Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Квадрат теңдеулерге есептер шығару
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

библиотека
материалов


Жоспары

Кіріспе бөлім..................................................

  • Мақсаты

  • Қысқаша тарихи мәлімет

Негізгі бөлім...................................................

  • Комплекс сан ұғымы

  • Комплекс сандарға қолданылатын амалдар


  • Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі



  • Муавр формуласы




Қорытынды.................................................


Пайдаланылған әдебиеттер......................































КОМПЛЕКС САНДАР.

Мақсаты: Комплекс сандар қолданбалы математикада орасан зор орын алады, соның ішінде ауыспалы токты есептегенде.Бұл ғылыми жобада комплекс сандарына түрлі амалдар қолдануды үйренеміз. Муавр теоремасын қолданып,комплекс сандардың дәрежесін есептейміз,және де ауыспалы токтың жай есептеріне көз жүгіртеміз.


Қысқаша тарихи мәлімет


Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХҮІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің ,шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан «Алгебра»

атты кітабында Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.

Алғашқы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (интерпретациясы),болмағандықтан ондай түбірлерді «мүмкін емес», «жорамал» деп санап , ондай түбірлері бар теңдеулерді «түбірі жоқ» теңдеулер қатарына қосатын болған.

Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХҮІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп , өзін «орыс ғалымымын» деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және философы Даланбердің (1717-1783) үлесі көп.

Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген ,бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға , алгебраға, геометрия және математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың геометриялық мағынасын қолданып , оны толық пайдалана бастайды. Математикаға «комплекс сан » терминін кіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799 ) ұсынған да К.Гаусс.



Нақты сандар жиынында түбірі болмайтын квадрат теңдеуді шешуден бастаймыз, яғни х2+1=0 теңдеуін бір амалын тауып шешуіміз қажет. Демек, квадраты -1 -ге тең жаңа бір сан ұғымын енгізуіміз керек. Ол сан i арқылы белгіленеді, және оны ЖОРАМАЛ БІРЛІК САН деп атайды. Сонымен, х2+1=0, х2= -1 теңдеуінің х1=i, x2= -і түбірлері табылады деп есептейтін боламыз. Бұдан былай hello_html_5a554d8.gifдеп қарастырып, бұған жаңа ұғым береміз:

Анықтама: Егер а және b нақты сандар болса, онда a+bi өрнегін комплекс (жорамал) сан деп атаймыз.

Мұнда, а-комплекс санның нақты бөлігі, b-жорамал бөлік деп аталады.



Анықтама 1: комплекс сан деп hello_html_mb03fda3.gif өрнегі аталады. Мұндағы а,b-нақты сандар; i- жорамал бірлік.

Егер а=0 болса, онда hello_html_m59b70ff1.gif саны таза жорамал сан деп аталады;

Егер в=0 болса, онда hello_html_m1e656e22.gifсаны нақты сан деп саналады.

Анықтама 2: hello_html_1bff0064.gifhello_html_81b9a8f.gif комплекс сандары тек a=c, b=d болған жағдайда ғана өзара тең деп аталады.

Комплекс сандар жиыны С әрпімен белгіленеді;






Комплекс сандарға қолданылатын амалдар.

Анықтама 3: hello_html_1bff0064.gifhello_html_81b9a8f.gif комплекс сандарының қосындысы деп hello_html_m128a2cc2.gif комплекс саны аталады, яғни

hello_html_m757decd9.gif(1)

1 Мысал: hello_html_233bb62b.gif,hello_html_3d445add.gif комплекс сандарының қосындысын табу керек.

Δ hello_html_m5353e206.gif

Комплекс сандарының қосындысының келесі қасиеттері бар:

  1. Коммутативтік:hello_html_321c187e.gif немесе hello_html_m278da5d0.gif

  2. Ассоциативтік:hello_html_3e5df25a.gifнемесе hello_html_58c1463b.gif

Анықтама 4: hello_html_1bff0064.gifhello_html_81b9a8f.gif комплекс сандарының көбейтіндісі деп hello_html_m7b8fab9a.gif санын атайды, яғни

hello_html_5bdade43.gif(2)

2 Мысал: hello_html_23d28a59.gifhello_html_37a38c8d.gif комплекс сандарының көбейтіндісін табу керек.

Δ hello_html_m7c4ad701.gif

Комплекс сандарының көбейтіндісінің келесі қасиеттері бар:

  1. Коммутативтік: hello_html_m56b92e95.gifнемесе hello_html_m25724c90.gif

  2. Ассоциативтік:hello_html_m6ea836a.gifнемесеhello_html_m615a2e90.gif

  3. Дистрибутивтік:hello_html_m24b7e03f.gifнемесе hello_html_m2a4f2303.gif

Анықтама 5: hello_html_m2e063950.gifhello_html_m6461b3f1.gif комплекс сандарының айырмасы деп hello_html_4f732ee1.gif немесе hello_html_777964dd.gif (3) теңдігін қанағаттандыратын hello_html_25c5cb4e.gif комплекс саны аталады.

Комплекс сандарының айырмасының бар болуын және жалғыздығын көрсетейік. (3) формуладан:

hello_html_m7dade75b.gif

    1. анықтаманы ескере отырып, келесі теңдеулер жүйесіне келеміз:

hello_html_6920c3cd.gif=> hello_html_m16beb914.gif

Яғни, hello_html_51aed953.gif (4)

Осыдан айырманын бар болуымен жалғыздығы шығады.

hello_html_m2427da38.gif cандарының z айырмасы hello_html_1a764a37.gifдеп белгіленеді.

    1. формуланы келесі түрде жазуға болады:

hello_html_m3695a66b.gif(5)

3 Мысал: hello_html_m44bd1bad.gifhello_html_665cf5e9.gif сандарының айырмасын табу керек.

Δ hello_html_m556788dc.gif

4 Мысал: hello_html_5221c5a5.gif теңдеуін шешу керек.

Δ көбейтіндіні орындап hello_html_5221c5a5.gifтеңдігіне келеміз, осыдан hello_html_32c27067.gif

2 анықтама бойынша

hello_html_m758fabd1.gif

жүйесіне келеміз. Оның шешімі: x=-1, y=4. ▲

hello_html_7aeeb6c8.gifкомплекс саны берілген болсын. Онда –z деп белгіленген және hello_html_m4c414967.gifға тең болатын сан hello_html_m4457d2f.gif санына қарама-қарсы деп аталады.

Сонымен, hello_html_m67c88ff9.gif комплекс санын hello_html_1cca4771.gif санынан алу үшін hello_html_m67c88ff9.gif -ні қарама-қарсы - hello_html_m67c88ff9.gif санына қосу керек.

Анықтама 6: hello_html_7aeeb6c8.gifhello_html_m3ba385de.gif комплекс сандарының бөліндісі деп hello_html_m3cded7b3.gif немесе hello_html_m6e96e756.gif (6) теңдігін қанағаттандыратын hello_html_14506743.gif санын атайды.

Комплекс сандарының бөліндісінің бар болуының және жалғыздығын көрсетейік: (6) формуладан hello_html_m3cd3e2c5.gifтеңдігіне келеміз.

2 анықтама бойынша

hello_html_62ad91e5.gif

жүйесіне келеміз. Жүйені шешіп х және у үшін жалғыз мәндерін табамыз:

hello_html_fa9f948.gifhello_html_m48969733.gif

Шыққан өрнектің мағынасы бар, себебі, hello_html_m3ba385de.gif-ден hello_html_m5de70c61.gif екені шығады.

Сонымен,

hello_html_67358423.gif(7)

Осыдан hello_html_m2427da38.gif комплекс сандарының бөліндісінің бар болуы және жалғыздығы шығады, бірақ, мұнда hello_html_m427a358d.gif болу керек.

hello_html_1cca4771.gif және hello_html_m427a358d.gif комплекс сандарының бөліндісі

hello_html_m74078bc6.gif

деп белгіленеді.

5 Мысал: hello_html_m648a2a41.gifhello_html_41ccee54.gif комплекс сандарының z бөліндісін табу керек.

Δ hello_html_m3cded7b3.gif. Айталық, hello_html_m555d29dc.gif болсын. Онда

hello_html_m80a1ff3.gif

немесе hello_html_m33cc7500.gif

Осыдан келесі жүйеге келеміз

hello_html_m392188d.gif

Шыққан жүйені шешіп x=0,8; y=-1,4 екенін табамыз, яғни

hello_html_m58ea1213.gif

Егер hello_html_7546286f.gif болса, онда hello_html_1316606a.gif саны z санына түйіндес деп аталады.

6 Мысал: hello_html_6c29491b.gif болса, онда hello_html_614fcbcd.gif болады.

hello_html_14a06a85.gif

екенің ескере кетейік.

Енді hello_html_m8a5e98.gif бөлшегі үшін hello_html_m1ac1c646.gifқасиеті орындалатынын көрсетейік. Мұндағы, hello_html_m2427da38.gif-комплекс сандар, hello_html_4f0d741d.gif кез келген комплекс сан.

Айталық, hello_html_m74078bc6.gif болсын.

(7) формула бойынша hello_html_m3cded7b3.gif. Сонда hello_html_m739f79c5.gif=>

hello_html_m8ef0b79.gif

hello_html_m49e1974a.gif

кез келген hello_html_m46191eb4.gif үшін.

Осы қасиеті бойынша практикалық есептеулерде, екі комплекс санның бөліндісін табу үшін алымы мен бөлімін бірдей бөліміне түйіндес санға көбейту керек.

7 Мысал: hello_html_7ba391d5.gif есептеу керек.

Δ hello_html_m15a4592b.gif

hello_html_m3a1431d9.gif саны hello_html_133e7853.gif деп белгіленеді де, z санына кері деп аталады.

hello_html_m6260c6cc.gifекенің көрсетуге болады. Сонымен, z1 комплекс саның z2 комплекс санына бөлу үшін z1-ді z2 санының кері hello_html_m75a32952.gif санына көбейту керек.

8 Мысал: hello_html_m1e4f930c.gif санына кері санын табу керек.

Δ hello_html_7cb62624.gif

Кез келген m және n бүтін сандары үшін келесі теңдіктер орындалатының көрсетуге болады:

hello_html_152d43f7.gif.


9 Мысал: есептеу керек:

а) і3, і4, і5, і-1, і-2, і-3, і-4, і-5; б) z-3, егер z=1-і болса.

Δ а) i3=i2 i=-i;

i4=i2 i2=(-1 )(-1)=1

hello_html_m3d38a43f.gif

б) hello_html_18c9e26b.gif









Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.

hello_html_m45adad5.gif
Комплекс сандарды координат жазықтығының көмегімен жазықтықтың нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. hello_html_c5ac054.gif тік бұрышты

hello_html_m37037cee.gifïzïhello_html_m696d1803.gif r=ïzï=hello_html_m2ed3f73b.gif.

hello_html_21f6ae01.gif

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекс санның тригонометриялық түрі.

hello_html_3f51aee7.gif=r - комплекс санның модулі hello_html_79d5abc6.gif.

hello_html_m3356b83e.gif-комплекс санның аргументі.

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға амалдар қолдану өте жеңіл.

Айталық,

z1=r1(cosφ1+isinφ1),

z2=r2(cosφ2+isinφ2) болсын.

Онда hello_html_m6c07fa99.gif

hello_html_m103a4e85.gifhello_html_m51c106e2.gif

Егер hello_html_m2dc4fec6.gifболса, онда

hello_html_m223b8bc.gif

Муавр формуласы hello_html_m15eda906.gif





Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.

Айталық, а=r(coshello_html_6f95504e.gif+isinhello_html_6f95504e.gif) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін

hello_html_m1cd2a3b9.gif

яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

hello_html_39d84463.gif

теңдігін пайдаланып , Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады.

a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

hello_html_m7dd75d9d.gif

ескерсек жеткілікті.hello_html_m53d4ecad.gif

Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.

hello_html_70cd6bf1.gifcos nhello_html_bb8e77.gifhello_html_m3862f39e.gif

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

hello_html_m8a096b4.gif

Мұндағы hello_html_m2f7ca4be.gif

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

hello_html_29f7bfdc.gif

теңдіктерін аламыз.

Сонымен, hello_html_2afb78ef.gif, мұндағы

hello_html_3394f970.gif

ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.

Қортынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.




Айнымалы ток

Айнымалы қырманның қатарынның көрінісінде үш элемент бар:
1. Өткінші кедергі луеттің айырымы кедергіге ылғи фаза қырмасы арқылы өтеді.
2. Индуктивты катушка, бұл жерде потенциалдар айрымы 90° токқа акеліп соғады
3. Кешіктірілген кедергі, бұнда потенциалдардың айырымы токты 90° қа тежейді


Бұл элементтердің тізбектей жалғануы ( 1 сурет), бірдей ток өтеді, I ,потенциалдар айырымы мынадай жорамалмен беріледі :


hello_html_434565b3.gif

hello_html_m7fcebedd.gif

hello_html_76d2ac49.gif


Бұл жерде hello_html_m7b3702f1.gif кедергі,hello_html_m37c9a13c.gif индуктивты кедергі, ал hello_html_m2fc5b5d4.gif кішіктірілген кедергі ,барлығы Оммен есептеледі .

hello_html_5bdb9cc2.jpg

V

hello_html_72fa433a.gif

hello_html_751b9c70.gif

hello_html_5863b80a.gif

1 сурет

Кернеу мен жабық токтың формуласы мынадай

hello_html_224cfdc1.gif

мұндағы hello_html_1dadb6bd.gif импенданс қатары және кешіктірілген кедергі мен индуктивті қатардағы кедергі.




Қорытынды:

ХІХ ғасырдың аяғында жиындар теориясының дамуына байланысты комплекс сан hello_html_m42ba8aaa.gif екі нақты сан hello_html_5a0f1f2f.gif пен hello_html_m1842520a.gif-тің реттелген жұбы hello_html_m5ddf47ed.gif түрінде қаралуы комплекс сандардың геометриялық кекінінен ешбір кем емес екендігі де кейінгі кезде пайда болып отыр.

Кейінгі жүз жыл ішінде комплекс сандар және комплекс аргументті функциялар теориясы одан әрі дамып ,бұл теория картографияда ,электр және электротехникада , гидромеханикада ,аэромеханикада, сандар теориясында, және басқа да көптеген жаратылыс тану мен техника саласында қолданылады.


Пайдаланылған әдебиеттер

  1. Ғали Ұзақов аналитикалық функциялар теориясы,Алматы «Мектеп» 1986

  2. Бисадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплекснего,

Москва «Наука»,1970

  1. Жәутіков О.А. Комплекс сандар және олардың практикалық маңызы, «Мектеп » баспасы,Алматы 1975

  2. Привалов И.И. Комплекс айнымалы функциялардың теориясына кіріспе, «Мектеп » баспасы,Алматы 1975

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Күні:

Класс: 8Ә Пәні: алгебра

Тақырып: Бақылау жұмысы

"Мақсаты:

""Білімділік: Квадрат теңдеулер тақырыбы бойынша берілген формулаларды дұрыс қолданып есеп шығару дағдыларын тексеру.

Дамытушылық: Өзіндік ойлау, шығармашылықпен жұмыс істеу қабілеттерін дамыту

"Тәрбиешілік: жауапкершілік, белсенділік, білімге талпыну қасиеттерін бойында тереңдету Сабақтың түрі: Бақылау жұмысы Сабақтың жоспары: 1. Ұйымдастыру кезеңі: түгендеу, сабаққа ынталандыру 2. Бақылау жұмысының мәтінін таратып беру. Үйге тапсырма беру: формулалрды қайталап келу

Автор
Дата добавления 07.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1155
Номер материала 29700020736
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх