Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок - лабораторная работа 8 класс «Свойства коэффициентов квадратного уравнения»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок - лабораторная работа 8 класс «Свойства коэффициентов квадратного уравнения»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Свойства коэффициентов 8кл.ppt

библиотека
материалов
ЭТО НЕОБЫЧНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тре...
О чем свидетельствуют клинописные тексты 		Вавилонские глиняные таблички с ре...
От древних греков до Ньютона
Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по...
Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное...
Графический способ решения квадратных уравнений	 Решим графически уравнение а...
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 	1. Выберем систему...
При этом возможны случаи
19 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ЭТО НЕОБЫЧНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Описание слайда:

ЭТО НЕОБЫЧНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4 Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тре
Описание слайда:

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У. Сойер (английский математик XX века)

№ слайда 5 О чем свидетельствуют клинописные тексты 		Вавилонские глиняные таблички с ре
Описание слайда:

О чем свидетельствуют клинописные тексты Вавилонские глиняные таблички с решениями задач в виде уравнений (около 2 тысяч лет до н.э.) - самые ранние свидетельства об изучении квадратных уравнений.

№ слайда 6 От древних греков до Ньютона
Описание слайда:

От древних греков до Ньютона

№ слайда 7 Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по
Описание слайда:

Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формуле Разложение левой части уравнения на множители Теорема Виета Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента Метод выделения полного квадрата Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Геометрический способ решения квадратных уравнений

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13 Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное
Описание слайда:

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1= 1, х2 = Если b = а + с, то х1= – 1, х2 = –

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 Графический способ решения квадратных уравнений	 Решим графически уравнение а
Описание слайда:

Графический способ решения квадратных уравнений Решим графически уравнение ах2 + bx +с = 0 Построим графики функций y = ax2 и y = - bx - c одной системе координат х1 и х2 – корни уравнения ах2

№ слайда 18 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 	1. Выберем систему
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 1. Выберем систему координат. 2. Построим точки– центр окружности и А(0; 1). 3. Проведем окружность с радиусом SA. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.

№ слайда 19 При этом возможны случаи
Описание слайда:

При этом возможны случаи

Выбранный для просмотра документ УРОК 8 класс.docx

библиотека
материалов

Острянина Ирина Витальевна

учитель математики первой категории

Новоишимской СШ №2

Района имени Габита Мусрепова

Северо-Казахстанской области.


Алгебра 8 класс

Тип урока: лабораторная работа

Тема: Решение квадратных уравнений. (Урок является последним в теме «Решение квадратных уравнений по формулам корней», теорему Виета учащиеся будут изучать на следующем уроке).


Цели урока:

1. Выявление свойств коэффициентов квадратного уравнения.

2. Использование выявленных свойств при решении квадратных уравнений.

3. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Задачи урока: обучающие и развивающие:

  1. Проанализировать влияние коэффициентов на решение квадратного уравнения.

  2. Исследовать сумму коэффициентов квадратного уравнения, закономерностей корней.

  3. Исследовать влияние коэффициентов на знаки корней квадратного уравнения.

  4. Нахождение корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

  5. Развивать логическое мышление, математическую речь, мышление, память.

Воспитательные:

  1. Воспитывать творческую личность, прививать интерес к предмету, к исследовательской деятельности.

Раздаточный материал: ход лабораторной работы, набор уравнений, задания ВОУД.

ХОД УРОКА:

I этап: Актуализация

Вступление учителя:

При решении текстовых задач с несколькими неизвестными используется алгебраический метод решения, т.е. составление и решение уравнений. Многие задачи приводят к квадратным уравнениям. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры. Современные обозначения и решение квадратных уравнений были найдены в трудах Леонардо Фибоначчи, Михаила Штифеля, Рене Декарта, Исаака Ньютона и Франсуа Виета.

Решение квадратных уравнений по формулам связано с вычислениями выражений, зависящих только от значений коэффициентов квадратного уравнения; с помощью теоремы Виета корни квадратного уравнения могут быть найдены подбором, могут быть определены знаки корней, но многие свойства коэффициентов не отражены в школьных учебниках математики, а зная их, можно экономить время и эффективно решать уравнения.


II этап: Анализ домашней работы: Наибольшее число ошибок допускается при нахождении дискриминанта, а именно в произведении 4ас неверно определяется знак «-» или «+».

Повторим материал 6 класса: если в произведении чётное число отрицательных множителей, то ставится знак «+», если в произведении нечётное число отрицательных множителей, то ставится знак «-». Примечание: число 4 формуле имеет знак «-».


D = bhello_html_m210dd295.gif– 4ас.

Дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0


Проверим: Решим: (устно)

D = 4hello_html_3046c012.gif- 4hello_html_216b5da2.gif5hello_html_216b5da2.gif(-1)= 16+20=36



D = (-2)hello_html_3046c012.gif- 4hello_html_216b5da2.gif16hello_html_216b5da2.gif(-5)= 4+320=324



D = (-36)hello_html_3046c012.gif- 4hello_html_216b5da2.gif28hello_html_216b5da2.gif11= 1296 - 1232= 64



D = 21hello_html_3046c012.gif- 4hello_html_216b5da2.gif(-49)hello_html_216b5da2.gif(-2)= 441-392=49





D=(–3)hello_html_m210dd295.gif 4hello_html_216b5da2.gif(-2)hello_html_216b5da2.gif(-1) =

D= 6hello_html_m210dd295.gif– 4hello_html_216b5da2.gif9hello_html_216b5da2.gif1=

D=1hello_html_m210dd295.gif– 4hello_html_216b5da2.gif(-20)hello_html_216b5da2.gif1=


III этап: лабораторная работа

Тема: Решение квадратных уравнений.

Цель: исследование свойств коэффициентов квадратного уравнения; существования наличия связей между коэффициентами квадратного уравнения, которые помогут более эффективно и экономично решать его.

Практическое нахождение корней уравнения с помощью циркуля и линейки.

Оборудование: набор квадратных уравнений, циркуль, линейка, карандаш.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Ход работы:

I этап

Некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения.



1. Если а и с имеют противоположные знаки, то уравнение имеет действительные корни. А именно:

Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки (в <0, то корни положительные; в>0, то корни отрицательные).

Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки ( в>0, то корень больший по модулю отрицательный).



Выполнить задание: тесты ВОУД



2.

Если а + в + с = 0 , то хhello_html_m1f6c86d3.gif=1, хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_4ac00ffb.gif.


Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.

а+ b+c= 0, хhello_html_m1f6c86d3.gif=1, хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_4ac00ffb.gif. 1+ 4+(–5)= 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= bhello_html_m210dd295.gif– 4ас= 4hello_html_m210dd295.gif– 4∙1∙(–5)= 36.

хhello_html_m1f6c86d3.gif=hello_html_m6b403e5e.gif=hello_html_1b24893b.gif= – 5.

хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_357ccc71.gif=hello_html_2ba1a7b4.gif=1.



3.



Если а + с = в, то хhello_html_m1f6c86d3.gif= –1, хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_319f531.gif


Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.

Если b= а+c, то хhello_html_m1f6c86d3.gif= –1, хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_319f531.gif. 8 =2 +6.

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= bhello_html_m210dd295.gif– 4ас=8hello_html_m210dd295.gif– 4∙2∙6= 16.

хhello_html_m1f6c86d3.gif=hello_html_m6b403e5e.gif=hello_html_11b85ea3.gif= –3.

хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_357ccc71.gif=hello_html_3e7e8f10.gif= –1.

4. Закономерность коэффициентов:

1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

хhello_html_m1f6c86d3.gif= а; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_m23033a8e.gif.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.

хhello_html_m1f6c86d3.gif= –6; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_2035c348.gif.

2) Если в уравнении ax2 bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

хhello_html_m1f6c86d3.gif= а; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_m23033a8e.gif.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

хhello_html_m1f6c86d3.gif= 15; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_636d5743.gif.

3) Если в уравнении ax2 + bx c = 0 коэффициент b равен (а2 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

хhello_html_m1f6c86d3.gif= а; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_m23033a8e.gif.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х 17 = 0.

хhello_html_m1f6c86d3.gif= –17; хhello_html_181f13d9.gif=hello_html_567a3cbc.gif.

4) Если в уравнении ax2 bx c = 0 коэффициент b равен (а2 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

хhello_html_m1f6c86d3.gif= а; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_m23033a8e.gif.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х 10 = 0. хhello_html_m1f6c86d3.gif= 10; хhello_html_181f13d9.gif= hello_html_45c5cd5f.gif.

II этап

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический метод решения квадратных уравнений имеет существенные недостатки: он достаточно трудоёмкий, при этом точность построения кривых — парабол низка.

Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.



  1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке S(-\frac{b}{2a}; \frac{a+c}{2a}), пересекающую ось y в точке C(0;1).



  1. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох – корни уравнения.


Возможны три случая:

  • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;

  • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;

  • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве \mathbb R нет.



Задание №121(3,4)



Вывод:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка: в течение урока по ходу решения уравнений: по тексту лабораторной работы, из набора, а также за задания ВОУД учащиеся получают карточки (см. приложения) и в конце урока каждый находит среднее арифметическое своих оценок.

Домашнее заданние:



1. hello_html_m35030747.gifТеоритический материал. х2 + рх + q = 0,

Рассмотреть приведённое квадратное уравнение, где р и q – любые числа отличные от нуля.

Если свободный член q приведённого квадратного уравнения положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня

и это зависит от второго коэффициента р. Если р > 0 , то оба корня отрицательны ,

если р < 0 , то оба корня положительны.

ПРИМЕР:

хhello_html_3046c012.gif – 14х + 48 = 0 хhello_html_3046c012.gif + 19х + 90 = 0

хhello_html_e279454.gif= 6 , хhello_html_m9540160.gif =8 , хhello_html_e279454.gif= -9 , хhello_html_m9540160.gif =-10

ОТВЕТ : 6; 8 ОТВЕТ : - 9 ; - 10

Если свободный член q приведённого квадратного уравнения отрицателен ( q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня,

причём больший по модулю корень будет положителен, если р < 0,

если р > 0 - отрицателен.

х hello_html_3046c012.gif– 2х - 15 = 0 хhello_html_3046c012.gif + 2х - 8 = 0

хhello_html_e279454.gif= 5 , х hello_html_m9540160.gif=-3 хhello_html_e279454.gif=-4 , хhello_html_m9540160.gif =2

ОТВЕТ : 5 ; -3 . ОТВЕТ : - 4 ; 2.



2. Решить квадратные урвнения с помощью циркуля и линейки



121 (1,2) учебник для 8 класса «Алгебра» /А. Абылкасымова, И. Бекбоев , А. Абдиев, З. Жумагулова/.



3. Решить квадратные уравнения с использованием свойств коэффициентов :

129(1,4)



























ПРИЛОЖЕНИЯ



ВОУД (задания из сборника тестов):



Не решая уравнений, укажите, какие из них имеют корни с противоположными знаками:



Задание 1:

хhello_html_3046c012.gif- x - 6=0

хhello_html_3046c012.gif-5x + 6=0

хhello_html_3046c012.gif- x - 12=0

хhello_html_3046c012.gif- 8x + 15=0

хhello_html_3046c012.gif- 2x - 15=0



А. 1,2,3

В. все

С. 1,3,5

Д. 4,2,3

Е. 2,3,4,5


Задание 2:

хhello_html_3046c012.gif- 3x - 54=0

хhello_html_3046c012.gif+ x - 12=0

hello_html_3046c012.gif+ 7 x + 3=0

hello_html_3046c012.gif+ 4x - 1=0

hello_html_3046c012.gif- 5x - 2=0



А. 1,3,5

В. 1,2,3

С. 1,2,4,5

Д. все

Е. 3,4,5


Задание 3:

hello_html_3046c012.gif+ 5x - 3=0

hello_html_3046c012.gif+ 5x - 3=0

hello_html_3046c012.gif+ 13x + 3=0

хhello_html_3046c012.gif- 11x + 30=0

хhello_html_3046c012.gif+ 15x + 54=0



А. 1,3,5

В. 1,2,5

С. 1,2

Д. все

Е.4,5


Задание 4:

хhello_html_3046c012.gif- 4,5x + 2=0

hello_html_3046c012.gif+8x -3=0

hello_html_3046c012.gif+ 7x - 3=0

хhello_html_3046c012.gif- 7x + 10=0

хhello_html_3046c012.gif- 3x - 18=0



А. 1,2,3

В. 2,3,5

С. 3,4,5

Д. 1,5

Е. все





Задание 5:

хhello_html_3046c012.gif- x - 20=0

hello_html_3046c012.gif-26x + 3=0

хhello_html_3046c012.gif+ 10 x + 9=0

хhello_html_3046c012.gif- 4x + 3=0

хhello_html_3046c012.gif- 2x - 3=0



А. 1,2,5

В. 1,3,5

С. 1,5

Д. 3,4,5

Е. все


ФИ____________________________________

Ответы:

Задание 1:

Задание 2:

Задание 3:

Задание 4:

Задание 5:







Ответы:

Задание 1: С. 1,3,5

Задание 2: С. 1,2,4,5

Задание 3: С. 1,2

Задание 4: В. 2,3,5

Задание 5: С. 1,5





Набор уравнений:



Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

I. №128(4), №133 (4)


а) 4х2 – 12х +8х = 0.

б) х2 – 6х + 5= 0.

в) 45х2 – 23х - 22= 0

г) х2 + 6х - 7= 0

д) 11 х2 + 25х - 36= 0.

е) 3х2 + 5х - 8= 0

ж) 5 х2 – 7х + 2= 0

з) 5х2 + 4х - 9= 0

и) 2х2 + 3х + 1= 0

к) х2 + 17х - 18= 0

л) 345х2 – 137х - 208= 0.



II. №130(2), №133 (1,2,6)



а) 2х2 + 3х + 1= 0.

б) 5х2 - 7х - 12= 0.

в) 3х2 + 5х + 2= 0.

г) 11х2 + 25х + 14= 0.

д) 5х2 + 4х - 1= 0.

ж) х2 + 4х + 3= 0

з) 5х2 - 4х - 9= 0.

и) 100 х2 - 97х - 197 = 0

к) 7х2 + 2х - 5=0

е) 2008 х2 + 2005х – 3 = 0


Закономерность коэффициентов:

а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0.

b = (а2 +1); b = (а2 –1);

в) 7х2 + 50х + 7= 0.



г) 11х2 - 122х + 11= 0.





С помощью циркуля и линейки: №121 (3,4)



х2 - 2х - 3 = 0.



х2 + 2х - 3= 0.



х2 - х – 6 = 0.



х2 + 4х + 6= 0.



х2 - 4х + 4= 0.



Если а и с имеют противоположные знаки,

то уравнение имеет действительные корни.

А именно:

Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки:

в <0, то корни положительные;

в>0, то корни отрицательные.



Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки:

в>0, то корень больший по модулю отрицательный.




Закономерность коэффициентов

Корни уравнения

ax2 + bx + c = 0



b = (а2 +1), с = а

хhello_html_1a98cf24.gif= а; хhello_html_4c3c66fc.gif= hello_html_m70ee802f.gif

ax2 bx + c = 0



b = (а2 +1), с = а




хhello_html_1a98cf24.gif= а; хhello_html_4c3c66fc.gif= hello_html_m70ee802f.gif

ax2 + bx c = 0

b = (а2 - 1), с = а


хhello_html_1a98cf24.gif= а; хhello_html_4c3c66fc.gif= hello_html_m70ee802f.gif

ax2 - bx c = 0



b = (а2 - 1), с = а

хhello_html_1a98cf24.gif= а; хhello_html_4c3c66fc.gif= -hello_html_m70ee802f.gif


http://s54.radikal.ru/i146/1010/76/f103b11640df.jpghttp://go2.imgsmail.ru/imgpreview?key=http%3A//us.123rf.com/400wm/400/400/kle555/kle5551201/kle555120100161/11886012-nf---n-n----n.jpg&mb=imgdb_preview_399http://pica4u.ru/uploads/posts/2009-10/1255293214_1-16.jpghttp://www.crosti.ru/patterns/00/04/81/7c82a1621a/preview.jpg

Есть над чем поработать. Гениально. Всё будет хорошо. Не всё потеряно.

(удовлетворительно) (отлично) (хорошо) (неудовлетворительно)

Краткое описание документа:

Урок - лабораторная работа - для математики нетипичен. Расширяет знания учащихся, раскрывая возможности решения квадратных уравнений используя свойства коэффициентов. Решаются те же задания учебника, но с иной позиции. Урок построен в форме лабораторной работы. В ходе урока осуществляется подготовка к итоговой аттестации за курс основной школы. Рассматриваются подобные или оригинальные задания, и возможности их решения различными способами с выбором оптимального. Выполняется практическая работа (графическое решение уравнения).
Автор
Дата добавления 23.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1220
Номер материала 31942022356
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх