Методическая разработка по тригонометрии (9 класс)

Тригонометрические функции угла

(исследовательский проект)

Основная цель. Вычисление точных значений тригонометрических функций  угла .

Примерные основные части плана реализации исследования.

1)    Получение разными геометрическими методами точного значения . Выявление наиболее рационального способа вычисления .

2)    Демонстрация применения значения  для вычисления значений тригонометрических функций углов  Составление таблицы значений тригонометрических функций углов 

3)    Вывод тригонометрические формул синуса суммы, разности, косинуса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла .

4)    Демонстрация применения полученных формул.

                          Основополагающие аспекты проекта

1) Получение разными геометрическими методами точного значения .

I способ

Решение основано на использовании метода дополнительных построений, метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема синусов.

Решение

1) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (). Введем вспомогательный параметр   тогда  На катете ВС возьмем такую точку К, что

Пусть тогда  Заметим, что  и

2) Применим теорему синусов к треугольнику АВК:

 

  Откуда получаем два корня:

 или  Условию    удовлетворяет только первое число. Но   следовательно, . Тогда  Значения  и   найдем, воспользовавшись формулами  и 

Итак,     

II способ

Решение основано на применении метода дополнительных построений, метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема синусов.

Решение

1)    Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (). Введем обозначения:  , тогда

2)    Применим теорему синусов к треугольнику АВК:

И далее получаем:

Итак,

III способ

Решение основано на использовании метода дополнительных построений, метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема Пифагора.

Решение

1)    Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (, ). На стороне ВС от точки С отложим отрезок , тогда

2)    В треугольнике АМВ проведем высоту МН. Пусть  Ясно, что  а  (воспользовались последовательно треугольниками АМС, МВН, АМН).

3)    По теореме Пифагора имеем:  то есть  Далее получаем:

   Корнями последнего уравнения являются значения  или

Условиям  и  удовлетворяет только число

В треугольнике АМН  то есть

 Следовательно,

IVспособ

Решение основано на использовании метода дополнительных построений, метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема косинусов.

Решение

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС().

Проведем в нем высоту ВН. Пусть  Тогда

3)    Из данного треугольника получаем равенство:

 

откуда  (заметим, получена интересная связь между   и  , то есть связь между половинным и целым углами ).

Учитывая, что  и , получим:  

   

Таким образом,

Vспособ

Решение основано на использовании метода дополнительных построений, метода использования вспомогательного параметра, метода площадей. Применяется формула площади  треугольника   где  и  - стороны треугольника, а  - угол между ними.

Решение

1)    Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС(). На катете ВС выберем такую точку К, что  Пусть

2)    Воспользуемся методом площадей.

 то есть

Разделив обе части равенства на  получим:

  (1). Проведя необходимые вычисления  убедимся в том, что

Вывод из решения задачи V способом. Последний способ решения поставленной задачи наводит на мысль о том, что если ввести обозначения      то равенство (1) будет выглядеть так:

  Это равенство называется формулой синуса разности двух углов.

2)    Применение значения  для вычисления значений тригонометрических функций углов

Для вычисления значений тригонометрических функций углов  воспользуемся известными формулами приведения.

 

 или

  

       или

     

     

Аналогично найдем значения  и 

 а 

3)    Вывод тригонометрических формул синуса суммы, косинуса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла .

а) В треугольнике АВС (см. рисунок) ВН – высота, проведенная к основанию АС. Причем,  и  

Воспользовавшись методом площадей, запишем:  то есть  Разделив обе части равенства на

      получим равенство  и далее – формулу         синуса суммы двух углов:      (ӿ).

     б) Теперь учтем, что , и запишем:

     Итак,  (ӿӿ).

Аналогично

И 

Положив в формулах (ӿ) и (ӿӿ) , получим еще две важные формулы:

(формула синуса двойного аргумента);

(формула косинуса двойного угла). Причем косинус двойного угла можно выразить и иначе:  или

4) Примеры применения полученных формул.

а) Очевидный пример. Вычислить значение

Решение.

б) Доказать справедливость равенства (это равенство называется формулой синуса тройного угла).

Решение.

в) Вывести формулу косинуса тройного угла.

Решение.

Итак,