Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа по метематике для 10 класса на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Исследовательская работа по метематике для 10 класса на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Тригонометрические уравнения.docx

библиотека
материалов

hello_html_64f34538.gifhello_html_3054a04b.gifРоссийская Федерация

Ямало-Ненецкий автономный округ

муниципальное образование пуровский район

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА-ИНТЕРНАТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ»

с. САМБУРГ ПУРОВСКОГО РАЙОНА







Исследовательская работа






Автор:

Худи Татьяна, ученица 10б класса

Научный руководитель:

Вовк Ирина Анатольевна,

учитель математики










Самбург, 2012


Содержание

1. Введение..........................................................................................................2

2. Методы решения тригонометрических уравнений………………………..4

2.1. Иррациональные тригонометрические уравнения…………………4

2.2. Решение уравнений понижением степени………………………….6

2.3. Использование ограниченности функции…………………………..8

  1. Заключение…………………………………………………………………...9

  2. Список литературы ……………….…………………………………………9

  3. Приложение…………………………………………………………………10



  1. Введение

При изучении тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе не хватает времени на рассмотрение уравнений, решаемых нетрадиционными способами. Поэтому мне стало интересно рассмотреть решения таких уравнений, тем более такие уравнения я встречала на олимпиадных заданиях и эти знания мне пригодятся в дальнейшем.

С точки зрения стандартных школьных методов решения тригонометрических уравнений, рассмотрю новые методы, не изучаемые в школьном курсе. Задача называется стандартной, если при ее решении применяется известный алгоритм или ее можно решить по образцу.

Задача называется нестандартной, если при ее решении трудно сказать на какой теоретический материал она опирается, если неизвестно каким способом она решается. В ходе решения таких задач необходимо сначала провести поиск плана решения задачи, определить теоретический материал, который дает ключ к решению задачи. Решать такие задачи интересно и увлекательно. С помощью нестандартных задач можно самостоятельно установить какой-либо математический факт, более глубоко вникнуть в теоретический материал. Решение задач творческого характера помогают развивать математическое мышление, ведь математика - это наука для молодых, она - гимнастика ума.

Многим школьникам изучать математику нелегко. Это напряженная, сложная работа. Для ее выполнения нужны физические и умственные усилия, усилия воли, памяти и воображения. А еще нужно вдохновение! У выдающихся математиков есть немало высказываний о красоте математики.

Александров А.Д.: «В науке и технике, в формулах и тонких экспериментах, в теоретических построениях и машинах есть своя внутренняя красота и поэзия».

Жуковский Н.Е.: « В математике тоже есть своя красота, как в живописи и поэзии».

Поль Дирак: «Общие законы природы, когда они выражены в математической форме, обладают математической красотой в очень высокой степени».

Заинтересовавшись темой решения тригонометрических уравнений, я самостоятельно стала пробовать решать уравнения из сборников по математике повышенной сложности, сборников олимпиадных задач и поняла, что моих знаний не хватает для решения многих типов тригонометрических уравнений. Постараюсь как можно лучше раскрыть нестандартные методы решения тригонометрических уравнений путем приведения решений таких уравнений.

Тема исследования: «Решение тригонометрических уравнений оригинальными способами».

Объект исследования: учебный процесс при изучении темы «Тригонометрические уравнения» в средней школе.

Предмет исследования: организация деятельности учащихся по овладению методами решения тригонометрических уравнений.

Гипотеза: если научиться решать тригонометрические уравнения различными способами, то результаты обучения будут лучше и расходы времени на решение будут минимальными.

Цель исследования: овладеть методами решения тригонометрических уравнений, не рассматриваемых в школьном курсе математики.

Задачи:

  1. Изучить учебную, научно-популярную литературу.

  2. Выявить, изучить, описать методы решения тригонометрических уравнений.

  3. Создать методический и дидактический материалы.

Применяемые методы исследования:

  1. эмпирические: изучение литературы; обработка материалов и результатов;

  2. теоретические: сравнение; классификация; анализ; обобщение.

Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений. Данная проблема в пределах Самбурга исследовалась впервые.

Этапы исследования:

  1. изучение учебной, научно-популярной литературы;

  2. сбор и решение нестандартных тригонометрических уравнений;

  3. анализ и обобщение результатов исследования, составление рекомендаций, методических и дидактических материалов.

База исследования: муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат среднего (полного) общего образования» с.Самбург, 10б класс (2011-2012 учебный год).

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.


  1. Методы решений тригонометрических уравнений

Лучше всего организовать работу, посвященную решению нестандартных тригонометрических уравнений, основываясь на решении разнообразных уравнений.

    1. Иррациональные тригонометрические уравнения

При решении иррациональных тригонометрических уравнений обычно применяется метод равносильных преобразований. Следует внимательно следить за соблюдением всех сформированных в ходе решения задачи условий, например за соблюдением условия hello_html_m582f1219.gif при переходе от уравнения hello_html_m5ead4f83.gif к уравнению hello_html_4e6092f2.gif. Вместе с тем решать неравенство hello_html_37472b7.gif не нужно. Надо лишь отобрать среди решений уравнения hello_html_5d60a147.gif те значения hello_html_25a5b7ae.gif, для которых hello_html_37472b7.gif.

Пример № 1. Решить уравнение hello_html_67383d4f.gif.

Решение. hello_html_470b94dd.gif

Сделаем в уравнении hello_html_45eae83e.gif замену hello_html_7438d784.gif и отметим, что hello_html_bc697d1.gif Получим hello_html_m64782fbf.gifКорни этого уравнения: hello_html_m681e3b7c.gifи hello_html_m58d30847.gif. Корень hello_html_m6e093e30.gif посторонний, так как hello_html_6820d9d9.gif. Следовательно, получаем уравнение hello_html_d6be6ae.gif. Общая формула его решений: hello_html_m73439bc0.gifОднако здесь общая формула неудобна, её следует разбить на две серии решений: hello_html_m5d9fea65.gifи hello_html_m30d0b127.gif Так как должно выполняться неравенство hello_html_m67c9db2e.gif, то уравнению удовлетворяет hello_html_m2dc1a328.gif и не удовлетворяет hello_html_m623670cd.gif.

Ответ: hello_html_m1603fee.gif

Пример № 2. Решить уравнение hello_html_3dae02c0.gif

hello_html_5abd4aaa.gif


Т.к. hello_html_m2f270ce0.gif то значение – 2 не подходит.

hello_html_m33cca8be.gif



Это решение разобьем на две серии: hello_html_761cb6ce.gifhello_html_7d293651.gif

Условию hello_html_m3ce0ff39.gifудовлетворяет только hello_html_m690eff6b.gif

Ответ: hello_html_3aac7e46.gif

hello_html_m1ef08c7c.gif

Пример № 3. Решите уравнение


О Д З : (x + 18) cos x  0.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_33ed02c5.gif, hello_html_47fcee5.gif=0.

Решим данное уравнение (cosx  0,см. ОДЗ).

cos2 x (x + 18) - (x + 18) = 0,

(cos2 x - 1) (x + 18) = 0,

cos x = + 1, cos x = - 1 или x = - 18.

x = 2k, k  Z. x = + 2m, m  Z.

Произведем отбор корней в соответствии с О Д З.

1) х = -18, (18 + 18) cos 18  0, cos 18  0 (заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18  5,7 ).

cos 18  0 - верно.

2) х = 2к, (2k + 18) cos2k  0,

т.к. cos 2k = 1, то

2k  - 18,

2k  - 5,7 ,

k  - 2,85

k = -2,-1, 0, 1,… .

3) х =  + 2m, ( + 2m + 18) cos ( + 2m )  0,

т.к. cos ( + 2m ) = -1, то

+2m + 18  0,

+2m  - 18,

2m  - 5,7  - ,

m  -3,35

m = -4, -5 , -6,… .

Ответ: - 18, 2к, к = -2, -1, 0, 1 ,…;  + 2m, m = -4, -5, -6, -7,… .


2.2. Решение тригонометрических уравнений понижением степени

Тригонометрических уравнений очень много и все они решаются различными способами. Довольно часто анализ уравнения показывает, что трудность его решения бывает связана с высокими степенями, с которыми тригонометрические функции входят в уравнение. Отсюда формулируется дополнительная задача понизить степень уравнения. В том случае, если степени четные, то понижение может быть выполнено с помощью формул понижения степени:

hello_html_mdcff1d7.gif

Третью степень можно понизить, опираясь на формулы:

hello_html_m5ebfeb53.gif



Пример № 1. Решить уравнение sin2x + cos22x + sin23x = 1,5.

sin2x + cos22x + sin23x = 1,5,

hello_html_67bd17af.gif

1 – cos2x + 1 + cos4x + 1 – cos6x = 3, (cos2x + cos6x) – cos4x = 0.

Воспользуемся формулой cosx + cosy = 2coshello_html_m44c53cf0.gifcoshello_html_m1680be35.gif

2cos4x cos(-2x) – cos 4x = 0, cos4x (2cos2x – 1) = 0,

cos4x = 0 или 2cos2x – 1 = 0

4x = hello_html_m5d18f493.gif cos2x = hello_html_m52f7bc05.gif

x = hello_html_m3e9d3dbb.gif 2x = hello_html_m23a26703.gif

x = hello_html_3b0dfcf6.gif

Ответ: hello_html_m6ad806a7.gif hello_html_7665489.gif


Пример № 2. Решить уравнение sin8xcos8x = 0,5cos22x – 0,5cos2x.

sin8x – cos8x = 0,5cos22x – 0,5cos2x,

(sin4x – cos4x)(sin4x + cos4x) = 0,5cos2x(cos2x – 1),

(sin2x – cos2x)(sin2x + cos2x)((sin2x)2 + 2sin2xcos2x + (cos2x)2 - 2sin2xcos2x) = 0,5cos2x(cos2x – 1),

- cos2x ((sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x) = 0,5 cos2x (- 2 sin2x),

- cos2x (1 – 0,5sin22x) = - 0,5cos2x 2sin2x,

0,5cos2x sin22x – cos2x + cos2x sin2x = 0; cos2x (0,5sin22x – 1 + sin2x) = 0,

cos2x (0,5sin22x – cos2x) = 0; cos2x (2 sin2x cos2x – cos2x) = 0,

cos2x cos2x (2sin2x – 1) = 0,

cos2x = 0 или cos2x = 0 или 2sin2x = 1

2x = hello_html_m3d0a6d9f.gif х = hello_html_m7ec4fc13.gif sin2x = 0,5

x = hello_html_18f132dd.gif sinx = - hello_html_5e9c1f06.gif или sinx = hello_html_5e9c1f06.gif

x = (-1)k+1hello_html_1d9801a9.gif x= (-1)khello_html_1d9801a9.gif

Ответ: hello_html_5f8abaa.gif hello_html_m17ebe1d2.gif(-1)k+1hello_html_m6b18017e.gif(-1)khello_html_m79bc4b4e.gif.

Пример № 3. Решить уравнение hello_html_993e280.gifhello_html_1c7b3251.gif

По формулам понижения степени получаем

hello_html_m2530634e.gif

Еще раз применив формулу понижения степени, получим hello_html_482b8438.gif, отсюда

hello_html_4a579bcb.gif; hello_html_6f8c3aa5.gif, hello_html_m6b811b8a.gif

Ответ: hello_html_2617e4b9.gif


2.3. Использование ограниченности функции

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху на некотором множестве часто играет определяющую роль. Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства f(х)>А и g(х)<А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение f(х)=g(х) решений не имеет. Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функции f(х) и g(х) на множестве М.

Пример № 1. Решите уравнение sin3+2х2+1)=х2+2х+3.

Для любого действительного числа х имеем sin3+2х2+1)≤1, х2+2х+3=(х+1)2+2≥2. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда больше либо равна двум, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример № 2. Решить уравнение х3 – х – sinпх=0.

Очевидно, что х=0, х=1, х= - 1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений уравнения (1) в силу нечетности функции f(х)=х3 – х – sinпх достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если хо > 0 являются его решением, то и (- хо) также являются его решением.

Разобьем множество х>0, х≠1, на два промежутка: (0;1) и (1;+∞).

Перепишем данное уравнение в виде х3 – х=sinпх. На промежутке (0;1) функция g(х)=х3 – х принимает только отрицательные значения, поскольку х3< х, а функция h(х)= sinпх только положительные значения, значит на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1;+∞). Для каждого из таких значений х функция g(х)=х3 – х принимает положительные значения, функция h(х)= sinпх принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1;2] функция h(х) = sinпх неположительная, значит на промежутке (1;2] уравнение решений не имеет.

Если же х>2, то │sinпх│≤ 1, х3 – х = х(х2 – 1) > 2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+∞) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, х=0, х=1 и х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: - 1, 0,1.

Пример № 3. Решить уравнение х + 5 sin x = x + 5.

Данное уравнение равносильно совокупности систем

x  - 5, или x < -5,

(x+5) sin x = x+5. - (x+5) sin x = x+5.

Решением первой системы является Решением второй системы являются

х = -5, а также корни уравнения корни уравнения sin x = -1

sin x = 1, удовлетворяющие удовлетворяющие условию

условию x -5,т.е. х < -5, т.е.

sin x = 1, sin x = -1,

x = /2 + 2k, k Z. x = - /2 + 2m, mZ.

/2 + 2k  -5, полагая - /2 + 2m < -5, полагая

5  5/3 , имеем -5  -5/3, имеем

/2 + 2к  - 5 /3, - /2 + 2m < -5/3,

2к  -5/3 - /2, m < - 7/12, mZ.

к  -13/12, k  Z. m = -1 ,-2, -3,… .

к = -1, 0, 1, … .

Ответ: -5; /2 + 2к, к = -1, 0, 1 ,…; -/2 + 2m, = -1, -2, -3,….


3.Заключение

Исследование показало, что школьникам нравится та работа, которая пронизана творческими элементами, учение наполняется радостью, когда приходится самостоятельно думать, искать, находить. Учащихся привлекает активная работа мысли, поиск правильного и красивого решения, участие в творческой работе, преодоление трудностей.

Проделав данную исследовательскую работу, я пришла к выводу, что данные методы во многих случаях очень удобны, так как позволяют избежать громоздких преобразований и исключают потерю корней.

Не хочу останавливаться на достигнутом и в будущем планирую изучение других методов решения тригонометрических уравнений.

4.Используемая литература

  1. Н.И.Зильберберг «Методы решения тригонометрических уравнений», Псков, 1994 год.

  2. А.Н.Коломогоров «Алгебра и начала анализа», Москва, «Просвещение», 2008 год.

  3. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н.. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства».

  4. Боревский Л.Я. «тригонометрия». Курс математики для школьников и абитуриентов. – М.; ИНТЭК ЛТД, 1997 – 160 с.

  5. Игудисман О. С. «Математика на устном экзамене».

  6. Лурье М. В., Александров Б. И. «Задачи на составление уравнений».

  7. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Уравнения и неравенства».

  8. Потапов М. К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю. В. «Математика. Методы решения задач».

  9. Смолич Б. А., Ефимов Г. Н., Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».

Приложение

Для самостоятельного решения

Решите уравнения:



  1. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7

  2. 3 cos 3x + cos x = 4

  3. sin x sin 3x = - 1

  4. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0

  5. cos2(2x + /3 ) + cos2(/12 - x) = 0

  6. cos 6x + sin 5x / 2 = 2

  7. х + 3sin x = х + 3

  8. x - 6  cos x = x - 6

  9. cos23x + cos44x + cos25x = 1,5

  10. sin26x + sin2x = 1

  11. 6 cos2x + 2 cos22x = 5.

10


Краткое описание документа:

С точки зрения стандартных школьных методов решения тригонометрических уравнений, рассмотрю новые методы, не изучаемые в школьном курсе. У выдающихся математиков есть немало высказываний о красоте математики. 

  • Александров А.Д.: «В науке и технике, в формулах и тонких экспериментах, в теоретических построениях и машинах есть своя внутренняя красота и поэзия». 
  • Жуковский Н.Е.: « В математике тоже есть своя красота, как в живописи и поэзии». 
  • Поль Дирак: «Общие законы природы, когда они выражены в математической форме, обладают математической красотой в очень высокой степени». 

Гипотеза: если научиться решать тригонометрические уравнения различными способами, то результаты обучения будут лучше и расходы времени на решение будут минимальными.

"Задачи: 

  1.  Изучить учебную, научно-популярную литературу.
  2.  Выявить, изучить, описать.
  3.  Создать методический и дидактический материалы.

Применяемые методы исследования: 

1) эмпирические:

  • изучение литературы;
  • обработка материалов и результатов;

2) теоретические:

  • сравнение;
  • классификация;
  • анализ;
  • обобщение.

Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений. Данная проблема в пределах Самбурга исследовалась впервые.

Этапы исследования: 

  1. изучение учебной, научно-популярной литературы;
  2. сбор и решение нестандартных тригонометрических уравнений;
  3. анализ и обобщение результатов исследования, составление рекомендаций, методических и дидактических материалов.

База исследования: муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат среднего (полного) общего образования» с.Самбург, 10б класс (2011-2012 учебный год).

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Общая информация

Номер материала: 8076042204

Похожие материалы