Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»

1.Введение

                                                                      

                                        Геометрия является самым могущественным

                                         средством для изощрения наших умственных

                             способностей и дает нам возможность

                     правильно мыслить и рассуждать

 

                                                                                               Галилео Галилей

 

Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками cложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.

 

На создание работы натолкнула старинная задача:

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице?

 

                

 

Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием равностороннего треугольника ,знаем его определение ,основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки. Родилась идея собрать и доказать неизвестные в школьном курсе теоремы ,найти интересные задачи, связанные с равносторонним  треугольником.  

         Объект исследования- изучение различных свойств равностороннего треугольника и задач, связанных с ним.

          Предмет исследования –подбор задач и теорем.

          Цели исследования- расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формирование определенной культуры работы над задачами.

          Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) самостоятельно исследовать известные свойства равностороннего треугольника;

2) изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими интересными свойствами;

3) объединить и обобщить свойства и теоремы из различных источников;

4) провести анализ различных способов решения и доказательства;

5) исследовать значимость данных задач в школьном курсе математии и для подготовки при поступлении в вузы;

6) пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

Гипотеза: сколько существует свойств равностороннего треугольника?

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

Ход исследования:

1.Анализ литературы и источников Интернет по заявленной теме.

2.Реферирование литературы.

3.Создание презентации исследования.

4.Представление результатов на НПК.

5.Обсуждение вопросов исследования на конференции.

Актуальность и практическая значимость:

- исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-её могут использовать школьники и взрослые при решении определенных задач;

-учителя при проведении уроков математики и факультативных занятий;

-данное исследование будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам;

-полезно ученикам, для которых математика не просто школьный предмет.

С надеждой отмечаю, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержания известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, являются вполне достаточным условием для решения задач по планиметрии.

 

 

 

 

 

2.Основная часть

2.1 Основные свойства и теоремы

 

          Определение 1. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
  Он является частным видом равнобедренного треугольника.

          Свойство 1. Высота равностороннего треугольника, опущенная на строну, одновременно является биссектрисой угла между сторонами, медианой и осью симметрии стороны.
          Свойство 2. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).

         Свойство 3. Из всех треугольников с заданным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.

         Свойство 4. Из всех треугольников с заданной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр

 

Таблица зависимости между элементами равностороннего треугольника

 

	a	r	R	h	S
a
r
R
h
S

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Произвольная точка внутри треугольника

1. Сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Действительно, соединяем точку P с вершинами  ∆ABC S_ABP=AB•PK

S_CPB=•PL•BC

S_APC=•AC•PM

S_ABC=•AC•h

S_ABC=S_CPB+S_APC+S_APB

a•h=a•PM+a•PL+a•PM

преобразуем:

h=PK+PL+PM.

                  

 

 

2. Из некоторой точки М внутри правильного ∆АВС опущены перпендикуляры МН, МК и МР на стороны АВ, ВС и СА соответственно. Справедливы следующие соотношения:

а)  

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Соединим точку М с вершинами ∆АВС

2) Рассмотрим  ∆АМН

3) Рассмотрим ∆MBK

4) Рассмотрим ∆PMC

5) Аналогично для ∆HMB, ∆MKC, ∆APM

HB²  + KC²  + PA²  = BM² - MN² + CM² –MK² +AM² – PM²

6)вычтя первое равенство из второго, получим

HB²  + KC²  + PA²  = CP² +BK² + AH²

 

 

      

б) AH + BK + CP = HB + KC + PA.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Проведём через M прямые, параллельные сторонам ∆ABC

2) NB=RC, т.к. RN//BC

3) AF=EC, т.к. FE//AC

4) AQ=BL, т.к. QL//AB

           5) ∆QMR, ∆FMN, ∆LME – равносторонние

          6) MP, MH, MK – высоты, медианы, биссектриса

          QP=PR

          FH=HN

          LK=KE

          AK+BK+CP=HB+KC+PA                AF+FH+BL+LK+CR+RP=HN+NB+KE+EC+PQ+RA

AH + BK + CP = HB + KC + PA

 

3.Если из любой точки внутри равностороннего треугольника, опустить перпендикуляры на стороны и соединить с вершинами, то сумма площадей трех из шести треугольников через одного равна сумме оставшихся.

 

Доказательство:

         Проведем через эту точку прямые параллельные сторонам. Заметим, что теперь получились 12 треугольников, которые попарно равныплощади их тоже равнытакже каждый из двух равных треугольников не входит в одинаковую тройкуплощадь каждой тройки состоит из 6 разных маленьких площадейплощадь троек равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    4. Через точку О внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось 6 треугольников, 3 из которых через один заштриховали. Д-ть, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка О лежит на одной из медиан этого треугольника.

 

Доказательство:

         Примем сторону равностороннего треугольника равной 2 и обозначим длины отрезков АС₁, ВА₁ и СВ₁ через 1+а, 1+b и 1+с соответственно. Тогда длины отрезков С₁В, А₁С и В₁А соответственно равны 1-а, 1-b и 1-с. Заметим, что сумма площадей треугольников АВВ₁, ВСС₁ и САА₁ равна полутора площадям  треугольника АВС. Если обозначить высоту треугольника АВС через h, то это равенство можно записать:

,

=0

С другой стороны, отношение площадей треугольников АОС и ВОС равно

, т.к. у них общее основание ОС, а высоты относятся, как . Аналогично отношение площадей треугольников ВОА и АОС, ВОС и АОВ равно и  соответственно. Перемножим эти отношения и заметим, что площадь каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС по одному разу встречается в числителе и знаменателе, т.е. это произведение равно 1.Отсюда:

         .

         Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

Но =0,  . Это означает, что хотя бы одно из чисел a,b,c равно 0, т.е. точка О лежит на одной из медиан.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Правильный треугольник и описанная окружность

 

1.  Если вокруг правильного ∆АВС описать  окружность, и на дуге ВС взять точку М, то справедливо равенство

 AM = BM + CM

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

По теореме Птолемея для четырехугольника ABMC:

AM•BC=BM•AC+AB•MC

Т.к AB=BC=AC=a, то

а•|AM| = а•|BM| + а•|CM| 

|AM| = |BM| + |CM|

 

 

2.  Теорема Помпея.  

 

Пусть ∆АВС – правильный и М – произвольная точка плоскости, не лежащая на описанной окружности. Докажем, что существует треугольник со сторонами AM, BM и CM|

 

                                           ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

              Отметим точки пересечения хорды А₁С₁ с ∆АВС – E  и F.

               , т.к.  равен       ,аналогично

               ∆BFA₁ – равнобедренный BF=FA₁,но тогда   BF=FA₁=EF=BE, т.е .∆EBF – равносторонний

BF=EF FA₁=EF. Аналогично получаем, что C₁E=EF.

Следовательно, С₁Е=EF=FA₁

 

 

 

 

     3 .  Если на стороне ВС правильного ∆АВС, как на диаметре вовне построить полуокружность, на которой взять точки К и L, делящих ее на равные части, то прямые АК и АL делят сторону ВС также на равные части.

Доказательство:

1)Отметим точку О так, что BO=OC. Проводим OK и OL. OK=OL=BO=OC=R  ∆BOK и ∆OLC равнобедренные. Но BOK равен дуге BK, а OBK равен полудуге  и KLC и  равен дуге BK (аналогично для ∆OLC)   ∆OBK равен ∆OCL – они оба равносторонние.

2) ∆ALC равен ∆ABK (ABK = ALC

AB=AC и BK=LC)

∆PKO=∆OLQ (KOB=LOC и QAC=PAB, OK=OL)

OP=OQ и BO – OP=OC-OQ

BP=CQ

3) OL||AC, т.к, LOC=ACO

AQC=ALO

∆AQC подобен ∆OAL

OL=1/2•ACOQ=1/2•QC

2OQ=OC=PQ

                        PQ=QC=BP

 

 

 

 

2.4 Правильный треугольник и произвольная окружность

 

1  Если окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части (A A₂=C₁ A₂=C C₁ ; A₁B₂=B₂B= AA₁; ВВ₁=В₁С₂=С₂С), то треугольник – правильный.

 

                               Доказательство:

Обозначим AА₂ = a, В₂В = b, В₂В = c.

По свойству двух секущих к окружности:

 a (a+a)=b(b+b)

a²=b²

a=b

Аналогично b=c=a

AB=BC=AC

 

 

  2. Внутри окружности построен правильный ∆ABC, его стороны продлены до пересечения с окружностью в A₁, A₂, B₁, B₂, C₁ и C₂. Тогда AA₁+BB₁+CC₁= AA₂+BB₂+CC₂

 

 

                                       Доказательство:

Пусть AB=a. По свойству двух хорд в окружности:

AA₁(BB₂+a)=AA₂(CC₁+a),

BB₂ (AA₁+a)=CC₁(AA₂+a);

AA₁•BB₂+a•AA₁=AA₂•CC₁+a•AA₂,

AA₁•BB₂+a•BB₂=AA₂•CC₁+a•CC₁;

AA₁ - BB₂ = AA₂ - CC₁.

Аналогично

BB₁- CC₂= BB₂ - AA₁, и

CC₁- AA₂= CC₂ - BB₁.

Из этих трех равенств получаем:

AA₁+BB₁+CC₁= AA₂+BB₂+CC₂.

 

 

 

 

3. Окружность высекает на сторонах правильного ∆ABC равные отрезки Тогда

AA₁+BB₁+CC₁= AA₂+BB₂+CC₂

 

 

 

Доказательство:

Обозначим A₁B₂ за а.

По свойству двух секущих к окружности:

АА₁²+а•АА₁=АА₂²+а•АА₂

(АА₂-АА₁)(АА₂+АА₁)=а•(АА₁-АА₂),

Что возможно только при АА₁=АА₂.

Аналогично

ВВ₁=ВВ₂,

СС₁=СС₂;

т.е. AA₁+BB₁+CC₁= AA₂+BB₂+CC₂

Заметим, что данное равенство свойственно любому произвольному треугольнику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Высоты в треугольнике

 

 

1. Если ортоцентр остроугольного треугольника делит его высоты в одном и том же отношении, то треугольник – правильный.

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1.Рассмотрим ∆AKL  и  ∆BKN .

AKL= BKN ,т.к. они вертикальные ;

KLA = BNК =90°

 ∆AKL  и  ∆BKN подобны.

по условию- ;

 Из п.1 ;

, по условию AK=z•KN,

 BK=z•KL;

z•KN²=z•KL²

 AK=KB;

 KL= NK

 BL= AN , также для ∆LKC и ∆PKB.

 

 

2.Если в остроугольном треугольнике АВС угол В=60⁰, АМ и СN – его высоты, а Q – середина стороны АС, то треугольник MNQ – равносторонний.

 

 

Доказательство:

Т.к. АМ и СN – высоты, то точки N и M, лежат на полуокружности с диаметром АС и центром в точке Q.  

         QM=QN=R_ANMC

         =30⁰

, т.к. опираются на одну дугу NM, - центр.

QM=QN=NM

- равносторонний

 

 

 

3. Медианы разбивают треугольник АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что треугольник правильный.

 

 

                Доказательство:

 

Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.

В силу этого равенства радиусов вписанных окружностей и формулы S=pr следует равенство периметров четырех из таких треугольников.

Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к АВ, то АМ=МВ, поэтому МК – медиана и высота АМВ и АС=ВС.

Если равны радиусы окружностей, вписанных в ALM и AKM, то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, периметрами и основаниями), причем AL=AK, т.е. АС=АВ и АВС правильный.

Если равны периметры CLM и КМВ, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: CL+LM+CM=2.CL+2x=2.ВК+2х (х – расстояние от точки М до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что АС=АВ.

 

 

 

2.6 Интересные задачи

 

1.Возьмем внутри квадрата ABCD такую точку N, что NDC=NCD=15°. Тогда ∆ANB – правильный.

 

 

                                  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

 NDC = NCD=. Решим обратную задачу.

 Построим на стороне AB квадрата равносторонний ∆ABN, чтобы вершина N лежала внутри квадрата. Тогда ∆CNB  равнобедренный. Его угол при вершине равен , следовательно, угол при основании равен. Отсюда DCN== . Аналогично получаемCND =.По условию DCM= CDM= . Значит, точка N лежит на луче СМ и на луче DM, следовательно, совпадает с М.

 

 

 

3.Если равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина R – на стороне АВ, то четырехугольник ABPQ – трапеция.

 

Доказательство:

  около четырехугольника ARCQ можно описать окружность.

  около четырехугольника BRCP можно описать окружность.

, и поэтому

 

   4.Чему будет равняться угол между двумя лучами, выпущенными из вершин при основании равностороннего треугольника, если площадь треугольника APC равна площади четырехугольника BMPN?

 

Решение:

, т.к. - общая площадь

AC=BC,

 , образован поворотом вокруг т.А и сдвигом на

Угол поворота равен 120⁰

Угол между CN и AM тоже 120⁰

 

 

 

 

 

 

 

2.7 Построения при помощи линейки и шаблона в форме равностороннего треугольника

 

1. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на 2 равных отрезка.

 

С помощью линейки продолжим отрезок АВ за точки А и В, затем с помощью шаблона по разные стороны прямой АВ построим два равносторонних треугольника. Отрезок, соединяющих вершины этих треугольников, пересекает отрезок АВ в его середине.

 

 

 

 

 

2. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном, имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на три равных отрезка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнив построения показанные на рисунке получим точки C и D, делящие отрезок АВ на три равные части.

 

 

 

2.8 Исторические задачи

                                                           

 

1.     Теоремы Наполеона

Пусть ∆ABC - произвольный треугольник, и пусть на его сторонах построены равносторонние ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ (точки X, Y и Z лежат вне треугольника ABC). Тогда центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ являются вершинами равностороннего треугольника

 

           Часто для доказательства теоремы Наполеона использует комплексные числа, мы же нашли красивое геометрическое доказательство.

Лемма. Окружности, описанные около ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ, пересекаются в одной точке.

Доказательство леммы

.Пусть P - точка пересечения окружностей, описанных около ∆BCY и ∆CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри ∆ABC (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120°. Следовательно, APB также равен 120° и точка P лежит также на окружности описанной около ∆ABX.

Доказательство теоремы.

Обозначим через K, L и M центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что APB, BPC и CPA равны 120° (в случае, если точка P лежит внутри ∆ABC). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что KLM, LMK и MKL равны 60°, что и требовалось доказать.

                  

 

2.Задача Тарталя             

На данном отрезке АВ при помощи данного раствора циркуля (не равного АВ) и линейки построить равносторонний треугольник.

 

 

 

 

Решение:

Из т. А данным радиусом на прямой АВ делаем засечку D . Далее, из т. В тем же радиусом, на той же прямой АВ делаем другую засечку С.  Затем на отрезке СВ строим равносторонний треугольник СКВ а на отрезке АD – равносторонний треугольник АDН. Точка пересечения сторон ВК и АН – точка М – даёт третью вершину искомого треугольника АМВ.

 

 

 

3.Задача Евклида

На данной конечной прямой АВ построить равносторонний треугольник.

 

 

 

Решение

Приняв A за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр опишем другую окружность с тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружности через С  и соединив ее прямыми с А и В, получим треугольник АВС, Который, как легко проверить, есть искомый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Заключение

 

В результате выполнения работы у меня расширились знания по математике.

Кроме известных свойств равностороннего треугольника ,узнал много интересных и полезных свойств, познакомился с историческими задачами, которые решали известные люди.

Считаю, что применение изложенного выше материала можно применять как в своей учебной деятельности ,так и в реальных ситуациях на экзаменах.

Применение новых свойств ускоряет решение некоторых задач в планиметрии.

Предложенный материал можно использовать на уроках математики, на факультативных занятиях с учащимися 7-11 классов.

Учителям – с целью подготовки к олимпиадам ,турнирам , различным интеллектуальным конкурсам.

Работа изложена доступным языком ,чтобы каждый любознательный ученик и продвинутый учитель ,которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по изумительным свойствам привычных нам фигур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Список литературы:

 

1.А. А. Фомин, Г. М. Кузнецова (сост.). Международные математические олимпиады- Дрофа, 1998.

2.Агаханов Н. X. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский; [под общ. ред. С. И. Демидовой, И. И. Колисниченко]. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с.

3.Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

3-е изд. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 364с.

4.Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика. - М.: Бюро Квантум, 2007. — 160 с.

5.Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1 / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. — М. : Просвещение, 2008. — 192 с. ил.

6.http://math.ru/lib/92

7.http://mirknig.com/knigi/nauka_ucheba

8. http://hijos.ru/2012/10/24/teorema-napoleona/