Планиметрические задачи по математике на ЕГЭ

Планиметрические задачи на ЕГЭ (С4)

Халиуллин Асхат Адельзянович, Республика Башкортостан, г. Уфа, почетный работник общего образования Российской Федерации, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа .

     Обучение решению планиметрических задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания математики. Задачи используются как материал, способствующий развитию математического мышления, геометрической интуиции, творческой активности учащихся, формированию умения применять теоретические знания на практике.

     Однако, как показывает практика обучения и анализ результатов ЕГЭ выпускников, умение решать планиметрические задачи оставляет желать много лучшего. Задачи С4 по планиметрии вызывают у учащихся наибольшее затруднения. Причиной является сложившаяся и ставшая традиционной практика обучения решению задач по планиметрии по образцу.

     Обычно, приступая  к решению задачи по планиметрии, учитель предлагает выполнить рисунок аккуратно, с четкими обозначениями, выясняет, что известно и что нужно найти. В процессе выполнения рисунка анализируется условие задачи, устанавливается взаимное расположение отдельных элементов геометрической фигуры и взаимосвязь между этими  элементами. Выполнение рисунка требует знания свойств геометрических фигур, умения применять эти свойства на практике.

    Если в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения, тогда возникает вопрос о выполнении дополнительного построения, которое преобразовало бы условие задачи и направило мысль учащихся в нужном направлении.

    Также имеется немало задач, процесс решения которых состоит в последовательном уточнении  особенностей  рассматриваемой конфигурации с соответствующими переделками и изменениями рисунка, так что окончательный вид рисунок принимает лишь одновременно с окончанием решения.

    В данной работе предлагается несколько планиметрических задач, детальный анализ которых позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы.

    Проиллюстрируем сказанное выше на наиболее интересных элементарно геометрических задачах на взаимное расположение окружностей и на взаимное расположение прямой и окружности, которые могут быть изучены на факультативных или внеурочных занятиях с наиболее успевающими учащимися с большим интересом, поскольку  в школьном преподавании окружность и ее дуги интересны учащимся как представители класса кривых линий.

     Решение нижерассматриваемых задач, как и большого класса других задач на вычисление сводится к последовательному рассмотрению и решению ряда прямоугольных треугольников, с которыми проще всего иметь дело. Но в рисунках нижерассматриваемых задач их сразу не видно, поэтому учителю необходимо обучать учащихся умению точно и логично мыслить, видеть, чего в рисунке не достает и какие линии надо провести дополнительно, чтобы можно было создать прямоугольные треугольники и с помощью хорошо известной из школьного курса элементарной геометрии теоремы Пифагора составить уравнения, из которых будут найдены искомые величины.

       Поскольку здесь мы имеем дело с окружностями и ее дугами, то является очевидным использование следующих утверждений:

v если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих  окружностей лежат на одной прямой;

v расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей;

v касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания.

       В процессе решения нижерассматриваемых задач придется много вычислять, что способствует более высокому развитию у учащихся определенных вычислительных навыков. Из всего вышесказанного ясно, что эти задачи окажут учащимся двоякую пользу: во-первых, они получат возможность более глубже понять и прочнее усвоить тему «Окружность», во-вторых, эти задачи разовьют у учащихся умение быстро и безошибочно выполнять различные алгебраические действия.

        Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

      Решение.

      Поскольку в условии данной задачи конкретно не указано, какой же, именно, сторон квадрата касается искомая окружность, то мы должны рассмотреть три случая, схематически изображенные на рисунке 1(а,б,в).

    I.Рассмотрим сначала случай, когда искомая

окружность касается стороне АВ  квадрата   АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х.

      Соединим центр окружности О с центром

полуокружности О₁ и с центром дуги А, опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN  на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники.

       Из прямоугольного треугольника АМО                                 

                   следует, что неизвестный катет АМ равен

                  , то есть АМ=  или АМ=.

      Теперь рассмотрим треугольник  ОО₁N, в котором гипотенуза 

OO₁ = OK₁+ K₁O₁ =  , катет ОN = МN – ОМ = а – х  и катет  О₁N = DN –D О₁,

где  DN= АМ=            и   D О₁ =     поэтому   О₁N = .

По теореме Пифагора находим OO₁ ²  = ОN ² + О₁N ² . Подставляя найденные выражения для  OO₁ , ОN  и О₁N  в выше написанное уравнение имеем

откуда  получаем искомый радиус     х = OK = .

    II. Пусть теперь искомая  окружность касается стороне  ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности  через  у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники  АОМ   и  О₁ОN. Из прямоугольного треугольника  АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ.

Он равен  ОМ = . Аналогично найдем из прямоугольного треугольника  О₁ОN   катет ОN = . Подставляя найденные значения величин  ОМ  и  ОN  в соотношение   ВС = ОМ + ОN , получаем  а =    +.  Решая это уравнение, находим   y = OK = .

III. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через  z.       Опустим из центра О  искомой окружности перпендикуляры  ОМ     и    ОN    соответственно на стороны   АВ   и   CD  квадрата  АВСD  и соединим центр О  с центром полуокружности  О₁    и  с вершиной  А  квадрата  АВСD . Из полученного при этом  построении прямоугольного  треугольника  

ОО₁N  по теореме Пифагора имеем  О₁N =  . Следовательно, катет  АМ   прямоугольного треугольника  АМО   равен 

. Из  соотношения  АO ²  = АМ ² + ОМ ²  получаем

   ,

откуда и находится искомый радиус  z = OK = .

Задача 2. Дан круговой сектор АОВ  радиуса  R с центральным углом  в  90^○ . На радиусах  АО  и  ОВ   этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром  О₁  на радиусе  ОВ сектора  АОВ, радиуса О₁В касается полуокружности, построенной на радиусе АО,  и  дуги  АВ  в точке  В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

Решение.

          
                         а)                         Рис.2                                 б)

          Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей  О₁  и  О₂  радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы  О₁К  и  О₂К  оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке  К  и  поэтому они лежат на одной прямой  О₁О₂. Получим прямоугольный треугольник ОО₁О₂ , из которого найдем   

 О₁О₂² =О₁О² + О₂О²  или, так как    О₁О₂=  О₂К+ О₁К  = О₁В,

О₁О = ОВ - О₁В = R - О₁В  и    О₂О = , отсюда получаем

        Далее центры полуокружностей  О₁ ,О₂  и  О₃  соединим с центром окружности

О₄  и  из  центра   О₄  этой же окружности опустим перпендикуляры   О₄М  и  О₄N  на  радиусы    ОА и ОВ    сектора    АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники     О₁О₄N   и  О₃О₄N.  Высота   О₄N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство

О₁О₄²  - О₃О₄²  = NО₁² – NО₃²  , или  

(О₁О₄  - О₃О₄) (О₁О₄ +О₃О₄)  = (NО₁ – NО₃) (NО₁ + NО₃) . Подставив сюда значения:   

.

Следовательно, высота 

Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника  О₂О₄М. Гипотенуза   О₂О₄  =  О₂К₂ + К₂ О₄  =  ,  катет

О₂М = ОО₂  - ОМ  =    и  катет  О₄М  = .

По теореме Пифагора имеем  О₂О₄ ² =  О₂М ² + МО₄ ² , или

 откуда 

Задача  3.  На отрезке АВ, равном  R, точка  Q – середина; на АQ  и  на  ВQ  как  на  диаметрах по одну сторону от  АВ  построены полуокружности. С  центрами  в  точках А и В  радиусами, равными  АВ, проведены дуги  до  их  взаимного  пересечения  в  точке  F, находящиеся по ту же сторону от  АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности,      полуокружности, построенной на отрезке  ВQ, и дуги       ВF.

Решение. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О₁О₂ Q  и  ВО₂ Q (Рис.3), получаем

(ВО₂ + О₁О₂)(ВО₂  - О₁О₂)=(ВQ + О₁Q) (ВQ - О₁Q) .

Имея в виду, что   ВО₂ = ВК₂ - О₂ К₂  =  R - О₂ К₂ ,

О₁О₂ = О₁К₄ + К₄ О₂  =

           Далее, рассматривая  прямоугольные  треугольники  О₁ОМ и АОМ, имеем

(АО + О₁О) (АО - О₁О) =( АМ + О₁М) ( АМ - О₁М), где АО = АК – ОК = R – ОК,

Поэтому       oткуда 

и  высота  .

     Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO₂  и  подставить  в  уравнение

ОО₂ ²  = О₂P ²  + PO ² .  Меньший катет О₂P  = О₂Q  - PQ, где

катет 

                          Отсюда получаем

  После необходимых преобразований находим искомый радиус

     Подводя итог, заметим, что ознакомление с предложенными задачами способствует дальнейшему совершенствованию навыков построения и чтения геометрических  рисунков, расширению математического кругозора учащихся и поможет им самостоятельно найти решения ряда других, более сложных задач.

      Сделаем  ещё одно существенное замечание: рассмотрев решение одной – двух задач, изложенное выше, необходимо попытаться решить следующую задачу самостоятельно. Если  это не получится, то разобравшись в решении этой задачи, сделать попытку на последующей. Эти попытки не только нужны, но и необходимы, ибо без практики, без тренировки в решении этих задач невозможно научиться решать аналогичные им задачи. Поэтому в заключение  работы приведем достаточное количество задач, которых можно предложить для самостоятельного решения ученикам, проявляющим особый интерес к математике.

Задача 1. В квадрате АВСD  из точки  А  как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины  В  и  D. На сторонах  ВС и СD  как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны  а.

Ответ. Надо рассмотреть отдельно три случая:

Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной  1.

Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1  до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.

Ответ. Два случая:

   Задача  3. Около окружности описан квадрат со стороной    а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.

Ответ. Четыре случая:                                 
                        

Задача 4. Две окружности радиусов  a   и   b (a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности  S₁, касающейся двух данных окружностей

и  проведенной касательной, к радиусу окружности                                                                                                                                                   S₂, касающейся большей окружности, проведенной каса-

                                                   тельной и общего диаметра двух данных окружностей,

               равно              
Задача 5. Внутри квадрата со стороной  a  на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей

и   одной из сторон данного квадрата.

                            Ответ:     

Пояснительная записка с методическими рекомендациями

к работе «Планиметрические задачи на ЕГЭ(С4)».

1. Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Халиуллин Асхат Адельзянович, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа.
2. Образовательное учреждение (полное название), регион  ГАОУ СПО Башкирский      архитектурно-строительный колледж Республика Башкортостан,г.УФА

3. Предмет, класс, в котором используется продукт Математика,10,11 класс
4. Авторы учебника, учебно-методического комплекса Атанасян Л. В. и др., Погорелов А. В., по-моему любой учебник
5. Тема урока (уроков) Планиметрические задачи на едином государственном экзамене(С4), повторение 10,11 класс.
6. Необходимое оборудование и материалы для занятия  множительная техника
7. Описание мультимедийного продукта (медиапродукта): Microsoft Office PowerPoint 2003

Среда, редактор, в котором выполнен продукт Вид продукта продукта  текстовый редактор «Word 2003», рисунки чертил с помощью линейки и циркуля.

 Структура, краткое описание содержания, системы навигации (можно сделать схему) 

Ø  Работа состоит из 8-и планиметрических задач, составленных по принципу ЕГЭ, первые 3 задачи с подробными решениями, а остальные 5 задач для самостоятельного решения;

Ø  Учащимся предлагаются листочки с готовыми задачами и рисунками. На листочке ученик пишет фамилию и полностью решает предложенную задачу. После проверки работы учащихся учитель вместе с учениками  разбирает решения задач, используя презентацию.  

Ø  Учителю необходимо скопировать задачи и рисунки в достаточном количестве.

Ø  Отрабатывается применение: теоремы Пифагора; свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности. Кроме того, учащиеся учатся комплексно применять свои знания, проводить анализ задачи, развивать навыки самостоятельного мышления, читать геометрические чертежи, совершенствовать вычислительные навыки.

Ø  Ответы прилагаются ко всем задачам, но учителю рекомендую прорешать остальные  5 задач самостоятельно, что значительно сэкономит время, как на уроке, так и при проверке работ учащихся

Ø  Помощь учителя во время самостоятельной работы учащихся над карточками  считаю необходимой и даже обязательной, т.к. задачи повышенной сложности, где иногда ученик может просто не сообразить, куда идти дальше.

Ø Предлагаемые самостоятельные работы носят развивающий и обучающий характер, вызывают положительные эмоции школьников при повторении.

1.Цель создания и использования медиапродукта на занятии  Для обобщения и систематизации знаний учащихся,  развитие интереса к предмету

2.Как реализуется на уроке (время и место) Самостоятельная работа, уроки повторения и обобщения.

Задачи, для проведения занятия.

Задачи для контрольной работы.

№1. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

№2. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена пряма, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую – в точке С.

Известно, что    . Найдите ВС.

№3.Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямй.

Задачи для самостоятельной работы.

№1. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

№2. Окружности S₁  и S₂  радиусов R и  r (R > r) соответственно касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S₁, проведена прямая, касающаяся окружности S₂ в точке М. Найдите ВМ, если известно, что АВ = a

 №3. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем ÐСDА = 120^○. Найдите радиус окружности, вписанной в угол АDС и касающейся дуги АС, если   .

Задачи для домашней работы.

№1. Точка О – центр окружности радиуса 2 . На продолжении радиуса ОМ взята точка А . Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что

ÐОАК = 60^○. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.

№2. В прямоугольный круговой сектор радиуса R вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся внешним образом вписанной окружности, дуги данного сектора и одного из его радиусов.

№3. Из вершин А и D квадрата АВСD как из центров, радиусами, равными его сторонам, проведены дуги окружностей, лежащие внутри квадрата. На стороне АD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Доказать, что радиус окружности S₁ , касающейся полуокружности и проведенных дуг, равен радиусу окружности  S₂ , касающейся стороны  DС и проведенных дуг.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска), презентация для сопровождения.

Авторский медиапродукт

I.                    Среда - Microsoft Office PowerPoint 2003

II.                 Вид медиапродукта - наглядная презентация изучаемого учебного материала.

III.              Структура презентации:

Целесообразность использования медиапродукта на занятии продиктована    следующими факторами:

1.    интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

ü  улучшением  наглядности изучаемого материала,

ü  увеличением количества предлагаемой информации,

ü  уменьшением времени подачи материала;

2.    повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Уважаемые коллеги!

Предлагаемые мной задачи можно рассматривать все сразу на уроке, отведенном для подготовки учащихся к ЕГЭ, или разбить на отдельные слайды и использовать по одной – две задачи на уроке, также данный материал можно использовать на факультативном занятии (или на занятии элективного курса).  

Список используемой литературы и Интернет-ресурсов

1.      http://www.mathege.ru:8080/or/ege/ShowProblems?offset=5&posMask=512&showProto=true - открытый банк заданий (С4 )

2.      Задачи для самостоятельного решения также можно взять из диагностической работы в форме ЕГЭ для учащихся 11 класса  Скачать задания можно по ссылке:

        http://www.alexlarin.narod.ru/ege/mioo2010/ege091208blog.pdf

3.      Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg 

       и шаблон с сайта  http://aida.ucoz.ru

4.      Использован шаблон для слайдов презентации из работы «Геометрические задачи типа С4 »  Чудаевой Елены Владимировны.  http://it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=140066