Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Планиметрические задачи по математике на ЕГЭ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Планиметрические задачи по математике на ЕГЭ

Выбранный для просмотра документ Планиметрические задачи С4.doc

библиотека
материалов

Планиметрические задачи на ЕГЭ (С4)

Халиуллин Асхат Адельзянович, Республика Башкортостан, г. Уфа, почетный работник общего образования Российской Федерации, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа .

Обучение решению планиметрических задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания математики. Задачи используются как материал, способствующий развитию математического мышления, геометрической интуиции, творческой активности учащихся, формированию умения применять теоретические знания на практике.

Однако, как показывает практика обучения и анализ результатов ЕГЭ выпускников, умение решать планиметрические задачи оставляет желать много лучшего. Задачи С4 по планиметрии вызывают у учащихся наибольшее затруднения. Причиной является сложившаяся и ставшая традиционной практика обучения решению задач по планиметрии по образцу.

Обычно, приступая к решению задачи по планиметрии, учитель предлагает выполнить рисунок аккуратно, с четкими обозначениями, выясняет, что известно и что нужно найти. В процессе выполнения рисунка анализируется условие задачи, устанавливается взаимное расположение отдельных элементов геометрической фигуры и взаимосвязь между этими элементами. Выполнение рисунка требует знания свойств геометрических фигур, умения применять эти свойства на практике.

Если в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения, тогда возникает вопрос о выполнении дополнительного построения, которое преобразовало бы условие задачи и направило мысль учащихся в нужном направлении.

Также имеется немало задач, процесс решения которых состоит в последовательном уточнении особенностей рассматриваемой конфигурации с соответствующими переделками и изменениями рисунка, так что окончательный вид рисунок принимает лишь одновременно с окончанием решения.

В данной работе предлагается несколько планиметрических задач, детальный анализ которых позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы.

Проиллюстрируем сказанное выше на наиболее интересных элементарно геометрических задачах на взаимное расположение окружностей и на взаимное расположение прямой и окружности, которые могут быть изучены на факультативных или внеурочных занятиях с наиболее успевающими учащимися с большим интересом, поскольку в школьном преподавании окружность и ее дуги интересны учащимся как представители класса кривых линий.

Решение нижерассматриваемых задач, как и большого класса других задач на вычисление сводится к последовательному рассмотрению и решению ряда прямоугольных треугольников, с которыми проще всего иметь дело. Но в рисунках нижерассматриваемых задач их сразу не видно, поэтому учителю необходимо обучать учащихся умению точно и логично мыслить, видеть, чего в рисунке не достает и какие линии надо провести дополнительно, чтобы можно было создать прямоугольные треугольники и с помощью хорошо известной из школьного курса элементарной геометрии теоремы Пифагора составить уравнения, из которых будут найдены искомые величины.

Поскольку здесь мы имеем дело с окружностями и ее дугами, то является очевидным использование следующих утверждений:

  • если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой;

  • расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей;

  • касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания.

В процессе решения нижерассматриваемых задач придется много вычислять, что способствует более высокому развитию у учащихся определенных вычислительных навыков. Из всего вышесказанного ясно, что эти задачи окажут учащимся двоякую пользу: во-первых, они получат возможность более глубже понять и прочнее усвоить тему «Окружность», во-вторых, эти задачи разовьют у учащихся умение быстро и безошибочно выполнять различные алгебраические действия.

Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

hello_html_680e9ca8.jpgРешение.

Поскольку в условии данной задачи конкретно не указано, какой же, именно, сторон квадрата касается искомая окружность, то мы должны рассмотреть три случая, схематически изображенные на рисунке 1(а,б,в).

I.Рассмотрим сначала случай, когда искомая

окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х.

Соединим центр окружности О с центром

Рис. 1, а.




полуокружности О1 и с центром дуги А, опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники.

Из прямоугольного треугольника АМО

следует, что неизвестный катет АМ равен

hello_html_2068610d.gif, то есть АМ=hello_html_3f567d5f.gif или АМ=hello_html_m274c16f3.gif.

Теперь рассмотрим треугольник ОО1N, в котором гипотенуза

OO1 = OK1+ K1O1 = hello_html_m52746ec4.gif, катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DND О1,

где DN= АМ= hello_html_m274c16f3.gifи D О1 = hello_html_m48ee29ec.gif поэтому О1N = hello_html_2ea64f8a.gif.

По теореме Пифагора находим OO1 2 = ОN 2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1 , ОN и О1N в выше написанное уравнение имеем

hello_html_72a72de0.gif

откуда получаем искомый радиус х = OK = hello_html_m4bcc1703.gif.

hello_html_4d89d6d6.jpg

II. Пусть теперь искомая окружность касается стороне ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности через у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники АОМ и О1ОN. Из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ.

Рис. 1, б.

Оhello_html_m677a1558.jpgн равен ОМ = hello_html_m4482f40b.gif. Аналогично найдем из прямоугольного треугольника О1ОN катет ОN = hello_html_2eec4024.gif. Подставляя найденные значения величин ОМ и ОN в соотношение ВС = ОМ + ОN , получаем а = hello_html_6596ccd0.gif +hello_html_636ab5fa.gif. Решая это уравнение, находим y = OK = hello_html_m770ffb35.gif.

I

Рис. 1, в.

II. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через z. Опустим из центра О искомой окружности перпендикуляры ОМ и ОN соответственно на стороны АВ и CD квадрата АВСD и соединим центр О с центром полуокружности О1 и с вершиной А квадрата АВСD . Из полученного при этом построении прямоугольного треугольника


ОО1N по теореме Пифагора имеем О1N = hello_html_m3c707334.gif. Следовательно, катет АМ прямоугольного треугольника АМО равен


hello_html_m761be2cc.gif

. Из соотношения АO 2 = АМ 2 + ОМ 2 получаем


hello_html_m7db9afc6.gif ,

откуда и находится искомый радиус z = OK = hello_html_m9ad0208.gif.

Задача 2. Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90. На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

Решение.

hello_html_71cff027.jpghello_html_7a5dc90b.jpg
а) Рис.2 б)

Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2 , из которого найдем

О1О22 =О1О2 + О2О2 или, так как О1О2= О2К+ О1К = hello_html_22a2572.gifО1В,

О1О = ОВ - О1В = R - О1В и О2О = hello_html_m2cddb09f.gif, отсюда получаем

hello_html_m1d5dd432.gif

Далее центры полуокружностей О1 ,О2 и О3 соединим с центром окружности

О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство

О1О42 - О3О42 = NО12 NО32 , или

(О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 NО3) (NО1 + NО3) . Подставив сюда значения:

hello_html_m22073519.gif

hello_html_m73bfef90.gif


hello_html_m5d1ca4b0.gif.

Следовательно, высота hello_html_m57e2e3af.gif

Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 = hello_html_m1ece6c88.gif , катет

О2М = ОО2 - ОМ = hello_html_2e4a10d2.gifhello_html_22a58d58.gif и катет О4М = hello_html_5d274ed4.gif.

По теореме Пифагора имеем О2О42 = О2М 2 + МО42 , или

hello_html_m4c67e135.gif откуда
hello_html_m7b1f45d9.gif

Зhello_html_5e8e769.jpg

Рис. 3.

адача 3. На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.

Решение. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2 Q (Рис.3), получаем

(ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .

Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 = R - О2 К2 ,


О1О2 = О1К4 + К4 О2 = hello_html_m34bddf17.gif
hello_html_m6313af11.gif
hello_html_m229e33a3.gif

Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем

(АО + О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ - О1М), где АО = АК – ОК = R ОК,

hello_html_33a140a.gif

hello_html_20541316.gif

Поэтому hello_html_m7d9fc3f8.gif oткуда hello_html_6ff11d93.gif

и высота hello_html_m37953334.gif.

Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение

ОО2 2 = О2P 2 + PO 2 . Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где


hello_html_44d34c25.gif


катет hello_html_m747985d6.gif


hello_html_m19238f4e.gifОтсюда получаем


hello_html_m88b7763.gif

После необходимых преобразований находим искомый радиус


hello_html_m4935e76f.gif

Подводя итог, заметим, что ознакомление с предложенными задачами способствует дальнейшему совершенствованию навыков построения и чтения геометрических рисунков, расширению математического кругозора учащихся и поможет им самостоятельно найти решения ряда других, более сложных задач.

Сделаем ещё одно существенное замечание: рассмотрев решение одной – двух задач, изложенное выше, необходимо попытаться решить следующую задачу самостоятельно. Если это не получится, то разобравшись в решении этой задачи, сделать попытку на последующей. Эти попытки не только нужны, но и необходимы, ибо без практики, без тренировки в решении этих задач невозможно научиться решать аналогичные им задачи. Поэтому в заключение работы приведем достаточное количество задач, которых можно предложить для самостоятельного решения ученикам, проявляющим особый интерес к математике.

Зhello_html_m52d9c4a7.jpgадача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.

Ответ. Надо рассмотреть отдельно три случая:

hello_html_m144a58ef.gif

Рис. 4.

hello_html_50581cc.gifhello_html_19ddb0c3.gif

Зhello_html_684088d6.jpgадача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1.

Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.

Ответ. Два случая:

Рис. 5.

hello_html_m7d7e1dfb.gifhello_html_14e61782.gif

hello_html_m169722b3.jpg

Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.

О

Рис. 6.

твет. Четыре случая:
hello_html_5605b75b.gif hello_html_m7d379c52.gif

hello_html_39d52ca5.gifhello_html_239dcbb3.gif



Зhello_html_33db6f2f.jpgадача 4. Две окружности радиусов a и b (a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S1, касающейся двух данных окружностей

и

Рис. 7.

проведенной касательной, к радиусу окружности S2, касающейся большей окружности, проведенной каса-

тельной и общего диаметра двух данных окружностей,

hello_html_241d3cc2.jpgравно hello_html_74d98d03.gif
Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей

и одной из сторон данного квадрата.


Рис. 8.

Ответ: hello_html_1ca343b1.gif
















Выбранный для просмотра документ Пояснительная записка С4.doc

библиотека
материалов

Пояснительная записка с методическими рекомендациями


к работе «Планиметрические задачи на ЕГЭ(С4)».


  1. Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Халиуллин Асхат Адельзянович, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа.

  2. Образовательное учреждение (полное название), регион ГАОУ СПО Башкирский архитектурно-строительный колледж Республика Башкортостан,г.УФА


  1. Предмет, класс, в котором используется продукт Математика,10,11 класс

  2. Авторы учебника, учебно-методического комплекса Атанасян Л. В. и др., Погорелов А. В., по-моему любой учебник

  3. Тема урока (уроков) Планиметрические задачи на едином государственном экзамене(С4), повторение 10,11 класс.

  4. Необходимое оборудование и материалы для занятия множительная техника

  5. Описание мультимедийного продукта (медиапродукта): Microsoft Office PowerPoint 2003

Среда, редактор, в котором выполнен продукт Вид продукта продукта текстовый редактор «Word 2003», рисунки чертил с помощью линейки и циркуля.

Структура, краткое описание содержания, системы навигации (можно сделать схему)

  • Работа состоит из 8-и планиметрических задач, составленных по принципу ЕГЭ, первые 3 задачи с подробными решениями, а остальные 5 задач для самостоятельного решения;

  • Учащимся предлагаются листочки с готовыми задачами и рисунками. На листочке ученик пишет фамилию и полностью решает предложенную задачу. После проверки работы учащихся учитель вместе с учениками разбирает решения задач, используя презентацию.

  • Учителю необходимо скопировать задачи и рисунки в достаточном количестве.

  • Отрабатывается применение: теоремы Пифагора; свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности. Кроме того, учащиеся учатся комплексно применять свои знания, проводить анализ задачи, развивать навыки самостоятельного мышления, читать геометрические чертежи, совершенствовать вычислительные навыки.

  • Ответы прилагаются ко всем задачам, но учителю рекомендую прорешать остальные 5 задач самостоятельно, что значительно сэкономит время, как на уроке, так и при проверке работ учащихся

  • Помощь учителя во время самостоятельной работы учащихся над карточками считаю необходимой и даже обязательной, т.к. задачи повышенной сложности, где иногда ученик может просто не сообразить, куда идти дальше.

  • Предлагаемые самостоятельные работы носят развивающий и обучающий характер, вызывают положительные эмоции школьников при повторении.

  1. Цель создания и использования медиапродукта на занятии Для обобщения и систематизации знаний учащихся, развитие интереса к предмету

  2. Как реализуется на уроке (время и место) Самостоятельная работа, уроки повторения и обобщения.



Задачи, для проведения занятия.


Задачи для контрольной работы.


1. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

2. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена пряма, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую – в точке С.

Известно, что hello_html_6ec21150.gif . Найдите ВС.

3.Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямй.


Задачи для самостоятельной работы.


1. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

2. Окружности S1 и S2 радиусов R и r (R r) соответственно касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке М. Найдите ВМ, если известно, что АВ = a

3. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем СDА = 120. Найдите радиус окружности, вписанной в угол АDС и касающейся дуги АС, если hello_html_m56c645f5.gif .


Задачи для домашней работы.


1. Точка О – центр окружности радиуса 2 . На продолжении радиуса ОМ взята точка А . Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что

ОАК = 60. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.

2. В прямоугольный круговой сектор радиуса R вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся внешним образом вписанной окружности, дуги данного сектора и одного из его радиусов.

3. Из вершин А и D квадрата АВСD как из центров, радиусами, равными его сторонам, проведены дуги окружностей, лежащие внутри квадрата. На стороне АD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Доказать, что радиус окружности S1 , касающейся полуокружности и проведенных дуг, равен радиусу окружности S2 , касающейся стороны DС и проведенных дуг.


Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска), презентация для сопровождения.






Авторский медиапродукт

  1. Среда - Microsoft Office PowerPoint 2003

  2. Вид медиапродукта - наглядная презентация изучаемого учебного материала.

  3. Структура презентации:

№ п/п

Структурные элементы

слайда

1

Титульный слайд

№ 1

2

Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.

№ 2-№5

3

Условие задачи 1

№6


4

Подробный разбор и решение задачи 1(1 случай)

№ 7-№8

5

Подробный разбор и решение задачи 1(2 случай)

№ 9

6

Подробный разбор и решение задачи 1(3 случай)

№ 10

7

Условие задачи 2

№ 11

8

Рисунки к задаче 2

№ 12

9

Подробный разбор и решение задачи 2

№ 13 - № 15

10

Условие задачи 3

№ 116

11

Подробный разбор и решение задачи 3

№ 17-№19

12

Задачи для самостоятельного решения

№ 20 - №25

13

Интернет-ресурсы

№ 26


Целесообразность использования медиапродукта на занятии продиктована следующими факторами:

  1. интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

  • улучшением наглядности изучаемого материала,

  • увеличением количества предлагаемой информации,

  • уменьшением времени подачи материала;

  1. повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.


Уважаемые коллеги!


Предлагаемые мной задачи можно рассматривать все сразу на уроке, отведенном для подготовки учащихся к ЕГЭ, или разбить на отдельные слайды и использовать по одной – две задачи на уроке, также данный материал можно использовать на факультативном занятии (или на занятии элективного курса).













Список используемой литературы и Интернет-ресурсов


  1. http://www.mathege.ru:8080/or/ege/ShowProblems?offset=5&posMask=512&showProto=true - открытый банк заданий (С4 )

  2. Задачи для самостоятельного решения также можно взять из диагностической работы в форме ЕГЭ для учащихся 11 класса Скачать задания можно по ссылке:

http://www.alexlarin.narod.ru/ege/mioo2010/ege091208blog.pdf

  1. Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg

и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru

  1. Использован шаблон для слайдов презентации из работы «Геометрические задачи типа С4 » Чудаевой Елены Владимировны. http://it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=140066


Выбранный для просмотра документ ПрезентацияC4.ppt

библиотека
материалов
Планиметрические задачи на ЕГЭ (С 4) РЕСПУБЛИКА БАШКОРТОСТАН г. УФА Халиуллин...
Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимн...
Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры...
Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме рад...
Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности ил...
Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра...
Решение I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD...
Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен ,...
Рис. 1, б.
Рис. 1, в.
Задача 2 Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На ра...
Решение. а) Рис.2 б) K1 O4 K3 K2 K2 K1 K3
Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в...
О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3) (N...
Катет О2М = ОО2 - ОМ = и катет О4М = По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2...
Задача 3. На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на д...
Решение. Рис. 3. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О...
Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (...
катет Отсюда получаем После необходимых преобразований находим искомый радиус
Задачи для самостоятельного решения
Рис. 4. Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри к...
Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины пр...
Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных стор...
Задача 4. Две окружности радиусов a и b (a < b) имеют внутреннее касание. Вну...
Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на д...
1.Задачи для самостоятельного решения также можно взять из диагностической ра...
27 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Планиметрические задачи на ЕГЭ (С 4) РЕСПУБЛИКА БАШКОРТОСТАН г. УФА Халиуллин
Описание слайда:

Планиметрические задачи на ЕГЭ (С 4) РЕСПУБЛИКА БАШКОРТОСТАН г. УФА Халиуллин Асхат Адельзянович, , преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа.

№ слайда 2 Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимн
Описание слайда:

Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.

№ слайда 3 Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры
Описание слайда:

Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой P O O1 O1 O P a) б)

№ слайда 4 Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме рад
Описание слайда:

Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей O O1 P d = R+r a) б) d = R-r

№ слайда 5 Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности ил
Описание слайда:

Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания R O A a a ┴ OA

№ слайда 6 Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра
Описание слайда:

Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

№ слайда 7 Решение I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD
Описание слайда:

Решение I. Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х. Рассмотрим три случая: Рис. 1, а. а) Соединим центр окружности О с центром полуокружности О1 и с центром дуги А. D В С А O K1 O1 б) Опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники АМО и ОО1N.

№ слайда 8 Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен ,
Описание слайда:

Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен , то есть АМ= или АМ= . Теперь рассмотрим треугольник ОО1N, в котором гипотенуза OO1 = OK1+ K1O1 = ,катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DN –D О1, где DN= АМ= и D О1 = поэтому О1N = . По теореме Пифагора находим OO1 2 = ОN 2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1 , ОN и О1N в выше написанное уравнение имеем откуда получаем искомый радиус х = OK =

№ слайда 9 Рис. 1, б.
Описание слайда:

Рис. 1, б.

№ слайда 10 Рис. 1, в.
Описание слайда:

Рис. 1, в.

№ слайда 11 Задача 2 Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На ра
Описание слайда:

Задача 2 Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

№ слайда 12 Решение. а) Рис.2 б) K1 O4 K3 K2 K2 K1 K3
Описание слайда:

Решение. а) Рис.2 б) K1 O4 K3 K2 K2 K1 K3

№ слайда 13 Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в
Описание слайда:

Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2 радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2 , из которого найдем О1О22 =О1О2 + О2О2 или, так как О1О2= О2К+ О1К = О1В, О1О = ОВ - О1В = R - О1В и О2О = отсюда получаем Далее центры полуокружностей О1 ,О2 и О3 соединим с центром окружности О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство

№ слайда 14 О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3) (N
Описание слайда:

О1О42 - О3О42 = NО12 – NО32 , или (О1О4 - О3О4) (О1О4 +О3О4) = (NО1 – NО3) (NО1 + NО3) . Подставив сюда значения: Следовательно, высота Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 =

№ слайда 15 Катет О2М = ОО2 - ОМ = и катет О4М = По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2
Описание слайда:

Катет О2М = ОО2 - ОМ = и катет О4М = По теореме Пифагора имеем О2О4 2 = О2М 2 + МО4 2 , или откуда

№ слайда 16 Задача 3. На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на д
Описание слайда:

Задача 3. На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.

№ слайда 17 Решение. Рис. 3. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О
Описание слайда:

Решение. Рис. 3. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2 Q (Рис.3), получаем (ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 = R - О2 К2 , F Q K2 K K1 K3 K4 P M

№ слайда 18 Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (
Описание слайда:

Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ - О1М), где АО = АК – ОК = R – ОК, Поэтому oткуда и высота Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение ОО2 2 = О2P 2 + PO 2 . Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где

№ слайда 19 катет Отсюда получаем После необходимых преобразований находим искомый радиус
Описание слайда:

катет Отсюда получаем После необходимых преобразований находим искомый радиус

№ слайда 20 Задачи для самостоятельного решения
Описание слайда:

Задачи для самостоятельного решения

№ слайда 21 Рис. 4. Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри к
Описание слайда:

Рис. 4. Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а. Ответ: Надо рассмотреть отдельно три случая:

№ слайда 22 Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины пр
Описание слайда:

Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги. Ответ: Два случая: Рис. 5.

№ слайда 23 Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных стор
Описание слайда:

Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности. Ответ: Четыре случая: Рис. 6.

№ слайда 24 Задача 4. Две окружности радиусов a и b (a &lt; b) имеют внутреннее касание. Вну
Описание слайда:

Задача 4. Две окружности радиусов a и b (a < b) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S1, касающейся двух данных окружностей и проведенной касательной, к радиусу окружности S2, касающейся большей окружности, проведенной касательной и общего диаметра двух данных окружностей, равно Рис. 7.

№ слайда 25 Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на д
Описание слайда:

Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей и одной из сторон данного квадрата. Рис. 8.

№ слайда 26 1.Задачи для самостоятельного решения также можно взять из диагностической ра
Описание слайда:

1.Задачи для самостоятельного решения также можно взять из диагностической работы в форме ЕГЭ для учащихся 11 класса Скачать задания можно по ссылке: http://www.alexlarin.narod.ru/ege/mioo2010/ege091208blog.pdf Литература: 2.Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru 3.Использован шаблон для слайдов презентации из работы «Геометрические задачи типа С4 » Чудаевой Елены Владимировны. http://it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=140066

№ слайда 27
Описание слайда:


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Планиметрические задачи, составленные по принципу ЕГЭ: первые 3 задачи с подробными решениями, а остальные 5 подобных задач для самостоятельного решения.

Отрабатывается применение: теоремы о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и дуг окружностей.

Учащиеся учатся анализировать задачи, самостоятельно мыслить, развивать вычислительные навыки.

Самостоятельные работы носят развивающий, обучающий характер, вызывают положительные эмоции школьников при повторении данного материала.

Автор
Дата добавления 30.01.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров975
Номер материала 28309013007
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх