данном расстоянии а от прямой АВ, составляют ___________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ3)

 

 

 

              

9.Геометрическое место точек, делящих в данном отношении парал­лельные отрезки прямых, проведенных в данном угле, есть _____________

_________________________________________________________(ГМТ4)

 

 

 

 

 

 

10.Геометрическое место середин отрезков, проведенных параллельно основанию треугольника, есть______________________________(ГМТ5).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для равнобедренного тре­угольника такое геометрическое место есть высота.

11.Прямая, делящая угол пополам, есть геометрическое место центров окружностей, ______________________________________________

__________________________________________________________(ГМТ6)

 

 

 

 

12.Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляют _________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие. Вершину прямого угла прямо­угольного треугольника всегда надо искать на полуокружности, диаметр которой есть гипоте­нуза; вершину всякого треугольника, если извес­тен угол при ней, должно искать на дуге, опи­санной на основании и вмещающей известный угол.

13.Геометрическое место середин равных хорд, проведенных в данной окружности О, есть ______________________________________________

_________________________________________________________(ГМТ8)

 

 

 

 

 

 

 

 14.Точки, из которых данная окружность О видна под данным углом   (т. е. точки, из которых две касательные к окружности О образуют между со­бой данный угол ), составляют ____________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ9)

 

 

 

 

 

 

 

15.Все точки, касательные из которых к данной окружности радиуса г рав­ны данному отрезку а, составляют__________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________(ГМТ10).

 

 

 

 

 

 

 

 

Это геометрическое место можно рассматривать, как след­ствие предыдущего геометрического места.

16.Геометрическое место вершин треугольников, равновеликих данно­му ∆ АВС и имеющих общее с ним основание АС, составляют ____________
________________________________________________________(ГМТ11).

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В равна а², есть _____________________________

________________________________________________________(ГМТ12)

 

 

 

 

 

 

 

18.______________________________________________________________
________________________________________________________________
есть перпендикуляр к МN в точке Е, определяемой равенством              ЕМ2-EN2=а².(ГМТ13)

 

 

 

 

 

 

19. Геометрическое место точек, расстояния которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m:n, есть ______________________

_______________________________________________________(ГМТ14)

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Геометрическое место точек, из которых касательные к данным двум окружностям равны, есть _________________________________________

________________________________________________________(ГМТ15)

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и пересекающих данную окружность под определенным углом, есть _____

_________________________________________________________(ГМТ16)

 

 

 

Если две окружности данных радиусов пересекаются под данным углом, то хорда пересечения будет иметь определенную длину, и обратно. Поэтому, эту теорему можно выразить в такой форме:

Геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус R  и пересекающих данную окружность по хорде данной длины а, есть концен­трическая окружность.

22.Суть метода геометрических мест точек заключается в следующем: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

23. Выполните анализ в задаче:

Построить треугольник по основанию и двум медианам, проведенным к боковым сторонам.

Пусть треугольник АВС -______

тогда ______________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24. Выполните анализ в задаче:

Постройте треугольник, зная биссектрису, медиану и высоту, проведённые из одной его вершины.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

25.Выполните анализ и построение в задаче:

Даны точка А и окружность S. Проведите через точку А прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S на этой прямой, имела данную длину d.

Анализ: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Построение:

 

 

 

1.     ОД;

2.     ГМТ1;

3.     ГМТ2;

4.     ГМТ1∩ГМТ2=Д;

5.     АД∩ S={М, К};

6.     Мl; Кl;

7.     l- искомая.

26. Выполните анализ и построение в задаче :

Построить параллелограмм, по его диагоналям m и n отрезку d, удовлетворяющему условию d² =а²- b², где а и b неизвестные стороны параллелограмма.

Анализ:

Пусть АВСД – искомый , тогда ________

_______________________________________________________________________. Из 1 и 2 => если О середина ВД , то ОС= n/2 => С  ГМТ1, __________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________где ЕВ²-ЕД²= d². Задача сводится к построению ________________________

___________________________________.

Построение:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27. Выполните анализ, построение и доказательство в задаче :

Построить треугольник по основанию а, медиане m_в на неизвестную сторону и радиуса описанного круга R.

Анализ:

 Пусть ΔАВС – искомый => ___________

____________________________________________________________________________________________________________

 Тогда ΔОВС строим по ____________________________________________________________________________________________________________Рассмотрим ΔАОС – равнобедренный и ОМ – медиана, так как ВМ - медиана=>ОМАС=>МГМТ1_________

________________________________________________________________________________________________________________________________ -W₁(О₁, R/2), где О₁- середина ОС Далее , так как МВ=m_в, то МГМТ2, ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Построение:

1)    ΔВОС: ВС=а,ОВ=ОС=R;

2)     __________

3)    __________

4)    ___∩_____=М;

5)    _______________________________________________________________;

6)     ΔАВС – искомый.

Доказательство: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

28. Задача :

Построить равнобедренный треугольник у которого основанием служит данный отрезок ВС=а, а вершина А находиться на данном расстоянии h от данной точки М.

Анализ:

 Пусть ΔАВС – искомый, т.е. __________

___________________________________________________________________________________________________________. =>А ГМТ1 _________________________

________________________________________________________________________  А ГМТ2, __________________________

_______________________________________________________________________. Итак, ___________________________________________________________________________________________________________.

Построение:

1)    ____________;

2)     ___________;

3)    ___________;

4)     _______∩_____=____;

5)     ΔАВС- искомый

 

 

 

Доказательство: __________________________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Исследование: задача _______ типа

Существование и количество решений _______________________________

________________________________________________________________1.Нет решений _______________________________________________.

2.Единственное решение ________________________________________

3.Два решения  _______________________________________________.

29. Задача :

Даны прямая и окружность, не имеющие общих точек. Постройте окружность данного радиуса касающуюся их.

Анализ:

Пусть W(Х,r) - искомая   = > 1)  W(Х,r)   ___________________________________; 2. W(Х,r) _________________________  Если W(Х,r) касается прямой l, то ХН=r, где Н – точка касания => Х  ГМТ, равноудаленных от прямой l  на расстояние r- это _____________________

____________________________________ Если    W(Х,r) касается  W₀ (О;R), то ОХ= R+r; Х  ГМТ, удаленных от О на расстоянии (R + r) – это  ___________  Таким образом Х= __________________

_______________________________________________________________________.

Построение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство: r – радиус окружности – по построению; х ГМТ 1 =>  ХН= r, ХН l  ( по свойству касательной)=> l –касательная к W (х,r), Х  ГМТ2  =>ОХ= r+R, =>  W (х,r) – касательная к W₀ (О,R).

Исследование: Задача _____ типа

 количество решений зависит _______________________________________

Пусть ОН  L, тогда:

1)    Если ГМТ1не пересекает ГМТ2 , то______________________________, так как  2r + R < ОН из треугольника ОНХ,

2)    Если  ГМТ1∩ ГМТ2 в одной точке , то___________________________, так как 2r + R = ОН

3)    Если ГМТ1∩ ГМТ2 в двух точках , то____________________________, так как 2r + R >ОН,

 

30. Задача :

Построить треугольник по стороне ВС=а, <А=  и условию АВ²+СА²=к², где к – данный отрезок.

Анализ:

Пусть ΔАВС – искомый, т.е. ___________

________________________________________________________________________Из _____________ вытекает АГМТ, из которых отрезок ВС= а виден под углом - это ______________________________

Из ______________________________________________ вытекает АГМТ, _______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________ - это есть W₂, окружность с центром О₂- середина ВС и r₂=½ .

Построение:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство:  ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Исследование: задача _____________типа

Шаги построения выполнимы и при том однозначно  при 2к²- а²>0=> а>к и 0<<180⁰. Количество решений зависит  от __________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Возможны случаи: 1) W₁∩W₂={А₁,А₂,А₃,А₄}, но тогда ΔВСА₁=ΔВСА₂=ΔВСА₃=ΔВСА₄=>__________________________________.2) W₁∩W₂=А₁ и А₂W₁ и W₂ касаются, тогда ΔВА₁С=ΔВА₂С –__________

________________________________________________________________. 3) W₁=W₂ r₂=а/2 и А=90⁰=>____________________________________

________________________________________________________________, так как за А можно выбрать любую точкуW₁=W₂ кроме В и С.

4) ______________________________________________ решений нет.

31. Задача :

Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.

Анализ:

Пусть W(О, r)–искомая, тогда__________
____________________________________________________________________________________________________________. Из  _____________ вытекает ОО₁= r₁+ r =>О ГМТ, _________________________

___________________________________________________________  W₄(О₂, r₂+ r). Итак, О= W₃ ∩ W₄.

Построение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство: ________________________________________________________________=>ОО₁= r₁+ r => W₁ и W __________________________________________, ________________________________________________________________=>ОО₂= r₂+ r => W₂ и W – _________________________________________, ________________________________________________________________=>радиус W равен r.

Исследование: задача ____________ типа

задача может иметь: 1) _____________________________О₁О₂< r₁+ r₂+ r;

 2) ______________________________________________О₁О₂= r₁+ r₂+ r;

3) _________________________________________О₁О₂> r₁+ r₂+ r.

32. Задача :

Построить ромб по стороне и радиусу вписанного круга.

Анализ:

Пусть АВСД – искомый ромб =>________

_______________________________________________________________________, то радиус круга = r, центр вписанного в ромб круга лежит ___________________

______________________________________________________________________=> О=АС∩ДВ => ДОС = 90⁰ =>О ГМТ1, ________________________________________________________________________________________________________________________________________________-W₁, построенная на ДС как на диаметре.

Так как W- вписанный в АВСД круг, то ДС – касательная к W => расстояние от О до ДС равно радиусу r =>О  ГМТ2,__________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Итак, О= l ∩ W₁.

Построение:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство:  ________________________________________________

=>АВСД – параллелограмм и ΔДОС= ΔДОА =>ДС=ДА =>АВСД- ромб; ________________________________________________________________________________________________________________________________=>АВ=ВС=СД=ДА=а;  ___________________________________________

_________________________________________________________________________________=> ДОС=90⁰ =>О – центр вписанного в АВСД круга, шаг 3 =>расстояние от О до ДС= r =>радиус вписанного в ромб круга = r.

Исследование: задача ____________ типа

Существование решений зависит от _________________________________

_______________________________________________________________

1) W₁ ∩ l₁(l₂)= {О,О₁,О₂,О₃} =>____________________________________, так как ромбы равны; 2) l₁ и l₂ касательные к W₁ =>___________________

________________________________________________________________. 3) l₁(l₂) ∩ W₁=  =>______________________________________________

________________________________________________________________.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

1.     Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1995.

2.     Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости: пособие для студентов педагогических институтов. – М.; Просвещение, 1957.

3.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.В 2-х ч. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. пед. ин-тов.-М.: Просвещение, 1986.

4.     Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. –М.: Просвещение, 2002.

5.     Бевз Г. П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. ср. шк.-М.: Просвещение, 1992.

6.     Бычкова О.И. Исследование функций элементарными средствами. Программа элективного курса по математике. –Иркутск: Изд-во Иркут. Гос. пед. ун-та, 2005.

7.     Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч. 1. Учебное пособие для физ. мат. фак. пед. ин-тов.- СПб.: Специальная литература, 1997.

8.     Кисилев А.П. Геометрия.: Учеб. для 7-8 кл.-М.: Просвещение, 1972

9.     Киселёв А.П. Элементарная геометрия. Книга для учителя.-М: Просвещение, 1972.

10. Мисюркеев И.В. Геометрические построения: пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1950.

11. Назаретский В.Е., Федин Н.Г. Задачник – практикум по элементарной геометрии. – М.: Просвещение 1965.

12. Погорелов А.В. Геометрия 7-11: учеб. для общеобразоват. учреждений. –М.: Просвещение, 1996.