Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Теорема:
В любой треугольник можно вписать окружность.
2 слайд
Задача1.
Прямая АВ касается в точке В окружности с центром О радиуса r.
Найти АВ, если ОА=2 см, r=1,5 см.
3 слайд
Дано:
Окружность (О; r=1,5 см),
АВ - касательная,
В-точка касания, ОА=2 см.
Найти: АВ.
Решение.
1. ОВ=r=1,5 см. (т.к. АВ - касательная).
2. АВ ОВ (по теореме: касательная АВ к окружности
(О; r)перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).
3. ∆ АВС прямоугольный,
4.
5. см.
Ответ. см.
В
А
О
4 слайд
Обобщение.
При решении данной задачи мы пользовались утверждением о расстоянии от центра окружности до точки касания. Сформулируйте его.
(Если прямая и окружность имеют только одну общую точку, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности)
Какую теорему мы вспомнили, решая эту задачу?
(Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания)
5 слайд
Задача 2.
Точка М лежит внутри прямого угла АВС и равноудалена от его сторон.
Найти ∠АВМ, ∠СВМ.
6 слайд
Дано:
∠АВС= 90°
МК=МL.
Найти:
∠АВМ, ∠СВМ.
С
L
М
В
А
К
Решение.
ВМ – биссектриса ∠АВС .
Точка М лежит на биссектрисе угла АВС (по теореме: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе).
3. ∠АВМ=∠СВМ (биссектриса делит угол на два равных).
4. ∠СВМ= 90°:2=45°. .
5. ∠АВМ=∠СВМ=45°((a=b, b=c) ⇒ (a=b=c) и a=∠АВМ, b=∠СВМ, c=45°).
Ответ. ∠АВМ=45°, ∠СВМ=45°.
7 слайд
Обобщение.
Какую теорему мы повторили при решении этой задачи?
(каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе)
8 слайд
Рассмотрим рисунок. Чтобы построить окружность вписанную в треугольник (смотри верх калитки) кому-то пришлось рассчитать радиус окружности и расположение центра окружности относительно треугольника. Давайте выясним как это сделать.
9 слайд
Теорема:
В любой треугольник
можно вписать окружность.
10 слайд
О чем идет речь в теореме?
(о произвольном треугольнике)
Изобразим его и обозначим АВС.
Дано: ∆АВС произвольный
А
В
С
11 слайд
Что именно говорится о нем?
(в него можно вписать окружность)
Дано:
∆АВС произвольный.
Доказать:
в ∆АВС можно вписать окружность.
А
В
С
С
А
С
В
А
С
12 слайд
Что нужно сделать, чтобы доказать, что в треугольник можно вписать окружность?
2 варианта:
1) дети отвечают: показать, что все стороны треугольника касаются окружности.
2) молчание. Задаю наводящие вопросы:
Чем задается окружность?
(центром и радиусом)
Что значит окружность вписана в треугольник?
(Все стороны треугольника касаются окружности)
13 слайд
Таким образом, мы должны показать, что все стороны треугольника касаются окружности.
Тогда, если стороны треугольника касаются окружности, что общего имеет каждая сторона треугольника и окружность?
(окружность и каждая сторона треугольника имеют одну общую точку, точку касания)
14 слайд
В каком случае окружность и сторона будут иметь одну общую точку?
(если расстояние от центра окружности до стороны равно радиусу окружности)
То есть , центр окружности будет равноудален от всех сторон треугольника.
15 слайд
Сначала найдем такую точку, которая будет равноудалена от двух сторон треугольника. Например, от сторон, которые образуют угол А треугольника АВС.
Что для этого нужно сделать?
(Построить биссектрису угла А)
Построим ее и обозначим АZ.
Каждая точка биссектрисы угла А равноудалена от его сторон.
С
А
В
О
Z
16 слайд
Проделаем то же самое для угла В.
Проведем биссектрису угла В и обозначим ее ВР.
Каждая точка биссектрисы угла В равноудалена от его сторон.
О
С
В
А
Р
17 слайд
Тогда, точка пересечения биссектрис, которая принадлежит и биссектрисе угла А и биссектрисе угла В, равноудалена от трех сторон треугольника.
Значит именно эту точку мы и искали.
.
А
В
Z
С
Р
18 слайд
Можно сделать вывод, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника, а значит является центром вписанной окружности.
19 слайд
Как найти расстояние от центра окружности до стороны треугольника?
(мы должны провести перпендикуляры из центра к сторонам треугольника.)
Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС, СА.
L
.
А
М
В
Z
С
Р
К
20 слайд
Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК= OL=OM.
21 слайд
Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.
Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ .
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.
L
.
А
М
В
Z
С
Р
К
Теорема доказана.
22 слайд
Дано:
∆АВС произвольный.
Доказать:
в ∆АВС можно вписать окружность.
Краткая запись.
L
.
А
М
В
Z
С
Р
К
Доказательство.
1. АZ – биссектриса ∆АВС.
2. ВP – биссектриса ∆АВС.
3. О: АZ∩ВP=О.
4. ОК: ОК⊥АС, КϵАС.
5. ОМ: ОМ⊥АВ, МϵАВ.
6. ОL: ОL⊥ВC, LϵВС.
7. Окружность (О; r=ОК).
8. ОК=ОL (по теореме каждая точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон).
9. ОL=ОM (по теореме каждая точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от его сторон).
10. ОК=ОМ=ОL ((a=b, b=c)⇒(a=b=c) и a=ОК, b=OL, c=ОМ).
11. Окружность проходит через точки М, К, L.
12. АВ – касательная к окружности (т.к. АВ проходит через конец радиуса ОМ, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу).
13. ВС – касательная к окружности (аналогично п.12).
14. АС – касательная к окружности (аналогично п.12).
15. Окружность вписана в треугольник АВС (т.к. каждая сторона треугольника касается).
23 слайд
Задачи на применение.
Задача 1.
Построить окружность, вписанную в треугольник со сторонами 4 см, 7см и 5см (использовать циркуль, линейку и транспортир).
24 слайд
Решение.
1) Построим треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 5 см .
2) В полученном треугольнике
проводим две биссектрисы.
3) Точка пересечения биссектрис будет центром окружности.
4) Из центра окружности опускаем перпендикуляр к одной из сторон треугольника.
5) Этот перпендикуляр есть радиус вписанной в треугольник окружности.
6) Проводим окружность.
25 слайд
Задача 2.
Найти радиус вписанной в треугольник АВС окружности, если расстояние от вершины до центра окружности О равно 5 см, расстояние от этой же вершины до точки касания равно 4 см.
26 слайд
.
О
А
К
С
В
Дано:
∆АВС, окружность с центром О, вписанная в ∆АВС, КС=4 см, ОС=5 см.
Найти: r.
Решение.
1. ОК=r (как радиус, проведенный в точку касания).
2. ∠ОСК=90° (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).
3. ∆КОС прямоугольный,
4.
5. r=3 см. (из пунктов 1 и 4).
Ответ. r=3 см.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная работа предназначена для начинающего учителя математики. В презентации приведены все этапы работы с теоремой. Подробно рассмотрен каждый из них. В вопрос-ответной форме даны примерные вопросы, которые можно задать учащимся на том или ином этапе работы, а также возможные ответы учителя.Презентация способствует систематизации и обобщению знаний начинающего учителя математики. Особенность разработки в том, что учитель привлекает школьников к разбору содержания теоремы и к самостоятельным поискам тех логических связей, на которых построено ее доказательство и применение.
6 669 355 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Корнилова Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.