Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»

Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

1.Введение

Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать


Галилео Галилей


Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками cложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.


На создание работы натолкнула старинная задача:

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице?

hello_html_m50773a1.jpg


Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием равностороннего треугольника ,знаем его определение ,основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки. Родилась идея собрать и доказать неизвестные в школьном курсе теоремы ,найти интересные задачи, связанные с равносторонним треугольником.

Объект исследования- изучение различных свойств равностороннего треугольника и задач, связанных с ним.

Предмет исследования –подбор задач и теорем.

Цели исследования- расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формирование определенной культуры работы над задачами.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) самостоятельно исследовать известные свойства равностороннего треугольника;

2) изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими интересными свойствами;

3) объединить и обобщить свойства и теоремы из различных источников;

4) провести анализ различных способов решения и доказательства;

5) исследовать значимость данных задач в школьном курсе математии и для подготовки при поступлении в вузы;

6) пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

Гипотеза: сколько существует свойств равностороннего треугольника?

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

Ход исследования:

1.Анализ литературы и источников Интернет по заявленной теме.

2.Реферирование литературы.

3.Создание презентации исследования.

4.Представление результатов на НПК.

5.Обсуждение вопросов исследования на конференции.

Актуальность и практическая значимость:

- исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-её могут использовать школьники и взрослые при решении определенных задач;

-учителя при проведении уроков математики и факультативных занятий;

-данное исследование будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам;

-полезно ученикам, для которых математика не просто школьный предмет.

С надеждой отмечаю, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержания известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, являются вполне достаточным условием для решения задач по планиметрии.






2.Основная часть

2.1 Основные свойства и теоремы


hello_html_m54ddc58f.pngОпределение 1. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.


Свойство 1. Высота равностороннего треугольника, опущенная на строну, одновременно является биссектрисой угла между сторонами, медианой и осью симметрии стороны.
Свойство 2. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).

Свойство 3. Из всех треугольников с заданным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.

Свойство 4. Из всех треугольников с заданной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр


Таблица зависимости между элементами равностороннего треугольника



a

r

R

h

S

a


hello_html_m5b76d4c5.gif

hello_html_7c471f00.gif

hello_html_3768095.gif

hello_html_5067d083.gif

r

hello_html_m61dde935.gifhello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_7d90c976.gif

hello_html_1300094a.gif

hello_html_m137d70d0.gif

R

hello_html_432dec0a.gif

hello_html_m3baeb30.gif


hello_html_5bc4c9ce.gif

hello_html_m48765252.gif

h

hello_html_m64a2fd41.gif

hello_html_m627d530a.gif

hello_html_m4476ee8a.gif


hello_html_m4b7e04aa.gif

S

hello_html_12bb2601.gif

hello_html_6ba3ab01.gif

hello_html_m3727272c.gif

hello_html_1e57ee8b.gif










2.2 Произвольная точка внутри треугольника

hello_html_m4b90a414.png

1. Сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Действительно, соединяем точку P с вершинами ∆ABC SABP=hello_html_m5137ba6d.gifAB•PK

SCPB=hello_html_m5137ba6d.gif•PL•BC

SAPC=hello_html_m5137ba6d.gif•AC•PM

SABC=hello_html_m5137ba6d.gif•AC•h

SABC=SCPB+SAPC+SAPB

hello_html_m5137ba6d.gifa•h=hello_html_m5137ba6d.gifa•PM+hello_html_m5137ba6d.gifa•PL+hello_html_m5137ba6d.gifa•PM

преобразуем:

h=PK+PL+PM.

hello_html_m2981e2c4.png



2. Из некоторой точки М внутри правильного ∆АВС опущены перпендикуляры МН, МК и МР на стороны АВ, ВС и СА соответственно. Справедливы следующие соотношения:

а) hello_html_1b855893.gif


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Соединим точку М с вершинами ∆АВС

2) Рассмотрим ∆АМН

hello_html_m16e41c7a.gif

3) Рассмотрим ∆MBK

hello_html_m2425c12e.gif

4) Рассмотрим ∆PMC

hello_html_m4be8b851.gif

hello_html_m6f17a3d.gif

5) Аналогично для ∆HMB, ∆MKC, ∆APM

HB2 + KC2 + PA2 = BM2 - MN2 + CM2MK2 +AM2PM2

6)вычтя первое равенство из второго, получим

HB2 + KC2 + PA2 = CP2 +BK2 + AH2


бhello_html_m73c065f6.png) AH + BK + CP = HB + KC + PA.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Проведём через M прямые, параллельные сторонам ∆ABC

2) NB=RC, т.к. RN//BC

3) AF=EC, т.к. FE//AC

4) AQ=BL, т.к. QL//AB

5) ∆QMR, ∆FMN, ∆LME – равносторонние

6) MP, MH, MK – высоты, медианы, биссектриса hello_html_1b730b13.gif

QP=PR

FH=HN

LK=KE

AK+BK+CP=HB+KC+PA hello_html_1b730b13.gif AF+FH+BL+LK+CR+RP=HN+NB+KE+EC+PQ+RA hello_html_1b730b13.gif

AH + BK + CP = HB + KC + PA


hello_html_m4f1dc1c0.png

3.Если из любой точки внутри равностороннего треугольника, опустить перпендикуляры на стороны и соединить с вершинами, то сумма площадей трех из шести треугольников через одного равна сумме оставшихся.


Доказательство:

Проведем через эту точку прямые параллельные сторонам. Заметим, что теперь получились 12 треугольников, которые попарно равныhello_html_300113d7.gifплощади их тоже равныhello_html_300113d7.gifтакже каждый из двух равных треугольников не входит в одинаковую тройкуhello_html_300113d7.gifплощадь каждой тройки состоит из 6 разных маленьких площадейhello_html_300113d7.gifплощадь троек равна










hello_html_m227803bf.png4. Через точку О внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось 6 треугольников, 3 из которых через один заштриховали. Д-ть, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка О лежит на одной из медиан этого треугольника.


Доказательство:

Примем сторону равностороннего треугольника равной 2 и обозначим длины отрезков АС1, ВА1 и СВ1 через 1+а, 1+b и 1+с соответственно. Тогда длины отрезков С1В, А1С и В1А соответственно равны 1-а, 1-b и 1-с. Заметим, что сумма площадей треугольников АВВ1, ВСС1 и САА1 равна полутора площадям треугольника АВС. Если обозначить высоту треугольника АВС через h, то это равенство можно записать:

hello_html_7d212024.gif,

hello_html_m11098c20.gif=0

С другой стороны, отношение площадей треугольников АОС и ВОС равно

hello_html_481f1ab5.gif, т.к. у них общее основание ОС, а высоты относятся, как hello_html_481f1ab5.gif. Аналогично отношение площадей треугольников ВОА и АОС, ВОС и АОВ равноhello_html_2df7f948.gif и hello_html_3372e083.gif соответственно. Перемножим эти отношения и заметим, что площадь каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС по одному разу встречается в числителе и знаменателе, т.е. это произведение равно 1.Отсюда:

hello_html_293b853e.gif.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

hello_html_mf86562d.gif

Но hello_html_m11098c20.gif=0, hello_html_300113d7.gifhello_html_m60838cc6.gif. Это означает, что хотя бы одно из чисел a,b,c равно 0, т.е. точка О лежит на одной из медиан.











2.3 Правильный треугольник и описанная окружность


hello_html_m2b41ecfd.png

1. Если вокруг правильного ∆АВС описать окружность, и на дуге ВС взять точку М, то справедливо равенство

AM = BM + CM


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

По теореме Птолемея для четырехугольника ABMC:

AM•BC=BM•AC+AB•MC

Т.к AB=BC=AC=a, то

а•|AM| = а•|BM| + а•|CM| hello_html_1b730b13.gif

|AM| = |BM| + |CM|



hello_html_7ddd8d37.png

2. Теорема Помпея.


Пусть ∆АВС – правильный и М – произвольная точка плоскости, не лежащая на описанной окружности. Докажем, что существует треугольник со сторонами AM, BM и CM|


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Отметим точки пересечения хорды А1С1 с ∆АВС – E и F.

hello_html_m4a838c1.gif, т.к. hello_html_mbf6268b.gif равен hello_html_9f359f2.gif,аналогично hello_html_m26dc9769.gif

BFA1 – равнобедренный hello_html_1b730b13.gifBF=FA1,но тогда BF=FA1=EF=BE, т.е .∆EBF – равносторонний

BF=EF hello_html_1b730b13.gifFA1=EF. Аналогично получаем, что C1E=EF.

Следовательно, С1Е=EF=FA1





hello_html_51ffb60b.png3 . Если на стороне ВС правильного ∆АВС, как на диаметре вовне построить полуокружность, на которой взять точки К и L, делящих ее на равные части, то прямые АК и АL делят сторону ВС также на равные части.

Доказательство:

1)Отметим точку О так, что BO=OC. Проводим OK и OL. OK=OL=BO=OC=R hello_html_1b730b13.gif ∆BOK и ∆OLC равнобедренные. Но hello_html_7707454f.gifBOK равен дуге BK, а hello_html_7707454f.gifOBK равен полудуге и hello_html_7707454f.gifKLC и равен дуге BK (аналогично для ∆OLC) hello_html_1b730b13.gif ∆OBK равен ∆OCL – они оба равносторонние.

2) ∆ALC равен ∆ABK (hello_html_7707454f.gifABK = hello_html_7707454f.gifALC

AB=AC и BK=LC)

PKO=∆OLQ (hello_html_7707454f.gifKOB=hello_html_7707454f.gifLOC и hello_html_7707454f.gifQAC=hello_html_7707454f.gifPAB, OK=OL) hello_html_1b730b13.gif

OP=OQ и BO – OP=OC-OQhello_html_1b730b13.gif

BP=CQ

3) OL||AC, т.к, hello_html_7707454f.gifLOC=hello_html_7707454f.gifACOhello_html_1b730b13.gif

hello_html_7707454f.gifAQC=hello_html_7707454f.gifALOhello_html_1b730b13.gif

AQC подобен ∆OAL

OL=1/2•AChello_html_1b730b13.gifOQ=1/2•QChello_html_1b730b13.gif

2OQ=OC=PQhello_html_1b730b13.gif

PQ=QC=BP





2.4 Правильный треугольник и произвольная окружность


hello_html_m628364ed.png

1 Если окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части (A A2=C1 A2=C C1 ; A1B2=B2B= AA1; ВВ11С22С), то треугольник – правильный.


Доказательство:

Обозначим AА2 = a, В2В = b, В2В = c.

По свойству двух секущих к окружности:

a (a+a)=b(b+b) hello_html_1b730b13.gif

a2=b2 hello_html_1b730b13.gif

a=b

Аналогично b=c=ahello_html_1b730b13.gif

AB=BC=AC



hello_html_m54e676f4.png

2. Внутри окружности построен правильный ∆ABC, его стороны продлены до пересечения с окружностью в A1, A2, B1, B2, C1 и C2. Тогда AA1+BB1+CC1= AA2+BB2+CC2



Доказательство:

Пусть AB=a. По свойству двух хорд в окружности:

AA1(BB2+a)=AA2(CC1+a),

BB2 (AA1+a)=CC1(AA2+a);

AA1•BB2+a•AA1=AA2•CC1+a•AA2,

AA1•BB2+a•BB2=AA2•CC1+a•CC1;

AA1 - BB2 = AA2 - CC1.

Аналогично

BB1- CC2= BB2 - AA1, и

CC1- AA2= CC2 - BB1.

Из этих трех равенств получаем:

AA1+BB1+CC1= AA2+BB2+CC2.




hello_html_761aba07.png


3. Окружность высекает на сторонах правильного ∆ABC равные отрезки Тогда

AA1+BB1+CC1= AA2+BB2+CC2




Доказательство:

Обозначим A1B2 за а.

По свойству двух секущих к окружности:

АА12+а•АА1=АА22+а•АА2

(АА2-АА1)(АА2+АА1)=а•(АА1-АА2),

Что возможно только при АА1=АА2.

Аналогично

ВВ1=ВВ2,

СС1=СС2;

т.е. AA1+BB1+CC1= AA2+BB2+CC2

Заметим, что данное равенство свойственно любому произвольному треугольнику.











2.5 Высоты в треугольнике



1hello_html_m317e4ec9.png. Если ортоцентр остроугольного треугольника делит его высоты в одном и том же отношении, то треугольник – правильный.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1.Рассмотрим ∆AKL и ∆BKN .

hello_html_7707454f.gifAKL= hello_html_7707454f.gifBKN ,т.к. они вертикальные ;

hello_html_7707454f.gifKLA = hello_html_7707454f.gifBNК =90°

hello_html_1b730b13.gifAKL и ∆BKN подобны.

по условию- hello_html_m5030a613.gif;

Из п.1 hello_html_1b730b13.gif;

hello_html_546a834a.gif, по условию AK=z•KN,

BK=z•KL;

z•KN2=z•KL2

hello_html_1b730b13.gifAK=KB;

hello_html_1b730b13.gifKL= NK

hello_html_1b730b13.gifBL= AN , также для ∆LKC и ∆PKB.



hello_html_20db4c20.png

2.Если в остроугольном треугольнике АВС угол В=600, АМ и СN – его высоты, а Q – середина стороны АС, то треугольник MNQ – равносторонний.



Доказательство:

Т.к. АМ и СN – высоты, то точки N и M, лежат на полуокружности с диаметром АС и центром в точке Q. hello_html_300113d7.gif

QM=QN=RANMC

hello_html_61f3f5f3.gif=300

hello_html_m28edd58b.gif, т.к. опираются на одну дугу NM, hello_html_5de06307.gif- центр. hello_html_300113d7.gif

QM=QN=NMhello_html_300113d7.gif

hello_html_m488873e5.gif- равносторонний




hello_html_m6fdd0d60.png

3. Медианы разбивают треугольник АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что треугольник правильный.



Доказательство:


Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.

В силу этого равенства радиусов вписанных окружностей и формулы S=pr следует равенство периметров четырех из таких треугольников.

Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к АВ, то АМ=МВ, поэтому МК – медиана и высота hello_html_24d7dc37.pngАМВ и АС=ВС.

Если равны радиусы окружностей, вписанных в hello_html_24d7dc37.pngALM и AKM, то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, периметрами и основаниями), причем AL=AK, т.е. АС=АВ и hello_html_24d7dc37.pngАВС правильный.

Если равны периметры hello_html_24d7dc37.pngCLM и КМВ, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: CL+LM+CM=2.CL+2x=2.ВК+2х (х – расстояние от точки М до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что АС=АВ.




2.6 Интересные задачи


hello_html_m58087c15.png

1.Возьмем внутри квадрата ABCD такую точку N, что hello_html_7707454f.gifNDC=hello_html_7707454f.gifNCD=15°. Тогда ∆ANB – правильный.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

hello_html_7707454f.gifNDC = hello_html_7707454f.gifNCD=hello_html_47f37ddf.gif. Решим обратную задачу.

Построим на стороне AB квадрата равносторонний ∆ABN, чтобы вершина N лежала внутри квадрата. Тогда ∆CNB равнобедренный. Его угол при вершине равен hello_html_m21abb701.gif, следовательно, угол при основании равенhello_html_5f3e4553.gif. Отсюда hello_html_7707454f.gifDCN=hello_html_3607658c.gif=hello_html_47f37ddf.gif . Аналогично получаемhello_html_7707454f.gifCND =hello_html_47f37ddf.gif.По условию hello_html_7707454f.gifDCM= hello_html_7707454f.gifCDM= hello_html_47f37ddf.gif. Значит, точка N лежит на луче СМ и на луче DM, следовательно, совпадает с М.




hello_html_m1d747ba9.png

3.Если равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина R – на стороне АВ, то четырехугольник ABPQ – трапеция.


Доказательство:

hello_html_76c54395.gifhello_html_300113d7.gifоколо четырехугольника ARCQ можно описать окружность. hello_html_300113d7.gif

hello_html_m16eb3f74.gif

hello_html_7d485445.gifhello_html_300113d7.gifоколо четырехугольника BRCP можно описать окружность. hello_html_300113d7.gif

hello_html_m2af044d1.gifhello_html_300113d7.gif

hello_html_m462819c7.gifhello_html_300113d7.gif

hello_html_m69704654.gif, и поэтому hello_html_58590fd6.gif


hello_html_m342e0f8d.png4.Чему будет равняться угол между двумя лучами, выпущенными из вершин при основании равностороннего треугольника, если площадь треугольника APC равна площади четырехугольника BMPN?


Решение:

hello_html_4eedf42.gifhello_html_300113d7.gif

hello_html_78ab4f9e.gif, т.к. hello_html_409b595a.gif- общая площадь

AC=BC, hello_html_7f35dc82.gifhello_html_300113d7.gif

hello_html_3bb3c7a9.gif, hello_html_m628f37f5.gifобразован поворотом hello_html_m42f2efeb.gifвокруг т.А и сдвигом на hello_html_m24edd2ed.gif

Угол поворота равен 1200hello_html_300113d7.gif

Угол между CN и AM тоже 1200








2.7 Построения при помощи линейки и шаблона в форме равностороннего треугольника


1. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на 2 равных отрезка.

hello_html_e773cb7.png

С помощью линейки продолжим отрезок АВ за точки А и В, затем с помощью шаблона по разные стороны прямой АВ построим два равносторонних треугольника. Отрезок, соединяющих вершины этих треугольников, пересекает отрезок АВ в его середине.






2. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном, имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на три равных отрезка.



hello_html_787855ac.png












Выполнив построения показанные на рисунке получим точки C и D, делящие отрезок АВ на три равные части.




2.8 Исторические задачи


  1. Тhello_html_m2fb9c53b.pngеоремы Наполеона

Пусть ∆ABC - произвольный треугольник, и пусть на его сторонах построены равносторонние ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ (точки X, Y и Z лежат вне треугольника ABC). Тогда центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ являются вершинами равностороннего треугольника


Часто для доказательства теоремы Наполеона использует комплексные числа, мы же нашли красивое геометрическое доказательство.

Лемма. Окружности, описанные около ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ, пересекаются в одной точке.

Доказательство леммы

.Пусть P - точка пересечения окружностей, описанных около ∆BCY и ∆CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри ∆ABC (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120°. Следовательно, hello_html_7707454f.gifAPB также равен 120° и точка P лежит также на окружности описанной около ∆ABX.

Доказательство теоремы.

Обозначим через K, L и M центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что hello_html_7707454f.gifAPB, hello_html_7707454f.gifBPC и hello_html_7707454f.gifCPA равны 120° (в случае, если точка P лежит внутри ∆ABC). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что hello_html_7707454f.gifKLM, hello_html_7707454f.gifLMK и hello_html_7707454f.gifMKL равны 60°, что и требовалось доказать.


2.Задача Тарталя hello_html_m4d24584a.png

На данном отрезке АВ при помощи данного раствора циркуля (не равного АВ) и линейки построить равносторонний треугольник.





Решение:

Из т. А данным радиусом на прямой АВ делаем засечку D . Далее, из т. В тем же радиусом, на той же прямой АВ делаем другую засечку С. Затем на отрезке СВ строим равносторонний треугольник СКВ а на отрезке АD – равносторонний треугольник АDН. Точка пересечения сторон ВК и АН – точка М – даёт третью вершину искомого треугольника АМВ.



hello_html_m5af24fe6.png


3.Задача Евклида

На данной конечной прямой АВ построить равносторонний треугольник.




Решение

Приняв A за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр опишем другую окружность с тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружности через С и соединив ее прямыми с А и В, получим треугольник АВС, Который, как легко проверить, есть искомый.

























3.Заключение


В результате выполнения работы у меня расширились знания по математике.

Кроме известных свойств равностороннего треугольника ,узнал много интересных и полезных свойств, познакомился с историческими задачами, которые решали известные люди.

Считаю, что применение изложенного выше материала можно применять как в своей учебной деятельности ,так и в реальных ситуациях на экзаменах.

Применение новых свойств ускоряет решение некоторых задач в планиметрии.

Предложенный материал можно использовать на уроках математики, на факультативных занятиях с учащимися 7-11 классов.

Учителям – с целью подготовки к олимпиадам ,турнирам , различным интеллектуальным конкурсам.

Работа изложена доступным языком ,чтобы каждый любознательный ученик и продвинутый учитель ,которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по изумительным свойствам привычных нам фигур.





























4.Список литературы:


1.А. А. Фомин, Г. М. Кузнецова (сост.). Международные математические олимпиады- Дрофа, 1998.

2.Агаханов Н. X. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский; [под общ. ред. С. И. Демидовой, И. И. Колисниченко]. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с.

3.Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

3-е изд. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 364с.

4.Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика. - М.: Бюро Квантум, 2007. — 160 с.

5.Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1 / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. — М. : Просвещение, 2008. — 192 с. ил.

6.http://math.ru/lib/92

7.http://mirknig.com/knigi/nauka_ucheba

8. http://hijos.ru/2012/10/24/teorema-napoleona/


17


Краткое описание документа:

"Описание материала:

Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием "равностороннего треугольника, знаем его определение, основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки.

Родилась идея собрать и доказать неизвестные в школьном курсе теоремы ,найти интересные задачи, связанные с равносторонним треугольником.

Материал можно применять как в своей учебной деятельности ,так и в реальных ситуациях на экзаменах.
Применение новых свойств ускоряет решение некоторых задач в планиметрии.
Предложенный материал можно использовать на уроках математики, на факультативных занятиях с учащимися 7-11 классов.
Учителям – с целью подготовки к олимпиадам ,турнирам , различным интеллектуальным конкурсам.
Работа изложена доступным языком ,чтобы каждый любознательный ученик и продвинутый учитель ,которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по изумительным свойствам привычных нам фигур.

Общая информация

Номер материала: 29800020820

Похожие материалы