Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Открытый урок алгебры в 9 классе
Подготовила учитель математики МОУ СОШ д. Попово
Заева Галина Юрьевна
2 слайд
Тема урока
«Арифметическая и геометрическая прогрессия»- урок систематизации и обобщения.
Цель урока:
«Подготовка в итоговой аттестации»
3 слайд
Ход урока:
Оргмомент
Повторение теоретического материала.
ответить на вопросы.
Определение последовательности
Определение арифметической и геометрической прогрессии
Формулы
n – член
Историческая справка
Решение задач
Домашнее задание
Итог урока.
4 слайд
Повторение
Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?
Как найти разность арифметической прогрессии?
Как найти n член арифметической прогрессии?
Как найти сумму n членов арифметической прогрессии?
5 слайд
повторение
5. Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
6. Какое число называется знаменателем геометричес-кой прогрессией?
7. Как найти n член геометрической прогрессии?
8. По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии?
6 слайд
Последовательность.
Это одно из основных понятий математики. Она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент Хn некоторого множества. Последовательность записывается в виде Х1,Х2, . . .,Хn , или кратко (Хn).Элементы х1,х2, . . .,хn – называются членами последовательности.
7 слайд
определение
Арифметическая прогрессия- последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Геометрическая прогрессия- последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
8 слайд
ФОРМУЛЫ
Арифметическая прогрессия Определение
an+1=an + d
Геометрическая прогрессия
Определение
bn+1=bn * g (g не =0)
9 слайд
формулы
Разность арифметической прогрессии
d=an+1 - an
Знаменатель геометрической прогрессии
g=bn+1/bn
10 слайд
n - член
Арифметическая
an =a1+d(n-1)
Геометрическая
n-1
bn=b1*g
11 слайд
Формулы суммы
Арифметическая
a1+an
Sn=--------*n, (1)
2
2a1+ d(n-1)
Sn=---------*n
2
Геометрическая
n
b1 (g - 1)
Sn=---------,g=/= 1
g-1
bn * g-b1
Sn=------------, g=/=1
g-1
12 слайд
Из истории
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.
В древнегреческом папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится такая задача:
«Пусть тебе сказано:раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры»
В этой задаче речь идёт об арифметической прогрес-сии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так:
S10 =10? d = 1/8, найти: a1, a2,…,a10
13 слайд
В одном древнегреческом папирусе приводится задача:
«Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, даёт 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна».
Решением этой задачи приводит к сумме:
7 + 7х7 + 7х7х7 + 7х7х7х7 + 7х7х7х7х7, т.е.
сумме пяти членов геометрической прогрессии.
14 слайд
О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие учёные. Так, им были известны формулы суммы n первых чисел последовательности натуральных, чётных и нечётных чисел.
Архимед (Ш в. до н. э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел
1х1 + 2х2 + 3х3+ … + nxn=1/6n(n+1)(2n+1),
Показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1+ ¼ + 1/4х4 + … .
15 слайд
Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессия знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная индийская легенда об изобретателе шахмат.
Термин «прогрессия» (от латинского progressio, что означает «движение вперёд») был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названная «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.
16 слайд
Равенство вида ak-1 – ak = ak –ak+1 они называли непрерывной арифметической пропорцией, а равенство
bk-1/bk =bk / bk+1 – непрерывной геометрической пропорцией.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (Ш в.). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала». Правило отыскания суммы членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «Книге абака» Л. Фибоначчи (1202). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484).
17 слайд
Историческая справка (арифметическая прогрессия)
С формулой (1) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+…+40».
Какого было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.
18 слайд
Схема рассуждения
1, 2, 3,…, 20
+
40,39,38,…,21
-_____________________________________________________________________________________________________________
41,41,41,…,41
19 слайд
результат
Таких пар 20, поэтому
41х20=820
20 слайд
Историческая справка (геометрическая прогрессия)
Легенда об изобретателе шахмат
Индийский царь Шарам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанный им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за второе –два, за третью еще в два раза больше и т.д.
Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого
21 слайд
Схема рассуждения
Шахматная доска здесь называется шашечницей.
«Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой, получаем 8х8=64
На 1- ю – 1 на 33- ю – 4294967296
На 2- ю - 2 на 34- ю - 8 589934592
На 3- ю - 3 на 35- ю -17179869184
На 4- ю - 4 на 36- ю -34359738368
……………………………………………………………………………………………………………
на 62 – ю - 2 305 843 009 213 693 952
на 63 – ю - 4 611 686 018 427 387 904
на 64 – ю - 9 223 372 036 854 775 808
22 слайд
Полученное вознаграждение:
Если 40 000 зёрен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло
230 584 300 921 369 пудов
Общее число зёрен составляет:
18 446 744 073 709 551 615
23 слайд
Решаем задачу
(an) – арифметическая прогрессия
-63; -58; -53; …
Найти:
d
a15
S14
Является ли число -40 членом арифметической прогрессии?
24 слайд
Решение
1) a1=-58
d=-58-(-63)=-58+63=5
2) a15=2x(-63)+5x14=-126+70=-56
3)S14 =(2x(-63)+5x13)x14/2=-427
4)an =-40 , an =a1+d(n-1)
-40=-58+5(n-1)
-40=-58+5n-5
5n=23, n=4,6
вывод?
25 слайд
задача
(bn)-геометрическая прогрессия
27; 54;…
Найти:
g
b6
S6
26 слайд
решение
27;54;…
1)g= 54:27=2
2) b6 =27x2x2x2x2x2=864
3)S6 =27(64-1)=27x63=1701
27 слайд
Задача
Работа по учебнику:
№ 374
№ 375
28 слайд
Задача
Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
29 слайд
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Повторение определений и формул арифметической и геометрической прогрессии.
Решение заданий из сборника по подготовке к экзамену(каждый ученик получает задание)
30 слайд
Подведение итога урока
Что интересного вы узнали сегодня на уроке?
А теперь ответьте на вопросы, которые поднимались сегодня на уроке(работа на листочках):
Формулы
Математики, встречающиеся в исторической справке.
31 слайд
Домашние задачи:
Первый член арифметической прогрессии равен – 1,2; разность равна 3. Найти четвёртый, восьмой и двадцать первый член прогрессии.
Первый член арифметической прогрессии равен 2, а 11 член -5.Найдите разность арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии первый член равен – 12, знаменатель равен 3.Найти n-ый член равный 9.
Выписали 20 членов арифметической прогрессии 6,5 ; 8 ; . . ..Встретится ли среди них число 36?
В арифметической прогрессии известен пятый член равный – 1,5 и шестой равен ¾. Найти х4 +х7
В геометрической прогрессии известно,что её первый член равен 3, четвёртый член равен 2 ¼. Найти у2 * у5
32 слайд
Урок окончен
СПАСИБО ЗА УРОК
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Цель открытого урока по алгебое в 9 классе по теме :«Арифметическая и геометрическая прогрессии»-систенматизация и обобщение знаний «- подготовка к итоговой аттестации обучающихся 9 класса.Урок подготовлен в виде презентации, которая включает в себя слкдующий материал:- повторение теоретитческого материала, формул;- историческая справка ( нахождение суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии);- подборка задач : старинных и современных. Все задачи сопровождаются подробными решениями
6 665 122 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Зпева Галина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.