•    Острянина Ирина Витальевна

  учитель математики первой категории

  Новоишимской СШ №2

  Района имени Габита Мусрепова

  Северо-Казахстанской области.

   

                                                        Алгебра 8 класс

  Тип урока: лабораторная работа

  Тема: Решение квадратных уравнений.  (Урок является последним в теме «Решение квадратных уравнений по формулам корней», теорему Виета учащиеся будут изучать на следующем уроке).

   

  Цели урока:

  1. Выявление свойств коэффициентов квадратного уравнения.

  2. Использование выявленных свойств при решении  квадратных уравнений.

  3. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

  Задачи урока: обучающие и развивающие:

  1.     Проанализировать влияние коэффициентов на решение квадратного уравнения.

  2.     Исследовать сумму коэффициентов квадратного уравнения, закономерностей корней.

  3.     Исследовать влияние коэффициентов на знаки корней квадратного уравнения.

  4.     Нахождение корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

  5.     Развивать логическое мышление, математическую речь, мышление, память.

  Воспитательные:

  1.     Воспитывать творческую личность, прививать интерес к предмету, к исследовательской деятельности.

  Раздаточный материал: ход лабораторной работы, набор уравнений, задания ВОУД.

  ХОД УРОКА:

  I этап: Актуализация

  Вступление учителя:

  При решении текстовых задач с несколькими неизвестными используется алгебраический метод решения, т.е. составление и решение уравнений. Многие задачи приводят к квадратным уравнениям. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры. Современные обозначения и решение квадратных уравнений были найдены в трудах  Леонардо Фибоначчи, Михаила Штифеля, Рене Декарта, Исаака Ньютона и Франсуа Виета.

  Решение квадратных уравнений по формулам связано с вычислениями выражений, зависящих только от значений коэффициентов квадратного уравнения; с помощью теоремы Виета корни квадратного уравнения могут быть найдены подбором, могут быть определены знаки корней, но многие свойства коэффициентов не отражены в школьных учебниках математики, а зная их, можно экономить время и эффективно решать уравнения.

   

  II этап: Анализ домашней работы: Наибольшее число ошибок допускается при нахождении дискриминанта, а именно в произведении 4ас неверно определяется знак «-» или «+».

  Повторим материал 6 класса: если в произведении чётное число отрицательных множителей, то ставится знак «+», если в произведении нечётное число отрицательных множителей, то ставится знак «-». Примечание: число 4 формуле имеет знак «-».

  D = b– 4ас.

                                                

    Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

   

  Проверим:                                                       Решим: (устно)

  D = 4- 45(-1)= 16+20=36   D = (-2)- 416(-5)= 4+320=324   D = (-36)- 42811= 1296 - 1232= 64   D = 21- 4(-49)(-2)= 441-392=49

  D=(–3)– 4(-2)(-1) =               D= 6– 491=               D=1– 4(-20)1=

   

     III этап:  лабораторная работа

  Тема: Решение квадратных уравнений.

  Цель: исследование свойств коэффициентов квадратного уравнения; существования наличия  связей между коэффициентами квадратного уравнения, которые помогут более эффективно и экономично решать его.

  Практическое нахождение корней уравнения с помощью циркуля и линейки.

  Оборудование: набор квадратных уравнений, циркуль, линейка, карандаш.

  Объект исследования: квадратные уравнения.

  Ход работы:

  I этап

  Некоторые свойства коэффициентов  квадратного уравнения.

   

  1.  Если а и с имеют противоположные знаки, то уравнение имеет действительные корни. А именно:

   Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки (в <0, то корни положительные; в>0, то корни отрицательные).

  Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки ( в>0, то корень больший по модулю  отрицательный).

   

  Выполнить задание: тесты ВОУД

   

   2.      

  Если   а + в + с = 0 ,        то          х=1,   х=.

   

  Пример. Рассмотрим уравнение  х² +4х – 5= 0.

  а+ b+c= 0, х=1, х=. 1+ 4+(–5)= 0.

  Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

  D= b– 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36.

   х=== – 5.

  х===1.

   

  3.

  Если   а + с = в,         то            х= –1, х=

  Пример. Рассмотрим уравнение 2х² +8х +6 = 0.

  Если b= а+c, то х= –1, х=. 8 =2 +6.

  Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

  D= b– 4ас=8– 4∙2∙6= 16.

  х=== –3.

  х=== –1.

  4. Закономерность коэффициентов:

  1) Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b равен (а² +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

   х= –а; х= –.

  Пример. Рассмотрим уравнение 6х² +37х +6 = 0.

  х= –6; х= –.

  2) Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент b равен (а² + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

   х= а; х= .

  Пример. Рассмотрим уравнение 15х² –226х +15 = 0.

  х= 15; х= –.

  3) Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент b равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

  х= –а; х= .

  Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

  х= –17; х=.

  4) Если в уравнении ax² – bx – c = 0 коэффициент b равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

  х= а; х= –.

  Пример. Рассмотрим уравнение 10х²–99 х – 10 = 0.      х= 10; х= –.

  II этап

  Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

  Графический метод решения квадратных уравнений имеет существенные недостатки:  он достаточно трудоёмкий, при этом точность построения кривых — парабол  низка.

  Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

  Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

   

  1.     Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке , пересекающую ось y в точке C(0;1).   2.     Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох – корни уравнения.

  Возможны три случая:

  ·         длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;

  ·         радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;

  ·         радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве  нет.

   

  Задание №121(3,4)

   

  Вывод:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

  Оценка:  в течение урока по ходу решения уравнений: по тексту лабораторной работы,  из набора, а также за задания ВОУД учащиеся получают карточки (см. приложения) и в конце урока каждый находит среднее арифметическое своих оценок.

  Домашнее заданние:

   

   1. Теоритический материал.      х2 + рх + q = 0,              

  Рассмотреть  приведённое квадратное уравнение, где р  и q – любые числа                                                   отличные  от нуля.

  Если свободный член   q приведённого квадратного уравнения положителен ( q > 0 ), то уравнение  имеет два одинаковых по знаку корня

  и это зависит от второго коэффициента р. Если   р > 0 , то оба корня отрицательны ,

   если р < 0 , то оба корня положительны.

   ПРИМЕР:

                х – 14х + 48 = 0                               х + 19х + 90 = 0                            

                   х= 6 ,    х =8 ,                                 х= -9 , х =-10

                      ОТВЕТ : 6; 8                                  ОТВЕТ :  - 9 ;  - 10                     

   

  Если свободный член   q приведённого квадратного уравнения отрицателен ( q < 0 ), то уравнение  имеет два различных  по знаку корня,

  причём больший по модулю корень будет положителен, если р < 0,

  если   р > 0 - отрицателен.

        х – 2х - 15 = 0                               х + 2х - 8 = 0

           х= 5 , х =-3                                х=-4 , х =2          

            ОТВЕТ :  5 ; -3 .                             ОТВЕТ :  - 4 ;  2.

   

  2. Решить квадратные урвнения с помощью циркуля и линейки

   

   №121 (1,2)  учебник для 8 класса «Алгебра» /А. Абылкасымова, И. Бекбоев , А. Абдиев, З. Жумагулова/.

   

  3. Решить квадратные уравнения с использованием свойств коэффициентов :

   

  №129(1,4)

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  ПРИЛОЖЕНИЯ

   

   ВОУД (задания из сборника тестов):

   

  Не решая уравнений, укажите, какие из них имеют корни с противоположными знаками:

   

  Задание 1: х- x - 6=0 х-5x + 6=0 х- x - 12=0 х- 8x + 15=0 х- 2x - 15=0   А. 1,2,3 В. все С. 1,3,5 Д. 4,2,3 Е. 2,3,4,5

  Задание 2: х- 3x - 54=0 х+ x - 12=0 2х+ 7 x + 3=0 5х+ 4x - 1=0 3х- 5x - 2=0   А. 1,3,5 В. 1,2,3 С. 1,2,4,5 Д. все     Е. 3,4,5

  Задание 3: 2х+ 5x - 3=0 3х+ 5x - 3=0 4х+ 13x + 3=0 х- 11x + 30=0 х+ 15x + 54=0   А. 1,3,5 В. 1,2,5 С. 1,2 Д. все     Е.4,5

  Задание 4: х- 4,5x + 2=0 3х+8x -3=0 3х+ 7x - 3=0 х- 7x + 10=0 х- 3x - 18=0   А. 1,2,3 В. 2,3,5 С. 3,4,5 Д. 1,5     Е. все

   

   

  Задание 5: х- x - 20=0 5х-26x + 3=0 х+ 10 x + 9=0 х- 4x + 3=0 х- 2x - 3=0   А. 1,2,5 В. 1,3,5 С. 1,5 Д. 3,4,5 Е. все

  ФИ____________________________________ Ответы:     Задание 1:     Задание 2:     Задание 3:     Задание 4:     Задание 5:

   

   

   

        Ответы:

      Задание 1:          С. 1,3,5

      Задание 2:          С. 1,2,4,5

      Задание 3:          С. 1,2

      Задание 4:          В. 2,3,5      

      Задание 5:          С. 1,5

   

   

  Набор уравнений:

   

  Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

  I. №128(4), №133 (4)

  
  

        а) 4х² – 12х +8х = 0.                       

        б) х² – 6х + 5= 0.

        в)  45х² – 23х - 22= 0

        г) х² + 6х - 7= 0

        д) 11 х² + 25х - 36= 0.

        е) 3х² + 5х - 8= 0

        ж) 5 х² – 7х + 2= 0

        з) 5х² + 4х - 9= 0

        и) 2х² + 3х + 1= 0

       к) х² + 17х - 18= 0

      л) 345х² – 137х - 208= 0.

  
  

   

   II.  №130(2), №133 (1,2,6)

  
  

            а) 2х²  + 3х + 1= 0.

            б) 5х²  - 7х - 12= 0.  

            в) 3х²  + 5х + 2= 0.

            г) 11х²  + 25х + 14= 0.

            д) 5х²  + 4х - 1= 0.

  ж) х²  + 4х + 3= 0

  з) 5х²  - 4х - 9= 0.

  и) 100 х² - 97х - 197 = 0

  к) 7х² + 2х - 5=0

  
  

            е) 2008 х² + 2005х – 3 = 0

   

  Закономерность коэффициентов:

  а) 5х²  + 26х + 5= 0.                        б) 7х²  + 48х –7 = 0.

      b = (а² +1);                                       b = (а² –1);

     

  в) 7х²  + 50х + 7= 0.

   

  г) 11х²  - 122х + 11= 0.

   

   

  С помощью циркуля и линейки: №121 (3,4)

   

  х²  - 2х - 3 = 0.

   

  х²  + 2х - 3= 0.

   

  х²  -  х – 6 = 0.

   

  х²  + 4х + 6= 0.

   

  х²  - 4х + 4= 0.

                  

   

  Если а и с имеют противоположные знаки,

  то уравнение имеет действительные корни.

  А именно:

  Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки:

  в <0, то корни положительные;

  в>0, то корни отрицательные.

   

  Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки:

  в>0, то корень больший по модулю  отрицательный.

   

   

  Закономерность коэффициентов	Корни уравнения
  ax2 + bx + c = 0   b = (а2 +1),  с = а	х= –а; х= –
  ax2 – bx + c = 0   b = (а2 +1),  с = а	х= а;  х=
  ax2 + bx – c = 0 b = (а2 - 1),  с = а	х= –а;  х=
  ax2 - bx – c = 0   b = (а2 - 1),  с = а	х= а;  х= -

     

      

      

  Есть над чем поработать.                       Гениально.                         Всё будет хорошо.                     Не всё потеряно.    

   (удовлетворительно)                               (отлично)                             (хорошо)                             (неудовлетворительно)                      

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Это необычное квадратное уравнение
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

  • 

    2 слайд

  • 

    3 слайд

  • 

    4 слайд

    Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
    
    У.У. Сойер (английский математик XX века)
    
    

  • 

    5 слайд

    О чем свидетельствуют клинописные тексты
    
    Вавилонские глиняные таблички с решениями задач в виде уравнений (около 2 тысяч лет до н.э.) - самые ранние свидетельства об изучении квадратных уравнений.
    

  • 

    6 слайд

    От древних греков до Ньютона
    
    
    
    
    
    
    
    Диофант
    Ал - Хорезми
    
    
    
    
    
    
    Фибоначчи
    
    
    
    
    
    
    Штифель
    Тарталья
    
    
    
    
    
    
    Кардано
    Франсуа Виет
    Рене Декарт
    
    
    
    
    
    
    Ньютон
    

  • 

    7 слайд

    Десять способов решения квадратных уравнений
    Решение квадратных уравнений по формуле
    Разложение левой части уравнения на множители
    Теорема Виета
    Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
    Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
    Метод выделения полного квадрата
    Графический способ решения квадратных уравнений
    Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
    Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
    Геометрический способ решения квадратных уравнений
    

  • 

    8 слайд

  • 

    9 слайд

  • 

    10 слайд

  • 

    11 слайд

  • 

    12 слайд

  • 

    13 слайд

    Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
    
    Пусть дано квадратное
    уравнение ах2 + bх + с = 0
    Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов
    уравнения равна нулю),
    то х1= 1, х2 =
    
    Если b = а + с, то х1= – 1, х2 = –
    

  • 

    14 слайд

  • 

    15 слайд

  • 

    16 слайд

  • 

    17 слайд

    Графический способ решения квадратных уравнений
    Решим графически уравнение ах2 + bx +с = 0
    Построим графики функций y = ax2 и y = - bx - c одной системе координат
    
    
    х1 и х2 – корни уравнения ах2
    

  • 

    18 слайд

    Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
    1. Выберем систему координат.
    2. Построим точки– центр окружности и А(0; 1).
    
    3. Проведем окружность с радиусом SA.
    
    Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.
    А
    S
    O
    x
    y
    x1
    x2
    

  • 

    19 слайд

    При этом возможны случаи
    

Краткое описание материала