Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





















Алгебра 11 класс





Тема: « Методы решения логарифмических уравнений »







































Цели урока:

  • образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;

  • развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;

  • воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь». 
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а) http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image002.gif

б)http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image004.gif 

в) http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image006.gif

д) http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image008.gif

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image010.gif 

б) http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image012.gif и http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image014.gif

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image016.gif 

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

4 =

- 2 =

0,5 =

1 =

5) Вычислитеhttp://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image018.gif

6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.



Логарифмические формулы



III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logа x = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что ав является таким решением.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image020.gif.

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image022.gif 

Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image024.gif

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

Решениеhttp://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image026.gif, Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image028.gif> 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим  №519(г): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение: ОДЗ:

hello_html_ma67137b.gif

X2+8>0 лишнее неравенство

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Потенцируем исходное уравнение 

x2+8= 8 x+8

получим уравнение x2+8= 8x+8

Решаем его: x2-8x=0

х=0, х=8

hello_html_m58fe9fc8.gif

Ответ: 0; 8

В общем виде переходом к равносильной системе:

Уравнение http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image036.gifhttp://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image038.gif

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим № 520(г)http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image047.gif.

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение. ОДЗ: х > 0.

Пусть http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image049.gif, тогда уравнение примет вид:http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image051.gif. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image053.gif.

Вернемся к замене: http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image055.gifили http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image057.gif.

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image059.gifhttp://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image061.gif.

Ответ: 27; http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image063.gif

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение:http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image065.gif.

Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image067.gif. Применим свойство логарифма степени:

(lgx + 3) lgx =http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image069.gif

(lgx + 3) lgx = 4

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image071.gif, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4,http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image073.gif; lgx = 1, http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image075.gif.

Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

523(в). Решите уравнение: http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image077.gif

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image079.gif или http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image081.gif;http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image083.gif.

Ответ: 9.

6. Функционально-графический метод.

509(г). Решить графически уравнение: http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image085.gif= 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).

Посмотрите ваше решение на слайде.

http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image087.gif

Есть способ, позволяющий не строить графикиОн заключается в следующем: если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image089.gifвозрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image091.gifимеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как http://festival.1september.ru/articles/583024/f_clip_image093.gif.

Ответ: 2

«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен

IV. Домашнее задание

П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)

V. Подведение итогов урока

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».

Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 20.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1715
Номер материала ДВ-358996
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх